控制新版系统的稳态误差.doc

3.5 控制系统稳态误差
3.5  控制系统稳态误差
描述控制系统微分方程
     (3.73)
式（3.73）是一种高阶微分方程，方程解可以表达为
     (3.74)
式中，前两项是方程通解，而 是方程一种特解。随时间增大，方程通解逐渐减小，方程解y(t)越来越接近特解。当时，方程通解趋于零

这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量拟定，反映了控制目的和规定。系统进入稳态后，能否达到预期控制目，能否满足必要控制精度，要解决这个问题，就必要对系统稳态特性进行分析。稳态特性性能指标就是稳态误差。
3.5.1  稳态误差
控制系统误差可以表达为
              (3.75)
式中是被控制变量盼望值，y(t)是被控制变量实际值，即控制系统输出。
稳定控制系统，在输入变量作用下，动态过程结束后，进入稳定状态误差，称为稳态误差

图3.23 单位反馈和非单位反馈系统
（a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统
在控制工程中，惯用控制系统偏差信号来表达误差。对图3.23（a)所示单位反馈系统，误差与偏差含义是相似，即
            (3.76)
式中r(t)为系统给定值，也就是输出y(t)盼望值。单位反馈系统稳态误差为:
         (3.77)
对图3.23（b)所示非单位反馈系统，由于反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相似，因此给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3.75）式意义上误差。但如果反馈环节H(s)不具有积分环节，在时，由于暂态项消失，反馈量与输出量之间就只差一种比例系数咱们以为反馈量可以代表输出量，于是，定义非单位反馈系统误差为
              (3.78)
式中r(t)是非单位反馈系统给定值，f(t)是反馈信号。依照图3.23（b)非单位反馈系统各环节间信号关系，可得
         (3.79)
如果把单位反馈系统当作是普通反馈系统特殊状况，则（3.79）式就被定义为控制系统误差拉普拉斯变换表达式。依照拉普拉斯变换终值定理得

即
         (3.80)
式（3.80）表白，控制系统稳态误差不但仅是由系统自身特性决定，还与输入函数关于。同一种系统在输入信号不同步，也许有不同稳态误差。也就是说控制系统对不同输入信号，控制精度是不同。
3.5.2  积分环节对稳态误差影响
式（3.80）中开环传递函数可以表达为
               (3.81)
式中K表达系统开环放大系数。N表达开环传递函数所包括积分环节数。在分析控制系统稳态误差时，咱们依照系统开环传递函数所含积分环节数来对系统进行分类。若N=0，即控制系统开环传递函数不含积分环节，称为0型系统。若N=I,则称为I型系统。N= Ⅱ,称为Ⅱ型系统。当前，咱们来讨论不同类型控制系统在典型输入信号作用下稳态误差。
1.  单位阶跃函数输入下稳态误差
单位阶跃函数输入下系统稳态误差为

                                (3.82)
如果咱们定义
          (3.83)
式中称为位置误差系数，则单位阶跃输入下系统稳态误差为
        (3.84)
对于0型系统
           (3.85)
           (3.86)
稳态误差为
           (3.87)
式（3.87）阐明，0型系统在单位阶跃输入下是有稳态误差。因此咱们称0型系统对单位阶跃输入是有差系统。可以通过增大开环放大系数K使稳态误差减小，但不能消除，由于系统自身特性决定了稳态误差不也许完全消除。
对于Ⅰ型或Ⅱ型系统：
系统开环传递函数为
Ⅰ型
            (3.88)
Ⅱ型
           (3.89)
系统位置误差系数
         (3.90)
系统稳态误差为
            (3.91)
（3.91）式阐明，若规定系统对阶跃输入稳态误差为零，系统必要具有积分环节。可以看出，积分环节具备消除稳态误差作用。
2.  单位斜坡函数输入稳态误差
单位斜坡函数输入下控制系统稳态误差为

定义
         (3.93)
则系统稳态误差为
         (3.94)
式中，称为速度误差系数。
对于0型系统

稳态误差为
         (3.95)
对于Ⅰ型系统

                 (3.96)
稳态误差为
     (3.97)
式中K为系统开环放大系数。
对于Ⅱ型系统

            (3.98)
稳态误差为
               (3.99)
在单位斜坡函数输入下，0型系统稳态误差为无穷大。这阐明0型系统不能跟踪斜坡函数。I型系统虽然可以跟踪单位斜坡输入函数，但存在稳态误差，即I型系统对斜坡输入是有差。若要在单位斜坡函数作用下达到无稳态误差控制精度，系统开环传递函数必要具有二个以上积分环节。
3.  单位抛物线函数输入下稳态误差
单位抛物线输入函数作用下系统稳态误差为

                       (3.100)
定义
            (3.101)
则有
            (3.102)
式中称为加速度误差函数。
对0型系统

             (3.103)
对
表3.2  典型输入信号作用下系统稳态误差
系统类型
误差系数
输入r(t)=1
输入r(t)=t
输入r(t)=

0型
K
0
0

Ⅰ型

K
0
０

Ⅱ型

K
０
０

Ⅰ型系统

              (3.104)
对Ⅱ型系统

          (3.105)
K为系统开环放大系数。
在抛物线函数输入下，0型、Ⅰ型系统都不能使用。Ⅱ型系统则是有差。若要消除稳态误差，必要选取Ⅲ 型以上系统。但系统中积分环节太多，动态特性就会变坏，甚至使系统变得不稳定。工程上很少应用Ⅱ型以上系统。表3.2给出了典型输入函数作用下各型系统稳态误差。
从以上讨论中可以得出结论：积分环节具备消除稳态误差作用。这就是许多控制系统中引入积分环节因素。
误差系数是运用拉普拉斯变换终值定理得出，它只是时间趋于无穷大时值，因而是静态误差系数，它们并不反映误差随时间变化状况。
3.5.3  扰动作用下稳态误差
以上咱们讨论了控制系统对给定值信号稳态误差。在控制系统受到扰动时，虽然给定值不变，也会产生稳态误差。系统元件受环境影响、老化、磨损等会使系统特性发生变化，也可以产生稳态误差。系统在扰动作用下稳态误差大小反映了系统抗干扰能力。
图3.24是一种控制系统构造图。咱们当前来讨论这个系统在扰动d(t)作用下稳态误差。按叠加原理，咱们假定R(s)=0,系统中只有扰动输入。系统在扰动作用下输出为

图3.24 控制系统构造图
误差为

运用拉普拉斯变换终值定理得
         (3.106)
值得阐明是，扰动稳态误差与干扰作用点关于。因此式（3.106）只合用图3.24所示系统。
若规定系统在给定值输入和扰动输入同步作用下稳态误差，只要将两者叠加就可以了。
系统在扰动作用下稳态误差也是系统一项重要稳态特性指标。
例6  单位反馈系统前向通道传递函数为

求系统在输入信号作用下稳态误差。
解  可以依照叠加原理分别求稳态误差。
本系统为Ⅰ型系统，=3为阶跃函数，。因而有

为斜坡函数，稳态速度误差系数,由此得到

为抛物线函数，稳态加速度误差系数,因而

系统稳态误差为