2010中考数学压轴题一.doc

★★1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-3m+2
与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）
j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。
x
y
O
1
1

O
A
B
C
D
E
P
y
x
图1
解：（1）∵拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点，∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m¹1，∴m=2，
∴拋物线的解析式为y= -x2+x，
∵点B(2，n)在拋物线y= -x2+x上，
∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。
（2）j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在拋物线上，得2a= -´(3a)2+´3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），∴OP=。
k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，
点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。
如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t=。
第二种情况：PC与MN在同一条直线上。
如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t+2t+2t=10，∴t=2。
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，
如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10，
图4
y
x
B
O
Q(P)
N
C
D
M
E
F
∴t=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。
x
y
O
A
M
(C)
B
(E)
D
P
Q
F
N
图3
E
x
O
A
B
C
y
P
M
Q
N
F
D
图2

★★2、（2010北京）问题：已知△ABC中，ÐBAC=2ÐACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
(1) 当ÐBAC=90°时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出ÐDAC=15°时，可进一步推出ÐDBC的度数为 ；可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ；
(2) 当ÐBAC¹90°时，请你画出图形，研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
A
C
B

解：(1) 相等；15°；1：3。
(2) 猜想：ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。
证明：如图2，作ÐKCA=ÐBAC，过B点作BK//AC交CK于点K，
连结DK。∵ÐBAC¹90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，∵DC=DA，∴ÐDCA=ÐDAC，∵ÐKCA=ÐBAC，
B
A
C
D
K
1
2
3
4
5
6
图2
∴ÐKCD=Ð3，∴△KCD@△BAD，∴Ð2=Ð4，KD=BD，
∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ÐACB=Ð6，
∵ÐKCA=2ÐACB，∴Ð5=ÐACB，∴Ð5=Ð6，∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，∴ÐKBD=60°，∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1，
∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1，
∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°，∴Ð2=2Ð1，
∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1：3。

★★3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.

第26题
图（1）
图（2）

解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
（2）当b＝0时，直线为，由解得，
所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
，
所以（利用同底等高说明面积相等亦可）
当时，仍有成立. 理由如下
由，解得，
所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），
作轴，轴，垂足分别为F、G，则，
而和是同底的两个三角形，
所以.
（3）存在这样的b.
因为
所以，所以，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，为直角三角形，因为
所以 ，而
所以，解得，
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.

★★4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?
解：

解：①由抛物线的对称性可知AM=BM
在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，
∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA．
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
，解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）
②设抛物线的解析式为y=（—2）2+
代入A点坐标可得=—
抛物线的解析式为y=—（—2）2+
③设抛物线的解析式为y=—（一2）2+k，代入D（0，）可得k=5
所以平移后的抛物线的解析式为y=—（一2）2+5，平移了5一=4个单位．

★★5、（2010长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．
解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx
∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx
（2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2
由得 ①
∵△＝
∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解
∴两函数有两个不同的交点．
（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解
∴
∴＝
或由求根公式得出。 ∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1
令函数 ∵在1<a<2时y随a增大而减小．
∴ ∴ ∴
★★6、（2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
B
A
P
x
C
Q
O
y
第26题图

解：（1）∵CQ＝t，OP=t，CO=8 ∴OQ=8－t
∴S△OPQ＝（0＜t＜8）
（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ
＝＝32
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°
又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ，
∴解得：t＝4
经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）
此时P（，0）
∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，
∴抛物线是，直线BP是：
设M（m, ）、N(m，)
∵M在BP上运动 ∴
∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P
∴当时，
∴＝ ∴当时，MN有最大值是2
∴设MN与BQ交于H 点则、
∴S△BHM＝＝
∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝＝3:29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．

★★7、（2010常德）如图9，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当的面积是面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.
A
B
O
C
图9
y
x

解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：
　　　　　　　　　　解得：　
　　　　　　故所求二次函数的解析式为．
（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴，
∵EF//AC，∴，∴△BEF～△BAC，
∴得故E点的坐标为(,0).

（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．
若设直线的解析式为，则有　解得：
故直线的解析式为．若设点的坐标为，
又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有：＝
＝
即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）
解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为（，则有：
　 ＝
　 ＝
＝
＝
＝ ＝－
即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（－2，－3）

★★8、（2010常德）如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH;
②当AD=4，DG=时，求CH的长。
A
B
C
D
E
F
图110
G
A
D
图11
F
E
B
C
G
A
D
B
C
E
F
H
M
图12

解：（1）成立．
　　　四边形、四边形是正方形，∴ ∠∠. ∴∠90°-∠∠.
　　∴△△. ∴.
（2）①类似（1）可得△△， ∴∠1＝∠2
又∵∠＝∠. ∴∠∠＝.
B
A
C
D
E
F
G
1
2
图12
H
P
M
　　　　　 即
　　 　 ② 解法一: 过作于,
由题意有，
　　　　　　∴，则∠1＝. 　　　　　　而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
　　　　∴　，即.
　在Rt中，＝＝,
　而∽,∴,　 即,　∴.　
再连接，显然有，∴.
所求的长为.
B
A
C
D
E
F
G
1
2
图12
H
P
M
解法二：研究四边形ACDG的面积，过作于,
　　由题意有，∴,.
而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1，
,

∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.∴=.

★★9、（2010丹东）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，
BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN
也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
图①
图②
图③
第25题图
A
·
B
C
D
E
F

·
·

·

解：（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上，
（2）成立．
证明：
法一：连结DE，DF．
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE． N
C
A
B
F
M
D
E
N
C
A
B
F
M
D
E
∴MF=NE．

法二：延长EN，则EN过点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN．又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN．∴BM=FN．∵BF=EF， ∴MF=EN．
法三：连结DF，NF． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°．又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上，
∴MF=EN．
（3）画出图形（连出线段NE），

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．

★★10、（2010丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为
（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出
此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

第26题图

O
M
N
H
A
C
E
F
D
B
↑
→
－8
(－6，－4)
x
y

解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4），∴．则抛物线关系式为．
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
，解得，所求抛物线关系式为：．
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．
∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

（ 0＜＜4）
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．
（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．