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方案设计问题
方案设计型问题是设立一种实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题规定，谋求恰当解决方案，有时还给出几种不同解决方案，规定判断其中哪个方案最优．方案设计型问题重要考查学生动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，重要有如下几种类型：
(1)讨论材料，合理猜想——设立一段讨论材料，让考生进行科学判断、推理、证明；
(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按规定对图形进行分割或设计美观图案；
(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出规定，让考生谋求最佳解决方案．
操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论研究性活动．此类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力培养，更有助于养成实验研究习惯．常用类型有：(1)图形分割与拼接；(2)图形平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间互相转化．
三个解题方略
(1)方程或不等式解决方案设计问题：一方面要理解问题取材生活背景；另一方面要弄清题意，依照题意建构恰当方程模型或不等式模型，求出所求未知数取值范畴；最后再结合实际问题拟定方案设计种数．
(2)择优型方案设计问题：此类问题普通方案已经给出，规定综合运用数学知识比较拟定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述规定，二是要具备代表性．
(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，普通运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，核心是抓住需要拼接图形与所给图形之间内在关系，然后逐个组合；对于图形分割类，普通遵循由特殊到普通、由简朴到复杂动手操作过程．
1．(·河北)如图是甲、乙两张不同矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一种与本来面积相等正方形，则( )
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以

2．(·江西)如图，贤贤同窗用手工纸制作一种台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是她把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好适当．如下裁剪示意图中，对的是( )

3．一位园艺设计师筹划在一块形状为直角三角形且有一种内角为60°绿化带上种植四种不同花卉，规定种植四种花卉分别构成面积相等，形状完全相似几何图形图案．某同窗为此提供了如图所示五种设计方案．其中可以满足园艺设计师规定有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

4．小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做8小时，做了10天完毕．用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷面积是150 m2.最后结算工钱时，有如下几种方案：
①按工算，每个工60元(1个工人干1天是一种工)；②按涂料费用算，涂料费用60%作为工钱；③按粉刷面积算，每平方米付工钱24元；④按每人每小时付工钱8元计算．
你以为付钱最划算方案是( )
A．① B．② C．③ D．④
5．(·黄冈)如图，在一张长为8 cm，宽为6 cm矩形纸片上，现要剪下一种腰长为5 cm等腰三角形(规定：等腰三角形一种顶点与矩形一种顶点重叠，别的两个顶点在矩形边上)．则剪下等腰三角形面积为___________________ cm2.

运用方程(组)、不等式、函数进行方案设计
【例1】　(·泸州)某社区为了绿化环境，筹划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共耗费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共耗费940元(两次购进A，B两种花草价格均分别相似)．
(1)A，B两种花草每棵价格分别是多少元？
(2)若购买A，B两种花草共31棵，且B种花草数量少于A种花草数量2倍，请你给出一种费用最省方案，并求出该方案所需费用．

[相应训练]
1．(·临沂)新农村社区改造中，有一某些楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米售价减少30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，此外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其她赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间函数关系式；
(2)老王要购买第十六层一套楼房，若她一次性付清购房款，请帮她计算哪种优惠方案更加合算

图形类方案设计
【例2】　(·义乌市)某校规划在一块长AD为18 m，宽AB为13 m长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行横向通道和纵向通道，别的某些铺上草皮．
(1)如图①，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们宽度相等，别的六块草坪相似，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道宽是多少？
(2)为了建造花坛，要修改(1)中方案，如图②，将三条通道改为两条通道，纵向宽度改为横向宽度2倍，别的四块草坪相似，且每一块草坪均有一边长为8 m，这样能在这些草坪上建造花坛．如图③，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF面积．

图形分割与拼接
【例3】　(·广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪某些菱形来美化教室．既有平行四边形ABCD邻边长分别为1，a(a＞1)纸片，先剪去一种菱形，余下一种四边形，在余下四边形纸片中再剪去一种菱形，又余下一种四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下四边形是菱形裁剪线各种示意图，并求出a值．

3．(·泉州)如图是某个多面体表面展开图．
①请你写出这个多面体名称，并指出图中哪三个字母表达多面体同一点；
②如果沿BC，GH将展开图剪成三块，正好拼成一种矩形，那么△BMC应满足什么条件？(不必说理)

图形平移、旋转与翻折
【例4】　(·江西)如图①，边长为4正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重叠)，点F在BC边上(不与点B，C重叠)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去……

（1) 图②中三角形EFD是通过两次操作后得到，其形状为__等边三角形__，求此时线段EF长；
(2)若通过三次操作可得到四边形EFGH；
①请判断四边形EFGH形状为_______________________，此时AE与BF数量关系是________________；
②以①中结论为前提，设AE长为x，四边形EFGH面积为y，求y与x函数关系式及面积y取值范畴．

[相应训练]
4．(·南昌)(1)如图①，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D形状为_________
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图②，在(1)中四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′位置，拼成四边形AFF′D.
①求证：四边形AFF′D是菱形．
②求四边形AFF′D两条对角线长．

立体图形与平面图形之间互相转化
【例5】　(·山西)综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图①，有一块矩形纸板，长是宽2倍，要将其四角各剪去一种正方形，折成高为4 cm，容积为616 cm3无盖长方体盒子(纸板厚度忽视不计)．
(1)请在图①矩形纸板中画出示意图，用实线表达剪切线，虚线表达折痕．
(2)祈求出这块矩形纸板长和宽．
任务二：图②是一种高为4 cm无盖五棱柱盒子(直棱柱)，图③是其底面，在五边形ABCDE中，BC＝12 cm，AB＝DC＝6 cm，∠ABC＝∠BCD＝120°，∠EAB＝∠EDC＝90°.
(1)试判断图③中AE与DE数量关系，并加以证明．
(2)图②中五棱柱盒子可按图④所示示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板长和宽至少各为多少cm？请直接写出成果(图中实线表达剪切线，虚线表达折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽视不计)．

[相应训练]
5．(·资阳)如图，透明圆柱形容器(容器厚度忽视不计)高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行最短途径是( )
A．13 cm B．2 cm C.cm D．2 cm

方案设计与动手操作型问题
一、选取题(每小题6分，共30分)
1．(·荆州)如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一种等腰直角三角形，展开铺平得到图形是( )

,A) ,B) ,C) ,D)
2．(·台湾)图为歌神KTV两种计费方案阐明．若晓莉和朋友们打算在此KTV一间包厢里持续欢唱6小时，经服务生试算后，告知她们选取包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则她们至少有多少人在同一间包厢里欢唱？( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，水厂A和工厂B，C正好构成等边△ABC，现由水厂A向B，C两厂供水，要在A，B，C间铺设输水管道，有如下四种设计方案(图中实线为铺设管道路线)，其中最合理方案是( )

4．(·黄石)把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙)，此时AB与CD1交于点O，则线段AD1长为( )

A．3 B．5 C．4 D.
5．(·莆田)数学兴趣小组开展如下折纸活动：
(1)对折矩形ABCD，使AD和BC重叠，得到折痕EF，把纸片展平；
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕通过点B，得到折痕BM，同步得到线段BN.观测，探究可以得到∠ABM度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
二、填空题(每小题6分，共18分)
6．某班级为筹办运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽条件下，有__ __种购买方案．
7．动手折一折：将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图④，在AC边上取点D，使AD＝AB，沿虚线BD剪开，展开△ABD所在某些得到一种多边形，则这个多边形一种内角度数是__ __度．

8．(·杭州)如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后图形沿从一种顶点出发直线裁剪，剪开后图形打开铺平．若铺平后图形中有一种是面积为2平行四边形，则CD＝____．

三、解答题(共52分)
9．(10分)(·温州)如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处)，请按规定将图甲，图乙中指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③三个三角形分别相应全等．
(1)图甲中格点正方形ABCD；
(2)图乙中格点平行四边形ABCD.

10．(10分)(·珠海)为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
(1)以x(元)表达商品价格，y(元)表达支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x函数解析式；
(2)若某人筹划在商都购买价格为5880元电视机一台，请分析选取哪种方案更省钱？

11．(10分) (·龙岩)下列网格中六边形ABCDEF是由边长为6正方形左上角剪去边长为2正方形所得，该六边形按一定办法可剪拼成一种正方形．

(1)依照剪拼先后图形面积关系求出拼成正方形边长；
(2)如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三某些，请在图甲中画出将②③与①拼成正方形，然后标出②③变动后位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中哪一种变换；
(3)在图乙中画出一种与图甲不同位置两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成正方形．

12．(10分) (·甘孜州)一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分派给她甲、乙两个零售店(分别简称甲店、乙店)销售，预测每箱水果赚钱状况如下表：

A种水果/箱
B种水果/箱
甲店
11元
17元
乙店
9元
13元
(1)如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能赚钱多少元？
(2)在甲、乙两店各配货10箱(按整箱配送)，且保证乙店赚钱不不大于100元条件下，请你设计出使水果经销商赚钱最大配货方案，并求出最大赚钱为多少？

13．(12分)小明据说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，当前可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你协助小明解决如下问题：
(1)求A，C之间距离；(参照数据＝4.6)
(2)若客车平均速度是60 km/h，市内公共汽车平均速度为40 km/h，城际列车平均速度为180 km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应当选取哪种乘车方案？请阐明理由．(不计候车时间)