安徽大学数学科学学院数学分析历年考研真题汇编（含部分答案）.pdf

目录2001年安徽大学数学分析考研真题2002年安徽大学数学分析考研真题及详解（答案仅供参考）2004年安徽大学441数学分析考研真题2005年安徽大学440数学分析考研真题2006年安徽大学440数学分析考研真题2007年安徽大学440数学分析考研真题2008年安徽大学811数学分析考研真题2009年安徽大学数学分析考研真题2010年安徽大学数学分析考研真题2011年安徽大学数学分析考研真题及详解（答案仅供参考）2012年安徽大学数学分析考研真题2001年安徽大学数学分析考研真题2002年安徽大学数学分析考研真题及详解（答案仅供参考）说明：以下试题答案为网上搜集整理，仅供参考，特此说明！一、（15分）判定下列命题的真伪，若真，给出证明；若伪，举出反例1数列收敛于 的充要条件是对任意给定的正数，中含有的无限多项答：不真，如，在中有中的无限多项，而不收敛（关键是在邻域外面只有有限项）2函数在上可积，一定绝对可积答：真因为在上可积，则某个分割，s.t.,而故即在上可积，所以在上绝对可积3若存在，则与均存在答：不真例如，显然有但是不存在（构造函数要具有特殊性，里面有一个）二、（16分）叙述数列收敛的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之答：柯西收敛原理如下：数列收敛时有证明如下：（）设，则，当时因而故必要性成立（）先证明有界取，当及时有则令，则将二等分，将含有无穷多项的那部分记作；再将二等分，将含有无穷多项的那部分记作，如此下去得到区间列，且因此是一个区间列；由区间套定理知因此在含有的无穷多项，从而，即收敛三、（14分）设函数在上可导，对于任意的有且证明：存在唯一的使得证明：由题意知，作辅助函数，则由零点存在定理知，使得，即由知假设在内有两个零点且由Rolle定理知，使得，即，这与相矛盾，故在内存在唯一的零点，即四、（16分）讨论二元函数在原点处的连续性及可微性解：对当时有故在处连续由偏导数公式可得又，从而不唯一，所以在处不可微五、（15分）设有级数1当 取何值时，级数条件收敛；2当 取何值时，级数绝对收敛；3证明级数在上内闭一致收敛解：因为1当时，收敛，此时绝对收敛2当，由于的部分和数列有界，单调递减且，由Dirichlet判别法知收敛当时，绝对收敛从而当时绝对收敛，条件收敛3对任意的，由，有由Cauchy收敛准则知在上一直收敛，故在内闭一致收敛六、（12分）计算曲面积分，其中为锥面在柱体的内部解：因为所以七、（12分）证明函数在上具有无限次的导数证明：（1）先证明在上可微,使得在上，考察由于，而由比较判别法知级数收敛，从而可知函数项级数在上一致收敛故函数在上可微且特别地，由的任意性，在上可微，且（2）在证明对任意的，均有成立事实上，当时，由（1）知结论成立假设时结论也成立，则当时，考察由于而，故级数收敛，从而函数项级数在上一致连续，故函数在上可微，且由以上证明可知在上无穷次可微2004年安徽大学441数学分析考研真题2005年安徽大学440数学分析考研真题2006年安徽大学440数学分析考研真题2007年安徽大学440数学分析考研真题2008年安徽大学811数学分析考研真题2009年安徽大学数学分析考研真题2010年安徽大学数学分析考研真题2011年安徽大学数学分析考研真题及详解（答案仅供参考）1求极限解：2计算，为取逆时针方向解：记，则而由格林公式知3计算，为，解：计算如下4求函数在闭区域上的最大值与最小值解：由，知的极值点为且求在上的最大值与最小值利用Lagrange乘数法，记则知或直接计算有故由知而其有非零解（否则与矛盾）。故即有将上述 的值代入，再联立即知结论5设均为正整数数列，且适合，证明：数列的极限存在，并求该极限值证明：由及均为正整数知于是令则注意到，有单调递减且有下界从而存在于（2）两边令，得6设在上有连续的导函数，且试证明：证明：由知而记，则从而7设数列为正的单调递减数列，且收敛，证明：证明：因为为正的单调递减数列，所以存在由收敛，可知必有对任意存在正整数,使得对任意正整数，成立，有在上式中，令，取极限，则得由的任意性，则得显然，故有 8设为实数，试讨论广义积分何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，并说明理由解：（1）考虑积分由于当时，与同阶；当时，有当时，收敛；当时，发散；当时，收敛；当时，发散（Dirichlet判别法）；当时，也发散从而当且仅当时，原广义积分绝对收敛（2）考虑易知：当时，收敛；当时，发散；当时，收敛；当时，发散从而当且仅当时，广义积分收敛综上所述，得出结论：a当时，原广义积分绝对收敛；b当且时，原广义积分条件收敛；c其他情况时，原广义积分绝对发散9设，.已知（1）试证明：；（2）求出的初等函数表达式证明：（1）由相应的一致收敛性知而（2），得又，得有2012年安徽大学数学分析考研真题1（20分）求下列积分.（1）（n个开立方）；（2）（）2（20分）设函数，在闭区间上连续且严格单调增加，证明：3（25分）（1）若函数在上连续，且（有限数）证明：在上一致连续（2）证明：在上一致连续4（20分）设，求广义积分5（25分）求幂级数的收敛半径，收敛域与和函数6（20分）计算曲线积分，其中 为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，的方向为逆时针方向7（20分）将，展开为级数