第九章质点动力学的基本方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

动动 力力 学学 引引 言言 第1页动力学研究对象动力学研究对象 动力学动力学是研究物体运动改变与作用在物体上力之间是研究物体运动改变与作用在物体上力之间关系。关系。动力学主要内容动力学主要内容 （1)1)牛顿力学或经典力学。牛顿力学或经典力学。包含动量定理、动量矩定理、包含动量定理、动量矩定理、动能定理。动能定理。惯性参考系惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动系统。：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动系统。非惯性参考系非惯性参考系：相对于参考系有加速度系统。：相对于参考系有加速度系统。牛顿三定律只适合用于低速、宏观物体。牛顿三定律只适合用于低速、宏观物体。相对论力学或量子力学相对论力学或量子力学 （2)2)分析力学一些内容和机械振动基本理论分析力学一些内容和机械振动基本理论，如动静法、，如动静法、虚位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度振动问题。虚位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度振动问题。第2页动力学形成和发展与社会进步关系动力学形成和发展与社会进步关系 （1)1)动力学与钟表动力学与钟表中国古代计时方式，主要有三种：中国古代计时方式，主要有三种：铜漏；香篆；圭表。铜漏；香篆；圭表。世界上最早机械钟雏形：东汉张衡所造浑象仪。世界上最早机械钟雏形：东汉张衡所造浑象仪。计时方法关键：标准等时运动。计时方法关键：标准等时运动。伽利略经过试验得到了伽利略经过试验得到了“摆小摆动周期与摆长平方根成正比摆小摆动周期与摆长平方根成正比”结论，从理论上为钟表关键装置结论，从理论上为钟表关键装置摆奠定了基础。伽利略对摆奠定了基础。伽利略对自由落体和摆研究也标志着人类对动力学研究开始。自由落体和摆研究也标志着人类对动力学研究开始。1657 1657年，惠更斯完成了摆钟设计。他还发表了一系列关于单年，惠更斯完成了摆钟设计。他还发表了一系列关于单摆与动力学主要研究结果，如向心力和向心加速度概念。摆与动力学主要研究结果，如向心力和向心加速度概念。1676 1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现了两项改进；弹簧发条储能器改进；弹簧摆轮（或游丝）创造。了两项改进；弹簧发条储能器改进；弹簧摆轮（或游丝）创造。基于这两项改进，便于携带钟表、怀表、手表开始出现。基于这两项改进，便于携带钟表、怀表、手表开始出现。当代钟表由三部分组成：当代钟表由三部分组成：动力部分动力部分、传动部分传动部分和和控制部分控制部分。更精密时标：石英晶体振动或原子振荡更精密时标：石英晶体振动或原子振荡 电子表。电子表。第3页（2 2）动力学与当代工业）动力学与当代工业 机器和机械设计上均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物在机器和机械设计上均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物在冲击和振动环境中动态响应，交通运输工具操纵性、稳定性和舒适冲击和振动环境中动态响应，交通运输工具操纵性、稳定性和舒适性以及动力学载荷作用、震动等都属于动力学问题；性以及动力学载荷作用、震动等都属于动力学问题；高速运转机械动力计算、高层结构受风载及地震影响，宇宙高速运转机械动力计算、高层结构受风载及地震影响，宇宙飞行、火箭推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。飞行、火箭推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。第4页动力学力学模型动力学力学模型 （1）质点质点 ：指含有一定质量而几何形状和尺寸大小能够忽略不计指含有一定质量而几何形状和尺寸大小能够忽略不计物体。物体。（2 2）质点系）质点系：指由几个或无限个相互有联络质点所组成系统。包含指由几个或无限个相互有联络质点所组成系统。包含固体、弹性体和流体。固体、弹性体和流体。（3 3）刚体）刚体：其中任意两个质点间距离保持不变固体。其中任意两个质点间距离保持不变固体。（4 4）力学模型简化条件）力学模型简化条件 由所研究问题性质所决定，含有相正确概念。由所研究问题性质所决定，含有相正确概念。第5页第九章第九章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第6页本章内容及分析思绪本章内容及分析思绪依据动依据动力学基力学基本定律本定律质点动力质点动力学基本方学基本方程程求解质点求解质点动力学问动力学问题题第7页9-1 9-1 动力学基本定律动力学基本定律 第一定律第一定律(惯性定律惯性定律):):不受力作用质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律第二定律 (力与加速度之间关系定律力与加速度之间关系定律)惯性：不受力作用质点惯性：不受力作用质点(包含受平衡力系作用质点包含受平衡力系作用质点)，不是处，不是处于静止状态，就是保持其原有速度于静止状态，就是保持其原有速度(包含大小和方向包含大小和方向)不变。不变。基本表示式：基本表示式：（91）在经典力学范围内，上式可写为在经典力学范围内，上式可写为 （92）式式(102)(102)是质点动力学基本方程，建立了质点加速是质点动力学基本方程，建立了质点加速度、质量与作用力之间定量关系。度、质量与作用力之间定量关系。第三定律第三定律 (作用与反作用定律作用与反作用定律)第8页9-2 9-2 质点运动微分方程质点运动微分方程由由质质点点动动力学第二定律，有力学第二定律，有 质质点受到点受到n n个力个力作用时，作用时，或或（93）（93）式式（103103）是矢量形式微分方程。是矢量形式微分方程。第9页1 1、质点运动微分方程质点运动微分方程在直角坐标轴上在直角坐标轴上投影投影设设矢径矢径在直角坐在直角坐标轴标轴上投影分上投影分别为别为x x，y y，z z，在在轴轴上投影分上投影分别为别为，则则式式在直角坐在直角坐标轴标轴上投影形式上投影形式为为:力力（94）第10页2 2、质点运动微分方程质点运动微分方程在自然轴上投影在自然轴上投影 点全加速度点全加速度 式中式中和和为沿轨迹切线和主法线单位矢量，为沿轨迹切线和主法线单位矢量，如图所表示。如图所表示。式式(93)(93)在自然轴系上投影式为在自然轴系上投影式为 （95）式中式中和和分别是作用于质点各力在切线、分别是作用于质点各力在切线、为轨迹曲率半径。为轨迹曲率半径。主法线和副法线上投影，而主法线和副法线上投影，而第11页3 3、质点动力学两类基本问题、质点动力学两类基本问题 1)第一类基本问题：第一类基本问题：已知质点运动已知质点运动,求作用于质点力求作用于质点力.2)第二类基本问题：第二类基本问题：已知作用于质点力已知作用于质点力,求质点运动求质点运动.作用在质点上力能够是常力或变力，变力能够是时作用在质点上力能够是常力或变力，变力能够是时间、坐标、速度函数或同时是上述三种变量函数。间、坐标、速度函数或同时是上述三种变量函数。求质点运动就是求式（求质点运动就是求式（9494）或（）或（9595）解，一次、）解，一次、二次积分。积分常数由质点运动初始条件决定。可见，质二次积分。积分常数由质点运动初始条件决定。可见，质点运动规律不但决定于作用力，也与质点运动初始条件相点运动规律不但决定于作用力，也与质点运动初始条件相关。关。第12页补例补例1 1 电梯如图所表示。已知电梯加速度电梯如图所表示。已知电梯加速度常数、方向向上。电梯重量为，放在电梯地常数、方向向上。电梯重量为，放在电梯地板上物质重量为，求：板上物质重量为，求：（1 1）物体对地板压力；）物体对地板压力；（2 2）电电梯吊梯吊绳绳拉力。拉力。分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题已知运动求作用力，故属于质点动已知运动求作用力，故属于质点动力学第一类基本问题。力学第一类基本问题。解解 （1 1）求物体对地板压力）求物体对地板压力 选取重物为研究对象，选取重物为研究对象，进行受力分析和运动分析（如图进行受力分析和运动分析（如图b b所表示）。所表示）。建立直角坐标轴，列运动微分方程求解建立直角坐标轴，列运动微分方程求解式中式中F FNN,为物体对地板压力。为物体对地板压力。或或 第13页（）求吊绳拉力。（）求吊绳拉力。式中，称为绳索静反力。式中，称为绳索静反力。讨论讨论 压力压力F FN N,由两部分组成：物体重量，静压力；由两部分组成：物体重量，静压力；，附加动压力。，附加动压力。超重。超重。当当=时时，F FN N,=0=0 假如加速度方向向下，总压力为假如加速度方向向下，总压力为:解得解得讨论讨论 把绳索动反力值把绳索动反力值T Td d和静反力值比值称为动荷系和静反力值比值称为动荷系数，用数，用d d表示：表示：取电梯和重物整体为研究对象，受力如图取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a a所表示。所表示。选坐标轴选坐标轴x x，由式（，由式（9494）得投影形式质点运动微分方程）得投影形式质点运动微分方程第14页补例补例2 2如图所表示桥式起重机上，小车吊着质如图所表示桥式起重机上，小车吊着质量为重物，沿横向作匀速运动，速度为。，吊绳量为重物，沿横向作匀速运动，速度为。，吊绳长为。因为突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点长为。因为突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点向前摆动。试求刹车后绳索最大张力及刹车前后瞬向前摆动。试求刹车后绳索最大张力及刹车前后瞬间绳索张力比。间绳索张力比。分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题质点动力学第一类基本问题，质点动力学第一类基本问题，先分析重物位于普通位置时。先分析重物位于普通位置时。解解 取重物为研究对象，受取重物为研究对象，受力如图所表示。力如图所表示。取自然轴如图示，由式（取自然轴如图示，由式（9595）得重物运动微分方程投影式为得重物运动微分方程投影式为（1）（2）式中式中与与均为变量。均为变量。第15页 讨论讨论 起重机小车急刹车时，绳索张力发生急剧改变。起重机小车急刹车时，绳索张力发生急剧改变。由式（）得由式（）得:由式（由式（1 1）知：）知：，而，故重物作减速运动。，而，故重物作减速运动。所以，在初始位置（刚刹车，所以，在初始位置（刚刹车，）时，重物速度最大，）时，重物速度最大，此时，绳索张力，此时，绳索张力取得最大值，取得最大值，即即 刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知。所以刹车前后瞬间动荷系数。所以刹车前后瞬间动荷系数第16页分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题质点动力学第一类基本问题。质点动力学第一类基本问题。运动方程是运动方程是 ,补例补例3 3 质点质点M M质量为质量为 ,其中其中求作用在此质点上力。求作用在此质点上力。为常量，为常量，解解：该质点加速度在坐标轴上投影分别为：该质点加速度在坐标轴上投影分别为 第17页代入式代入式(94)(94)，得作用在此得作用在此质质点上力在点上力在轴轴上投影上投影为为 从运动方程中消去时间从运动方程中消去时间，得此质点轨迹方程，得此质点轨迹方程协力能够表示为协力能够表示为 第18页例例9-1 曲柄连杆机构如图所表示曲柄连杆机构如图所表示.曲柄曲柄OA以匀角以匀角速度速度 转动转动,OA=r,AB=l,当当 比较小时比较小时,以以O 为为坐标原点坐标原点,滑块滑块B 运动方程可近似写为运动方程可近似写为 如滑块质量为如滑块质量为m,忽略忽略摩擦及连杆摩擦及连杆AB质量质量,试求当试求当,连杆连杆AB所受力所受力.第19页解解:研究滑块研究滑块其中其中已知已知:则则求求:第20页有有得得这属于动力学第一类问题。这属于动力学第一类问题。当当得得第21页例例9-2 质量为质量为m质点带有电荷质点带有电荷e,以速度以速度v0进入强度按进入强度按E=Acoskt改变均匀电场中改变均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直初速度方向与电场强度垂直,如图所表示。质点在电场中受力如图所表示。质点在电场中受力 作用。已知常作用。已知常数数A,k,忽略质点重力忽略质点重力,试求质点运动轨迹。试求质点运动轨迹。第22页分析分析：1 1）由题意）由题意动力学问题动力学问题质点动力学第二类质点动力学第二类基本问题。基本问题。2 2）求质点运动轨迹）求质点运动轨迹质点运动方程。质点运动方程。解解:取取质质点点为为研究研究对对象，受力如象，受力如图图10-310-3所表示。所表示。质质点运点运动动微分方程在微分方程在轴轴和和轴轴上投影式上投影式 (a)(a)按题意按题意以此为下限以此为下限,式式(a)定积分为定积分为(b)(b)第23页得质点运动方程得质点运动方程轨迹方程轨迹方程(c)(c)讨论讨论 假如假如，则则运运动动方程式方程式(c)(c)为为，式不式不变变，这是一个直线运动。这是一个直线运动。第24页 补补例例4 4 在均匀静止液体中，在均匀静止液体中，质质量量为为 物体物体M M从从液面液面处处无初速下沉，如无初速下沉，如图图a a所表示。假所表示。假设设液体阻力液体阻力，其中，其中为为阻尼系数。阻尼系数。试分析该物体运动规律及其特征。试分析该物体运动规律及其特征。分析：由题意分析：由题意动力学问题动力学问题质点动力学第二类基本问题。质点动力学第二类基本问题。第25页解解：将坐：将坐标标系原点固系原点固结结在在该该点起始位置上，点起始位置上，轴铅轴铅垂向下。垂向下。该质该质点受力点受力图图如如图图b b。运动微分方程为运动微分方程为或或 式中式中 .起始条件：起始条件：时时，式，式(a)(a)定定积积分分为为 解得解得第26页再分离变量，运动起始条件为再分离变量，运动起始条件为时，时，则有，则有积分得积分得这就是该物体下沉运动规律。这就是该物体下沉运动规律。时，该物体下沉速度将时，该物体下沉速度将趋近一极限值趋近一极限值由式由式(b)(b)知，当知，当时，时，称为物体在液体中自由下沉极限速度。称为物体在液体中自由下沉极限速度。应用：采矿工程中选矿、农业中选种。应用：采矿工程中选矿、农业中选种。第27页 讨论讨论 另另选选坐坐标标系，其原点系，其原点O O在液体底部，在液体底部，轴铅轴铅垂向上。垂向上。轴正向画出，则该物体受力图如轴正向画出，则该物体受力图如图图c c所表示。所表示。设设 仍按仍按为为运动微分方程运动微分方程或或 运运动动起始条件起始条件为为时时，。经过经过两次分离两次分离变变量和量和积积分，可得分，可得 第28页 (说明说明)在选择参考系、建立质点运动微分方程时，宜尽在选择参考系、建立质点运动微分方程时，宜尽可能将质点置于参考坐标系正向位置，使其速度、加速度分可能将质点置于参考坐标系正向位置，使其速度、加速度分量也沿着坐标轴正向；倘若质点真实速度、加速度分量是沿量也沿着坐标轴正向；倘若质点真实速度、加速度分量是沿着坐标轴负向，也应沿正向来假设，并画出其受力图，建立着坐标轴负向，也应沿正向来假设，并画出其受力图，建立它运动微分方程。它运动微分方程。3)3)第一、二类基本问题综合问题第一、二类基本问题综合问题：有工程问题既需要求：有工程问题既需要求质点运动规律，又需要求未知约束力，是第一类基本问题质点运动规律，又需要求未知约束力，是第一类基本问题与第二类基本问题综合在一起动力学问题，称为混合问题。与第二类基本问题综合在一起动力学问题，称为混合问题。第29页例例9-3 一圆锥摆一圆锥摆,如图所表示。质量如图所表示。质量m=0.1kg小小球系于长球系于长l=0.3m 绳上绳上,绳另一端系在固定点绳另一端系在固定点O,并与并与铅直线成铅直线成 角。如小球在水平面内作匀速圆角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球速度周运动，求小球速度v与绳张力。与绳张力。第30页绳张力与拉力绳张力与拉力F大小相等。大小相等。解得解得其中其中分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题质点动力学第一、二类质点动力学第一、二类基本问题综合问题。基本问题综合问题。第31页例例9-4粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为，绕经过中心水平轴，绕经过中心水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上凸棱带着上升。为了使匀速转动，筒内铁球由筒壁上凸棱带着上升。为了使小球取得粉碎矿石能量，铁球应在时才掉下小球取得粉碎矿石能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟转数来。求滚筒每分钟转数n 。第32页解：视铁球为质点解：视铁球为质点.受力如图受力如图b.分析：由分析：由题题意（意（滚滚筒筒转动转动；求使；求使铁铁球在球在处处筒壁法向筒壁法向约约束力束力0 0滚筒转速）滚筒转速）动力学点动力学第一问题动力学点动力学第一问题 质、二类基本问题综合问题。质、二类基本问题综合问题。列出质点运动微分方程在主法线上投影式列出质点运动微分方程在主法线上投影式于是解得于是解得第33页第34页）求出末知力或运动。对第二类问题要应用）求出末知力或运动。对第二类问题要应用运动初始条件确定积分常数。运动初始条件确定积分常数。总结总结 求解质点动力学问题主要步骤：求解质点动力学问题主要步骤：1）选取某质点为研究对象；）选取某质点为研究对象；）分析作用在质点上力；）分析作用在质点上力；）分析质点运动情况。）分析质点运动情况。）选择恰当投影轴，写出在该轴上运动微）选择恰当投影轴，写出在该轴上运动微分方程投影式；分方程投影式；第35页求解质点动力学问题，还应注意以下几点：求解质点动力学问题，还应注意以下几点：1 1）物体受力分析。）物体受力分析。）物体运动分析。确定质点运动轨迹是否已知、）物体运动分析。确定质点运动轨迹是否已知、是直线还是曲线；分析质点运动要素是否已知，是直线还是曲线；分析质点运动要素是否已知，所用坐标形式。有些情况下虽未直接给出运动，所用坐标形式。有些情况下虽未直接给出运动，但经过运动学分析可得出结果也算是已知但经过运动学分析可得出结果也算是已知 第36页建立运动微分方程建立运动微分方程 a a）在什么位置建立点运动微分方程，要依据题意）在什么位置建立点运动微分方程，要依据题意确定。如只需要求某一特殊位置力或加速度则在特确定。如只需要求某一特殊位置力或加速度则在特殊位置列方程。如需要求几个位置或任意位置力或殊位置列方程。如需要求几个位置或任意位置力或加速度，则在普通位置列方程；求解以后，将题目加速度，则在普通位置列方程；求解以后，将题目要求几个特殊位置参数代入，得到答案。要求几个特殊位置参数代入，得到答案。b b）选择方程坐标形式。由质点运动和未知力情况）选择方程坐标形式。由质点运动和未知力情况确定。普通说来，最惯用是直角坐标，只有当点确定。普通说来，最惯用是直角坐标，只有当点运动轨迹已知时，才能用自然轴形式方程。运动轨迹已知时，才能用自然轴形式方程。第37页）列运动微分方程时，力、加速度等投影均要）列运动微分方程时，力、加速度等投影均要注意正负号。未知加速度如用坐标对时间二阶导注意正负号。未知加速度如用坐标对时间二阶导数表示，则无须考虑正负号问题。数表示，则无须考虑正负号问题。）对于质点系问题，只有在较简单情况下才用）对于质点系问题，只有在较简单情况下才用本章所述方法求解，普通情况要应用以后各章讲本章所述方法求解，普通情况要应用以后各章讲述定理求解。述定理求解。第38页