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专题四 阅读理解问题 1．(改编题)定义新运算：ab＝a(b－1)，若a，b是关于一元二次方程x2－x＋14m＝0的两实数根，则bb－aa的值为( B ) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3,60°)或P(3，－300°)或P(3,420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( D ) A．Q(3,240°) B．Q(3，－120°) C．Q(3,600°) D．Q(3，－500°) 3．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝12x2的解为( A ) A．0或2 B．0或2 C．1或－2 D．2或－2 4．定义运算：a⊗b＝a(1－b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a⊗b＝b⊗a；③若a＋b＝1，则(a⊗a)＝(b⊗b)；④若b⊗a＝0，则a＝0或b＝1.其中结论正确的序号是( D ) A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 5．(2018•湘潭)阅读材料：若ab＝n，则b＝logNa，称b为以a为底N的对数．例如23＝8，则log82＝log232＝3.根据材料填空：log93＝__2__. 6．(原创题)定义a bc d为二阶行列式，规定它的运算法则为a bc d＝ad－bc，那么当x＝1时，二阶行列式x＋1 10 x－1的值为__0__. 7．(改编题)定义：在平面直角坐标系xOy中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的“直角距离”为d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|；已知点A(1,1)，那么d(A，O)＝__2__. 8．已知以点C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.例如：已知以点A(2,3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4，则以原点为圆心，过点P(1,0)的圆的标准方程为__x2＋y2＝1__. 9．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“�”为a�b＝ba(a＞0)，a－b(a≤0).如1�(－3)＝－31＝－3，(－3)�2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)�(x－1)＝x－1x2＋1.(因为x2＋1＞0) 参照上面材料，解答下列问题： (1)2�4＝__2__，(－2)�4＝__－6__； (2)若x＞12，且满足(2x－1)�(4x2－1)＝(－4)�(1－4x)，求x的值． 解：(2)∵x>12，∴2x－1＞0，∴(2x－1)�(4x2－1)＝4x2－12x－1＝(2x＋1)(2x－1)2x－1＝2x＋1，(－4)�(1－4x)＝－4－(1－4x)＝－4－1＋4x＝－5＋4x.∴2x＋1＝－5＋4x，解得x＝3. 10．(2018•内江)对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1,0}＝－1，max{－2，－1,0}＝0，max{－2，－1，a}＝a (a≥－1)，－1 (a＜－1). 解决问题： (1)填空：M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝__sin__45°__，如果max{3,5－3x,2x－6}＝3，则x的取值范围为__23≤x≤92__； (2)如果2•M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值； (3)如果M{9，x2,3x－2}＝max{9，x2,3x－2}，求x的值． 解：(2)当x＋4＞x＋2＞2时，M{2，x＋2，x＋4}＝x＋2，max{2，x＋2，x＋4}＝x＋4，∴2•(x＋2)＝x＋4，解得x＝0；当2＞x＋4＞x＋2时，M{2，x＋2，x＋4}＝x＋4，max{2，x＋2，x＋4}＝2，∴2•(x＋4)＝2，解得x＝－3，当x＋4＞2＞x＋2时，M{2，x＋2，x＋4}＝2，max{2，x＋2，x＋4}＝x＋4，∴2•2＝x＋4，解得x＝0；所以综上所述，x的值为0或－3； (3)∵将M{9，x2,3x－2}中的三个元素分别用三个函数表示，即y＝9，y＝x2，y＝3x－2，在同一个直角坐标系中表示如下：由几个交点划分区间，分类讨论：当x≤－3时，可知M{9，x2,3x－2}＝9，max{9，x2,3x－2}＝x2，得x2＝9，x＝±3，x＝3(舍)，∴x＝－3；当－3＜x＜1时，可知M{9，x2,3x－2}＝x2，max{9，x2,3x－2}＝9，得x2＝9，∴x＝±3(舍)；当1≤x≤2时，可知M{9，x2,3x－2}＝3x－2，max{9，x2,3x－2}＝9，得3x－2＝9，∴x＝113(舍)；当2＜x≤3时，可知M{9，x2,3x－2}＝x2，max{9，x2,3x－2}＝9，得x2＝9，∴x＝±3，x＝－3(舍)，∴x＝3；当3＜x≤113时，可知M{9，x2,3x－2}＝9，max{9，x2,3x－2}＝x2，得x2＝9，∴x＝±3(舍)；当x＞113时，可知M{9，x2,3x－2}＝3x－2，max{9，x2,3x－2}＝x2，得3x－2＝x2，∴x1＝1(舍)；x2＝2(舍)．综上所述，满足条件的x的值为3或－3. 11．(2018•德州)【阅读教材】 宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN＝2) 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中AB＝__5__(保留根号)； (2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； (3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 【实际操作】 (4)结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽． 解：(2)四边形BADQ是菱形． 理由如下：∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD，∴∠BQA＝∠QAD，由折叠得：∠BAQ＝∠DQA，AB＝AD，∴∠BQA＝∠BAQ，∴BQ＝AB，∴BQ＝AD，∵BQ∥AD，∴四边形BADQ是平行四边形．∵AB＝AD，∴四边形BADQ是菱形； (3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE，以黄金矩形BCDE为例，理由如下：∵AD＝5，AN＝AC＝1，∴CD＝AD－AC＝5－1，又∵BC＝2，∴CDBC＝5－12，故矩形BCDE是黄金矩形； (4)如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形长GH＝5－1，宽BG＝3－5，BGGH＝3－55－1＝5－12. 12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c. 【特例探索】 (1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝__25__，b＝__25__；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝__213__，b＝__27__； 【归纳证明】 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式； 【拓展应用】 (3)如图4，在▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3.求AF的长． 解：(2)猜想：a2，b2，c2三者之间的关系是：a2＋b2＝5c2，证明：如图3，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，且EF＝12AB＝12c，∴PEPB＝PFPA＝12，设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，(2m)2＋(2n)2＝c2①，在Rt△APE中，(2m)2＋n2＝b22②，在Rt△BPF中，m2＋(2n)2＝a22③，由①得：m2＋n2＝c24，由②＋③得：5(m2＋n2)＝a2＋b24，∴a2＋b2＝5c2； (3)如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E，G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝25，∴∠EAH＝∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝12AD，BF＝12BC，∴AE＝BF＝CF＝12AD＝5，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝3，AP＝PF，在△AEH和△CFH中，∠EAH＝∠FCH，∠AHE＝∠FHC，AE＝CF，∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH是△AFE的中线，由(2)的结论得：AF2＋EF2＝5AE2，∴AF2＝5(5)2－EF2＝16，∴AF＝4.
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