四川省2017中考数学专题突破复习题型专项十二二次函数与几何图形的综合题试题.doc

专项(十二)　二次函数与几何图形的综合题
类型1　探究图形面积的数量关系及最值问题
1．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．

解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx.得

解得
(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，F.
S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．
∵S＝－(x－4)2＋16.
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.

2．(2016·雅安中学一诊)如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A，B两点，并与直线y＝x－2交于B，C两点，其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点，连接AC.
(1)求抛物线解析式；
(2)求证：△ABC为直角三角形；
(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．

解：(1)∵直线y＝x－2交x轴，y轴于B，C两点，
∴B(4，0)，C(0，－2)．
∵y＝ax2－x＋c经过点B，C，
∴解得
∴y＝x2－x－2.
(2)令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
∴OA＝1，OB＝4.∴AB＝5.
∴AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，AB2＝25.
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC为直角三角形．
(3)连接CD，BD，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b.
∵将B(4，0)，C(0，－2)代入，得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x－2.
设点D(a，a－2)，则点P(a，a2－a－2)．
∵PD＝PE－DE＝－a2＋a＋2＋(a－2)＝－a2＋2a，
∴当a＝2时，PD有最大值，PD的最大值为2.
∵S四边形ACPB＝S△ACB＋S△CBP＝AB·OC＋OB·DP＝×5×2＋×4·DP＝5＋2PD.
∴当PD最大时，四边形ACPB的面积最大．
∴当点P的坐标为(2，－3)时，四边形ACPB的面积的最大值为5＋2×2＝9.

3．(2015·攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.

(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，过点D作DH⊥x轴于点H，连接DC，DB.
令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．
S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC
＝(－t2＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t2＋2t＋3)－×3×3
＝－t2＋t.
∵－＜0，
∴当t＝－＝时，即点D坐标为(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为.
(3)存在．
∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，
∵直线BC解析式为为y＝－x＋3，
∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.
由解得∴Q1(2，3)．
∵直线PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式y＝－x＋3，
∴M(1，2)．
设PM与x轴交于点E，∵PM＝EM＝2，
∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.
从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．
联立
解得
∴Q2(，－)，Q3(，－)．
∴满足条件的Q点坐标为(2，3)，(，－)或(，－)．

类型2　探究线段的数量关系及最值问题
4．(2016·成都青羊区二诊改编)已知抛物线y＝x2＋(－1)x－2(a＞0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
(1)若抛物线过点D(2，－2)，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE＋CE最小，求出点E的坐标．

解：(1)∵抛物线过点D(2，－2)，
∴×4＋(－1)×2－2＝－2，
解得a＝4.
(2)∵点A，B是抛物线与x轴的交点，
∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点．
∴连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AE＋CE最小的点．
∵a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.
令y＝0，则x2－x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4.
令x＝0，则y＝－2.
∴A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)，对称轴为直线x＝1.
∴直线BC解析式为y＝x－2.
∵当x＝1时，y＝－，
∴E(1，－)．

5．(2015·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.

(1)求抛物线解析式；
(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1
∴(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c.
∴m＝1，c＝3.
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)联立得x2＋(k－2)x－1＝0.
∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4.
∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2.
∴解得x1＝－1，x2＝1，则y1＝0，y2＝4.
∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4)．
(3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)．
∵L＝OB＋BP＋PC＋CO，
又∵线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变，
∴要使L最小，只需BP＋CO最短．

如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形．∴C′(3，3)．
作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′.
设C′P′解析式为y＝ax＋n.
∴
解得
∴y＝x－.
当y＝0时，x＝，∴B′(，0)．
又3－＝，故点B向左平移个单位，平移到B′.
同时，点O向左平移个单位，平移到O′(－，0)，
即线段OB向左平移个单位时，周长L最短．
此时，线段BP，CO之和最短为P′C′＝＝，O′B′＝OB＝3，CP＝.
∴当线段OB向左平移个单位，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为＋＋3.

类型3　探究特殊三角形的存在性问题
6．如图，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.
(1)求m的值；
(2)求抛物线E2的函数解析式；
(3)在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵抛物线E1经过点A(1，m)，∴m＝12＝1.
(2)∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数解析式为y＝ax2(a≠0)，
又∵点B(2，2)在抛物线E2上，
∴2＝a×22.解得a＝.
∴抛物线E2的函数解析式为y＝x2.
(3)假设在抛物线E1上存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形．
①当点B为直角顶点时，过点B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于点Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2.
将x＝2代入y＝x2，得y＝4.
∴点Q1(2，4)；
②当点Q2为直角顶点时，则有Q2B′2＋Q2B2＝B′B2，过点Q2作Q2G⊥BB′于点G.
设点Q2的坐标为(t，t2)(t＞0)，则有(t＋2)2＋(t2－2)2＋(2－t)2＋(t2－2)2＝42，整理得t4－3t2＝0.
∵t＞0，∴t2－3＝0，解得t1＝，t2＝－(舍去)．
∴点Q2(，3)．
综上所述，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)．

7．(2016·雅安中学二诊)如图，已知抛物线与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其中x1，x2为方程x2－2x－8＝0的两个根．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q(x，0)，△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
(3)点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

解：(1)解方程x2－2x－8＝0，得x1＝4，x2＝－2.
∴A(4，0)，B(－2，0)．
设抛物线解析式为
y＝a(x－4)(x＋2)．
将C(0，4)代入，
解得a＝－.
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.
(2)由Q(x，0)，可得BQ＝x＋2，AQ＝4－x，
过点E作EH⊥AB于点H.
∴EH∥CO.∴＝.
又∵QE∥AC，∴＝.∴＝.
∴＝，即EH＝(x＋2)．
∵S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝(x＋2)·4－(x＋2)·(x＋2)，
∴y关于x的函数关系式为y＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋3(－2＜x＜4)．
∴△CQE的面积的最大值为3.
(3)存在点F使得△OMF是等腰三角形．
设AC的解析式为y＝kx＋b.
∵直线AC过点A(4，0)和C(0，4)，
∴解得
∴直线AC的解析式为y＝－x＋4.
∵点F在AC上，设F(x，－x＋4)，
∴OF＝，
MF＝，OM＝2.
若△OMF是等腰三角形，则可能有三种情况：
①如图1，当OF＝FM时，F的横坐标应为1，∴F(1，3)；
②当OM＝OF＝2时，＝2，
化简得x2－4x＋6＝0.
∵Δ＝－8＜0∴这种情况不存在；
③如图2，当OM＝MF时，＝4，
化简得x2－6x＋8＝0解得x1＝2，x2＝4(舍去)．
∴F(2，2)．
综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F(1，3)或(2，2)．

8．(2016·凉山模拟)如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB＝1.
(1)求经过点O，A，E三点的抛物线解析式；
(2)点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)点A的坐标是(2，0)，点E的坐标是(1，2)．

设抛物线的解析式是y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得

解得
∴抛物线的解析式是y＝－2x2＋4x.
(2)当△OAP的面积是2时，点P的纵坐标是2或－2.
当－2x2＋4x＝2时，解得x＝1，
∴点P的坐标是(1，2)；
当－2x2＋4x＝－2时，解得x＝1±，
此时点P的坐标是(1＋，－2)或(1－，－2)．
综上，点P的坐标为(1，2)，(1＋，－2)或(1－，－2)．
(3)∵AF＝AB＋BF＝2＋1＝3，OA＝2.
则点A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当点F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当点Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF＝，若点Q存在，则Q的坐标是(，)．将Q(，)代入抛物线解析式成立．
∴抛物线上存在点Q(，)使△AFQ是等腰直角三角形．
类型4　探究特殊四边形的存在性问题
9．(2016·雅安中学三诊)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0，7)两点．
(1)求该抛物线的解析式及对称轴；
(2)当x为何值时，y＞0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为点F，E.当矩形CDEF为正方形时，求点C的坐标．

解：(1)把A(－2，－1)，B(0，7)两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得

解得
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋7.
∵y＝－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8，
∴对称轴为直线x＝1.
(2)当y＝0时，－x2＋2x＋7＝0，解得x＝1±2，
由图象知1－2＜x＜1＋2时，y＞0.
(3)设C点的坐标为(m，n)，∵矩形CDEF为正方形，
∴n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.
∵C，D两点的纵坐标相等，∴C，D两点关于对称轴x＝1对称．
设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，
∴p＝2－m，∴CD＝(2－m)－m＝2－2m.
∵CD＝CF，∴2－2m＝－m2＋2m＋7.
解得m1＝－1，m2＝5.
∵点C在对称轴的左侧∴m只能取－1.
当m＝－1时，n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.∴点C的坐标为(－1，4)．

10．(2016·德阳旌阳区一模)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)设抛物线顶点为E，根据题意OA＝4，OC＝3得E(2，3)．
设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋3.
将A(4，0)代入，得0＝4a＋3，解得a＝－.
∴抛物线解析式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋3x.
(2)设直线AC解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将A(4，0)与C(0，3)代入，得
解得
∴直线AC解析式为y＝－x＋3.
与抛物线解析式联立，得
解得
∴点D坐标为(1，)．
(3)假设存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如图1所示．
四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM＝AN，
由对称性得到M(3，)，即DM＝2，故AN＝2，
∴N1(2，0)，N2(6，0)；

②当点M在x轴下方时，如图2所示．
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP＝DQ＝，NP＝AQ＝3，
将yM＝－代入抛物线解析式得－＝－x2＋3x，
解得xM＝2－或xM＝2＋，
∴xN＝xM－3＝－－1或－1，
∴N3(－－1，0)，N4(－1，0)．
∴假设成立．
综上所述，满足条件的点N有4个：N1(2，0)，N2(6，0)，N3(－－1，0)，N4(－1，0)．

11．(2016·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，－)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧．
(1)求a的值及点A，B的坐标；
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数解析式；
(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

解：(1)∵抛物线y＝a(x＋1)2－3与y轴交于点C(0，－)．
∴a－3＝－，解得a＝.
∴y＝(x＋1)2－3.
当y＝0时，有(x＋1)2－3＝0，
∴x1＝2，x2＝－4.
∴A(－4，0)，B(2，0)．
(2)∵A(－4，0)，B(2，0)，C(0，－)，D(－1，－3)，
∴S四边形ABCD＝S△AHD＋S梯形OCDH＋S△BOC＝×3×3＋×(＋3)×1＋×2×＝10.
从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：
①当直线l与边AD相交于点M1时，则S△AHM1＝×10＝3，∴×3×(－yM1)＝3.
∴yM1＝－2，点M1(－2，－2)，过点H(－1，0)和M1(－2，－2)的直线l的解析式为y＝2x＋2；
②当直线l与边BC相交于点M2时，同理可得点M2(，－2)，过点H(－1，0)和M2(，－2)的直线l的解析式为y＝－x－.

综上：直线l的函数解析式为y＝2x＋2或y＝－x－.
(3)假设以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且过点H(－1，0)的直线PQ的解析式为y＝kx＋b.
∴－k＋b＝0，∴y＝kx＋k.
联立得x2＋(－k)x－－k＝0.
∴x1＋x2＝－2＋3k，y1＋y2＝kx1＋k＋kx2＋k＝3k2.
∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式得点M(k－1，k2)．
假设存在这样的N点如图所示，直线DN∥PQ.
设直线DN的解析式为y＝kx＋k－3.
联立
解得x1＝－1，x2＝3k－1.∴N(3k－1，3k2－3)．
∵四边形DMPN是菱形，∴DN＝DM.
∴(3k)2＋(3k2)2＝()2＋(k2＋3)2.
整理得3k4－k2－4＝0，(k2＋1)(3k2－4)＝0.
∵k2＋1＞0，∴3k2－4＝0.解得k＝±.
∵k＜0，∴k＝－.

∴P(－3－1，6)，M(－－1，2)，N(－2－1，1)．
∴PM＝DN＝2.
∵PM∥DN，
∴四边形DMPN为菱形．
∴假设成立，即以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(－2－1，1)．

类型5　探究三角形相似问题
12．已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A，D，C，其对称轴与直线AB交于点P，
(1)求抛物线的解析式；
(2)求∠POC的正切值；
(3)若点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标．

解：(1)当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－2.
当x＝0时，y＝1，∴A(－2，0)，B(0，1)．
∵△AOB顺时针旋转90°得到△COD，
∴C(0，2)，D(1，0)．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A，D，C，
∴解得
∴抛物线解析式为y＝－x2－x＋2.
(2)根据(1)，抛物线对称轴为
x＝－＝－＝－，
×(－)＋1＝，∴点P的坐标为(－，)．
过点P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ∥y轴，
∴∠POC＝∠OPQ.
∵tan∠OPQ＝＝，∴tan∠POC＝.
(3)∵点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，
∴点M必在点A的右侧，
AP＝2＝，
AB＝＝，AD＝1－(－2)＝1＋2＝3.
∵∠A＝∠A，
∴①AP和AB是对应边时，
＝，即＝，解得AM＝4.
设点M坐标为(x，0)，则x－(－2)＝4，解得x＝2.
∴点M的坐标为(2，0)；
②AP和AM是对应边时，
＝，即＝，解得AM＝.
设点M坐标为(x，0)，则x－(－2)＝，
解得x＝－.
∴点M的坐标为(－，0)．
综上所述，当点M(2，0)或(－，0)时，△ABM与△APD相似．
13．(2016·大邑县一诊改编)如图，二次函数y＝－ax2－4ax－的图象c交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，过点A的直线y＝kx＋3k(k＜－)交c于另一点C(x1，y1)，交y轴于点M.
(1)求点A的坐标，并求二次函数的解析式；
(2)过点B作BD⊥AC交AC于点D，若M(0，－3)且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标．

解：(1)设y＝0，即kx＋3k＝0，解得x＝－3.
∴A(－3，0)．
∵A(－3，0)在y＝－ax2－4ax－的图象上，
∴0＝－9a＋12a－，
解得a＝.
∴该二次函数的解析式为y＝－x2－x－.
(2)在Rt△AOM中，OA＝3，OM＝3tan∠OAM＝＝，∴∠OAM＝60°.
①如图1中，当Q在DA的延长线上时，
∠BQD＝30°，△BQD∽△AOM，
在Rt△ABD中，BD＝BAsin60°＝.
在Rt△BQD中，BD＝BQsin30°＝，
解得BQ＝2.
过点Q作QQ′⊥x轴于点Q′.
∵∠BAD＝60°＝∠BQA＋∠QBA，∠BQD＝30°，
∴∠QBQ′＝30°.
在Rt△BQQ′中，∵∠QBQ′＝30°，BQ＝2，
∴QQ′＝，BQ′＝3.
∴Q(－4，)；
②当点Q与点A重合时，∠BQD＝60°，△DQB∽△OAM，此时点Q(－3，0)；
③如图2中，当点Q在线段DC上时，∠BQD＝60°，△DQB∽△OAM，
在△AQB中，∠BAQ＝∠AQB＝60°，得BQ＝AB＝2.
∴Q(－2，－)；
④如图3中，当∠BQD＝30°时，△DQB∽△OMA，此时BQ∥OM.
设Q(－1，y)在直线y＝－x－3上，解得y＝－2.
∴Q(－1，－2)．
综上所述，Q(－4，)或Q(－3，0)或Q(－2，－)或Q(－1，－2)．

14．(2016·攀枝花)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)．
的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得解得
∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3.
(2)连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H.
在y＝x2－2x－3中，令y＝0，则0＝x2－2x－3，解得x＝－1或x＝3.
∴A点坐标为(－1，0)．
∴AB＝3－(－1)＝4，且OC＝3.
∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6.
∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴直线BC解析式为y＝x－3.
设P点坐标为(x，x2－2x－3)，则M点坐标为(x，x－3)．
∵P点在第四象限，
∴PM＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x.
∴S△PBC＝PM·OH＋PM·HB＝PM·(OH＋HB)＝PM·OB＝PM.
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大．
∵PM＝－x2＋3x＝－(x－)2＋，
∴当x＝时，PMmax＝，则S△PBC＝×＝.
此时P点坐标为(，－)，S四边形ABPC＝S△ABC＋S△PBC＝6＋＝.
即当P点坐标为(，－)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为.
(3)设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP＝∠GNC＋∠GCN.
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB＝∠CGB.
又∵∠AGB＋∠CGB＝180°，
∴∠AGB＝∠CGB＝90°.
∴∠ACO＝∠OBN.
在△AOC和△NOB中，

∴△AOC≌△NOB(ASA)．
∴ON＝OA＝1.
∴N点坐标为(0，－1)．
设直线m解析式为y＝kx＋d.
把B，N两点坐标代入，得
解得∴直线m解析式为y＝x－1.
故存在满足条件的直线m，其解析式为y＝x－1.

拓展类型　其他问题
1．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2＋4mx－5m(m＜0)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴与直线y＝x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y＝x上(不与原点重合)，连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF.
(1)如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图②所示，小红在探究点P的位置时发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y＝x上任意一点P(不与原点重合)，∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

解：(1)∵y＝mx2＋4mx－5m，
∴y＝m(x2＋4x－5)＝m(x＋5)(x－1)．
令y＝0，则m(x＋5)(x－1)＝0.
∵m≠0，∴x＝－5或x＝1.
∴A(－5，0)，B(1，0)．
∴抛物线的对称轴为x＝－2.
∵抛物线的顶点坐标为(－2，6)，
∴－9m＝6，即m＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋.
(2)由(1)可知：A(－5，0)，B(1，0)．
(3)如图所示，∵OP的解析式为y＝x，
∴∠AOP＝30°.∴∠PBF＝60°.
∵PD⊥PF，FO⊥OD，∴∠DPF＝∠FOD＝90°.
∴∠DPF＋∠FOD＝180°.∴点O，D，P，F共圆．
∴∠PDF＝∠PBF.∴∠PDF＝60°.
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝x＋2.
(1)求b，c的值；
(2)过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；
(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵直线CD的解析式为y＝x＋2，
∴C(0，2)．∴c＝2.
设直线CD交x轴于点A，∴A(－2，0)．
∴＝＝.
∴∠OCA＝30°，
过点D作DM⊥y轴于点M，
∴∠DCM＝30°，CM＝DM，
设抛物线的顶点横坐标为h，则CM＝h，
∴D(h，2＋h)．
∴y＝a(x－h)2＋2＋h.
∵C(0，2)，
∴2＝ah2＋2＋h.
解得h1＝0(舍)，h2＝－.
∴y＝a(x＋)2＋2＋h＝ax2＋2x＋＋2＋h.
∴b＝2.
(2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)，
∵∠DCM＝30°，
∴∠CDB＝30，由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形．
∵CE∥x轴，
∴△DAF为等边三角形．
∴点B为AF中点．
∵A(－2，0)，F(4，0)，
∴B(1，0)．
抛物线对称轴为直线x＝1，
∴－＝1.
∴－＝1.
∴a＝－.
∴D(1，3)．
∴y＝－(x－1)2＋3＝－x2＋2x＋2.
(3)存在．
过点C作CM⊥DE于点N交抛物线于点M，
此时，△CDM≌△CEM.
∵△CDE为等边三角形，
∴CM为DE的中垂线，
∴DM＝EM，∴△CDM≌△CEM，
∵D(1，3)，E(2，2)，
∴N(，)．
设yCN＝kx＋b，代入(0，2)，(，)，得
∴yCN＝x＋2.
联立解得
∴M(，)．

3．(2016·南充模拟)如图，已知：抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是y＝x－2，连接AC.
(1)B，C两点坐标分别为B(4，0)，C(0，－2)，抛物线的函数关系式为y＝x2－x－2；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)在△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC(顶点D，E，F，G在△ABC各边上)？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

解：(2)△ABC是直角三角形．理由：
当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，
则A(－1，0)，
∵AC2＝12＋22＝5，BC2＝42＋22＝20，AB2＝52＝25，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
(3)能．当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与点C重合，如图1，设CG＝x，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB.
∴AG：AC＝DG∶BC，即(－x)∶＝DG∶2，
解得DG＝2(－x)．
∴S矩形DEFG＝x(2－2x)＝－2x2＋2x＝－2(x－)＋.
此时x＝时，矩形DEFG的面积最大，最大值为，
当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时，如图2，CO交GF于点H，设DG＝x，则OH＝x，CH＝2－x，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴GF∶AB＝CH∶CO，即GF∶5＝(2－x)∶2，
解得GF＝(2－x)．
∴S矩形DEFG＝x·(2－x)＝－x2＋5x＝－(x－1)2＋，此时x＝1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为.
综上所述，当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时和当矩形DEFG一个顶点D在AB上最大面积相同，
∵DG＝1，∴DE＝×(2－1)＝，∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴AD∶AO＝DG∶OC，即AD∶1＝1∶2.
解得AD＝.
∴OD＝.
∴OE＝－＝2.
∴D(－，0)，E(2，0)．
当矩形一个顶点在AB上时，
GD＝2(－x)＝，AG＝，
∴AD＝，OD＝AD－OA＝.
∴D(，0)．
综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形DEFC，
当矩形两个顶点在A，B上时坐标为D(－，0)，E(2，0)，
当矩形只有一个顶点在AB上时，坐标为D(，0)．