lingo解决线性规划方案问题的程序.doc

Lingo12软件培训教案
Lingo重要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。
例1 一种简朴线性规划问题

!exam_1.lg4 源程序
max = 2*x+3*y；
[st_1] x+y<350;
[st_2] x<100；
2*x+y<600；!决策变量黙以为非负；<相称于<=；大小写不区别

当规划问题规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set)
下面定义下标集和相应数组三种办法，效果相似:：r1 = r2 = r3， a = b = c.
sets:
r1/1..3/:a;
r2 ：b;
r3 ：c;
link2(r1,r2)：x;
link3(r1,r2,r3)：y;
endsets
data:
ALPHA = 0.7;
a=11 12 13 ；
r2 = 1..3；
b = 11 12 13;
c = 11 12 13；
enddata

例2 运送问题
计算6 个发点8 个收点最小费用运送问题。产销单位运价如下表。

B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
产量
A1
6
2
6
7
4
2
5
9
60
A2
4
9
5
3
8
5
8
2
55
A3
5
2
1
9
7
4
3
3
51
A4
7
6
7
3
9
2
7
1
43
A5
2
3
9
5
7
2
6
5
41
A6
5
5
2
2
8
1
4
3
52
销量
35
37
22
32
41
32
43
38

解： 设决策变量 = 第i个发点到第j个售点运货量，i=1,2,…m； j=1,2,…n；记为 =第i个发点到第j个售点运送单价，i =1,2,…m； j=1,2,…n
记 =第i个发点产量， i=1,2,…m；记 =第j个售点需求量， j=1,2,…n. 其中，m = 6；n = 8.
设目的函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。
于是形成如下规划问题：

把上述程序翻译成LINGO语言，编制程序如下：
!exam_2.lg4 源程序
model：!6发点8收点运送问题;
sets：
rows/1..6/：s；!发点产量限制；
cols/1..8/：d；!售点需求限制;
links(rows,cols)：c，x；!运送单价，决策运送量;
endsets
!-------------------------------------；
data：
s = 60,55,51,43,41,52；
d = 35 37 22 32 41 32 43 38；
c = 6 2 6 7 4 2 9 5
4 9 5 3 8 5 8 2
5 2 1 9 7 4 3 3
7 6 7 3 9 2 7 1
2 3 9 5 7 2 6 5
5 5 2 2 8 1 4 3；
enddata
!------------------------------------;
min = @sum(links：c*x)；!目的函数=运送总成本；
@for(rows(i):
@sum(cols(j)：x(i,j))<=s(i) )；！产量约束;
@for(cols(j):
@sum(rows(i)：x(i,j))=d(j) )；!需求约束;
end

例3 把上述程序进行改进，引进运营子模块和打印运算成果语句：
!exam_3.lg4 源程序
model： !6发点8收点运送问题;
sets：
rows/1..6/：s；!发点产量限制；
cols/1..8/：d；!售点需求限制;
links(rows,cols)：c，x；!运送单价，决策运送量;
endsets
!==================================;
data：
s = 60,55,51,43,41,52；
d = 35 37 22 32 41 32 43 38；
c = 6 2 6 7 4 2 9 5
4 9 5 3 8 5 8 2
5 2 1 9 7 4 3 3
7 6 7 3 9 2 7 1
2 3 9 5 7 2 6 5
5 5 2 2 8 1 4 3；
enddata
!==================================;
submodel transfer:
min = cost； ！目的函数极小化;
cost = @sum(links：c*x)；!目的函数：运送总成本；
@for(rows(i):
@sum(cols(j)：x(i,j)) < s(i) )；！产量约束;
@for(cols(j):
@sum(rows(i)：x(i,j)) > d(j) )； !需求约束;
endsubmodel
!==================================;
calc:
@solve(transfer)； !运营子模块（解线性规划）;
@divert('transfer_out.txt');!向.txt文献按自定格式输出数据;
@write('最小运送成本=',cost,@newline(1),'最优运送方案x=');
@for(rows(i):
@write(@newline(1));
@writefor(cols(j)：' ',@format(x(i,j),'3.0f') ) );
@divert()；!关闭输出文献；
endcalc
end

打开transfer_out.txt文献，内容为：
最小运送成本=664
最优运送方案x=
0 19 0 0 41 0 0 0
1 0 0 32 0 0 0 0
0 11 0 0 0 0 40 0
0 0 0 0 0 5 0 38
34 7 0 0 0 0 0 0
0 0 22 0 0 27 3 0

例4 data段编写技巧（1）：从txt文献中读取原始数据
!exam_3.lg4 源程序中data也可以写为：
data：
s = @file('transfer_data.txt')；
d = @file('transfer_data.txt')；
c = @file('transfer_data.txt')；
enddata
其中，transfer_data.txt内容为：
!transfer.lg4程序数据;
!产量约束s= ;
60,55,51,43,41,52 ~

!需求约束d= ;
35 37 22 32 41 32 43 38 ~
!运送单价c= ;
6 2 6 7 4 2 9 5
4 9 5 3 8 5 8 2
5 2 1 9 7 4 3 3
7 6 7 3 9 2 7 1
2 3 9 5 7 2 6 5
5 5 2 2 8 1 4 3 ~

!注：字符~是数据分割符,若无此符，视所有数据为一种数据块，只赋给一种变量;

例5 lingo程序3种输入和3种输出办法;
!exam_5.lg4源程序;
sets:
rows/1..3/：;
cols/1..4/：;
link(rows,cols)：a，b，mat1，mat2;
endsets
data：
b = 1,2,3,4
5,6,7,8
9,10,11,12； !程序内输入;
a = @file('a.txt')；!外部txt文献输入;
mat1 = @ole('d:\lingo12\data.xls',mat1)；!EXcel文献输入;
enddata
calc:
@text('a_out.txt') = a；!列向量形式输出数据;
@for(link：mat2 = 2*mat1);
@ole('d:\lingo12\data.xls') = mat2 ;!把mat2输出到xls文献中同名数据块；
!向.txt文献按自定格式输出数据(参照前例);
Endcalc

例6 程序段中循环和选取构造举例
!exam_6.lg4源程序;
sets:
rows/1..5/:;
cols/1..3/:;
links(rows,cols):d;
endsets
data:
d=0 2 3
4 3 2
1 3 2
4 7 2
2 1 6;
enddata
calc:
i=1;
@while(i#le#5:
a = d(i,1);b = d(i,2)；c = d(i,3)；
@ifc(a#eq#0：
@write('infeasible!',@newline(1));
@else
delta = b^2-4*a*c;
sqrt = @sqrt(@if(delta#ge#0，delta,-delta));
@ifc(delta#ge#0:
@write('x1=',(-b+sqrt)/2/a,' x2=',(-b-sqrt)/2/a,@newline(1));
@else
@write('x1=',-b/2/a,'+',sqrt/2/a,'i'，'x2=',-b/2/a,'-',sqrt/2/a,'i',@newline(1));
);
)；
i=i+1;
);
endcalc

本程序中循环构造也可以用@for(rows(i)：程序体);进行计算。
例7 指派问题 （n人n任务费用最小）

B1
B2
B3
B4
B5
B6
A1
6
2
6
7
4
2
A2
4
9
5
3
8
5
A3
5
2
1
9
7
4
A4
7
6
7
3
9
2
A5
2
3
9
5
7
2
A6
5
5
2
2
8
1

解： 设决策变量=1或0，表达第i个人与否完毕第j项任务，i,j=1,2,…n； 记 =第i个人完毕第j项任务费用，i,j =1,2,…n； n = 6.
设目的函数为总费用，约束条件为（1）每人只完毕一项任务；（2）每项任务只由一人完毕。
于是形成如下规划问题：

!exam_7.lg4源程序;
model：!6人6任务指派问题;
sets：
rows/1..6/：；!6人6任务；
links(rows,rows)：c，x；!费用和决策变量;
endsets
!-------------------------------------；
data：
c = 6 2 6 7 4 2
4 9 5 3 8 5
5 2 1 9 7 4
7 6 7 3 9 2
2 3 9 5 7 2
5 5 2 2 8 1；
enddata
!==================================;
submodel appointment:
min = cost； ！目的函数极小化;
cost = @sum(links：c*x)；!目的函数：总费用；
@for(rows(i):
@sum(rows(j)：x(i,j)) = 1 )；!每人完毕一项 ;
@for(rows(j):
@sum(rows(i)：x(i,j))= 1 )；!每项由一人完毕;
@for(links：@bin(x))；!0-1变量约束;
endsubmodel
submodel binVar:
@for(links：@bin(x))；!0-1变量约束;
endsubmodel
!==================================;
calc:
@solve(appointment,binVar)； !运营子模块（解线性规划）;
@divert('appointment_out.txt');!向.txt文献按自定格式输出数据;
@write('最小指派费用=',cost,@newline(1),'分派方案x=');
@for(rows(i):
@write(@newline(1));
@writefor(rows(j)：' ',@format(x(i,j),'3.0f') ) );
@divert()；!关闭输出文献；
endcalc
end

例8 多目的规划转化为单目的规划问题举例
把上述运送问题稍加修改，考虑到运送量可以要取整数，就变成整数规划问题，并且运送问题除了成本最小一种目的以外，有时也要考虑各发点运送量尽量均衡作为另一种目的。本程序解决办法一是两目的加权平均，办法二是只选一种目的，另一种目的转化为约束，从而把多目的改为单目的。
!exam_8.lg4 源程序;
model： !6发点8收点运送问题;
sets：
rows/1..6/：s；!发点产量限制；
cols/1..8/：d；!售点需求限制;
links(rows,cols)：c，x；!运送单价，决策运送量;
endsets
!==================================;
data：
s = 60,55,51,43,41,52；
d = 35 37 22 32 41 32 43 38；
c = 6 2 6 7 4 2 9 5
4 9 5 3 8 5 8 2
5 2 1 9 7 4 3 3
7 6 7 3 9 2 7 1
2 3 9 5 7 2 6 5
5 5 2 2 8 1 4 3；
enddata
!==================================;
submodel obj_1:
min = minCost； ！目的函数极小化;
minCost = @sum(links：c*x)；!目的函数：运送总成本；
endsubmodel
submodel obj_2:
min = objValue;
objValue = 0.4*obj1+0.6*obj2； ！二目的加权平均;
obj1 = @sum(links：c*x)；!目的函数1：运送总成本；
obj2 = max1-min1； !目的函数2：发点运送量极差;
@for(links(i,j):
@sum(cols(j)：x(i,j)) < max1 ；
@sum(cols(j)：x(i,j)) > min1 ；);
endsubmodel
submodel obj_3:
min = obj2；
obj2 = max1-min1； !目的函数：发点运送量极差;
@for(links(i,j):
@sum(cols(j)：x(i,j)) < max1 ；
@sum(cols(j)：x(i,j)) > min1 ；);
cost1 = @sum(links：c*x)；!运送总成本；
cost1 < 1.05*minCost； !运送总成本约束；
endsubmodel
submodel subject_to_1:
@for(rows(i):
@sum(cols(j)：x(i,j)) < s(i) )；！产量约束;
@for(cols(j):
@sum(rows(i)：x(i,j)) > d(j) )； !需求约束;
endsubmodel
submodel subject_to_2:
@for(links：@gin(x))；!整数约束;
endsubmodel

!==================================;
calc:
@solve(obj_1，subject_to_1，subject_to_2)； !运营子模块（解线性整数规划）;
@divert('intModel_out.txt');
@write(@newline(2),'整数规划最小运送成本=',minCost,@newline(1),'最优运送方案x=');
@for(rows(i):
@write(@newline(1));
@writefor(cols(j)：' '，@format(x(i,j)，'3.0f') ) );
@divert()；@pause()；

@solve(obj_2，subject_to_1，subject_to_2)； !运营子模块（解线性整数规划）;
@divert('intModel_out.txt'，'a');!向.txt文献追加输出数据;
@write(@newline(2),'二目的加权平均最小值=',objValue,@newline(1),'最优运送方案x=');
@for(rows(i):
@write(@newline(1));
@writefor(cols(j)：' '，@format(x(i,j)，'3.0f') ) );
@divert()；@pause()；

@solve(obj_3，subject_to_1，subject_to_2)； !运营子模块（解线性整数规划）;
@divert('intModel_out.txt'，'a');!向.txt文献追加输出数据;
@write(@newline(2),'成本约束时极差最小值=',obj2,@newline(1),'成本约束时运送量最平均方案x=');
@for(rows(i):
@write(@newline(1));
@writefor(cols(j)：' '，@format(x(i,j)，'3.0f') ) );
@divert();
endcalc
end
本例中运送量均衡指标，可以用方差表达，但变成非线性规划问题，只能求出局部最优解，而线性规划最优解是全局最优解。

例9 杂例1
model： !费波那契数列；!exam_9.lg4 源程序;
sets：
II/1..100/：Fi；!费波那契数列；
endsets
!==================================;
submodel myProc:
Fi(1) = 1;
Fi(2) = 1;
@for(II(i)|(i#ge#3)#and#(i#le#n):
Fi(i)=Fi(i-1)+Fi(i-2) );
endsubmodel
!==================================;
calc:
n = 10;
@solve(myProc);
@divert('Fibo_out.txt');
@writefor(II(k)|k#le#n：'Fi(',@format(k，'2.0f'),')=',
@format(Fi(k)，'3.0f'),@newline(1) );
@divert()；
endcalc
end

例10 杂例2
sets:
II/1..3/:;
links(II,II):a,x;
endsets
data:
a = 1,2,3
2,1,4
3,2,2;
enddata
submodel fMin： !求函数极值，极小值点；
min = z^2+4*z+3;
@free(z);
endsubmodel
submodel fzero： !解方程，求函数零点；
@cos(y) = y;
@bnd(0,y,5);
endsubmodel
submodel get_invMat： !解矩阵方程，求逆阵;
@for(II(i):
@for(II(j):
@sum(II(k):a(i,k)*x(k,j)) = @if(i#eq#j,1,0)));
@for(links:@free(x));
endsubmodel
calc:
@solve(fMin);
@solve(fzero);
@solve(get_invMat);
endcalc

Lingo编程语言参照：
LINGO 有9 种类型函数：
1． 基本运算符：涉及算术运算符、逻辑运算符和关系运算符
2． 数学函数：三角函数和常规数学函数
3． 金融函数：LINGO提供两种金融函数
4． 概率函数：LINGO提供了大量概率有关函数
5． 变量界定函数：此类函数用来定义变量取值范畴
6． 集操作函数：此类函数为对集操作提供协助
7． 集循环函数：遍历集元素，执行一定操作函数
8． 数据输入输出函数：容许模型和外部数据源相联系，进行数据输入输出
9． 辅助函数：各种杂类函数

1. 基本运算符
1.1 算术运算符
＾ 、﹡ 、／ 、﹢ 、﹣
1.2 逻辑运算符：
#not# 否定该操作数逻辑值，＃not＃是一种一元运算符
#eq# 若两个运算数相等，则为true；否则为flase
#ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase
#gt# 若左边运算符严格不不大于右边运算符，则为true；否则为flase
#ge# 若左边运算符不不大于或等于右边运算符，则为true；否则为flase
#lt# 若左边运算符严格不大于右边运算符，则为true；否则为flase
#le# 若左边运算符不大于或等于右边运算符，则为true；否则为flase
#and# 仅当两个参数都为true 时，成果为true；否则为flase
#or# 仅当两个参数都为false 时，成果为false；否则为true
1.3 关系运算符
“=”、“<=”和“>=”，LINGO 中还能用“<”表达不大于等于关系，

2.2 数学函数
三角函数 @sin(x),@sinh(x)，@asin(x)，@asinh(x),@cos(x),@cosh(x)，@acos(x)，@acosh(x)，@tan(x),@tanh(x)，@atan(x)，@atanh(x)，@atan2(x)
@abs(x) 返回x 绝对值
@exp(x) 返回常数e x 次方
@floor(x) 返回去掉小数某些后整数
@log(x) 返回x 自然对数
@log10(x) 返回x 以10为底对数
@lgm(x) 返回xgamma 函数自然对数
@mod(m,n) 返回用n整除m余数.，如@mod(5,3)返回2;
@pi() 返回圆周率
@pow(x,y) 返回xy次幂
@sign(x) 如果x<0 返回-1；否则，返回1
@smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中最大值
@smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中最小值
@sqr(x) 返回x平方.
@sqrt(x) 返回x平方根.

2. 3 金融函数
@fpa(I,n) 返回如下情形净现值：单位时段利率为I， 持续n个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付x单位费用，则净现值可用x乘以@ fpa(I,n)算得。
@fpl(I,n) 返回如下情形净现值：单位时段利率为I，第n 个时段支付单位费用。

2.4 概率函数
@norminv(p,mu,sigma) N(mu,sigma^2)分布函数反函数
@norminv(p,mu,sigma) N(0,1)分布函数反函数
@pbn(p,n,x) 二项分布累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。
@pcx(n,x) 自由度为nχ2分布累积分布函数。
@peb(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且容许无穷排队时Erlang 繁忙概率。
@pel(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不容许排队时Erlang 繁忙概率。
@pfd(n,d,x) 自由度为n和d F 分布累积分布函数。@pfs(a,x,c) 当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源Poisson 服务系统等待或返修顾客数盼望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。
@phg(pop,g,n,x) 超几何（Hypergeometric）分布累积分布函数。pop表达产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。
@ppl(a,x) Poisson 分布线性损失函数，即返回max(0,z-x)盼望值，其中随机变量z服从均值为aPoisson 分布。
@pps(a,x) 均值为aPoisson 分布累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。
@psl(x) 单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)盼望值，其中随机变量z 服从原则正态分布。
@psn(x) 原则正态分布累积分布函数。
@ptd(n,x) 自由度为nt 分布累积分布函数。
@qrand(seed) 产生服从(0,1)区间拟随机数。
@rand(seed) 返回0 和1 间伪随机数，

2.5 变量界定函数
变量界定函数实现对变量取值范畴附加限制，共4 种：
@bin(x) 限制x 为0 或1
@bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
@free(x) 取消对变量x 默认下界为0 限制，即x 可以取任意实数
@gin(x) 限制x 为整数
在默认状况下，LINGO 规定变量是非负，也就是说下界为0， 上界为+∞。@free 取消了默认下界为0 限制，使变量也可以取负值。@bnd 用于设定一种变量上下界,它也可以取消默认下界为0 约束。
@semic(L,x,U)，半持续约束。约束x或者取0或者取[L,U]内数据。
2. 6 集操作函数
@in(set_name,primitive_index_1 [,primitive_index_2,…]) 如果元素在指定集中，返回1；否则返回0。
@index([set_name,] primitive_set_element) 该函数返回在集set_name 中原始集成员primitive_set_element 索引。如果set_name被忽视，那么LINGO 将返回与primitive_set_element 匹配第一种原始集成员索引。如
果找不到，则产生一种错误。
@wrap(index,limit) 该函数返回j=index-k*limit，其中k 是一种整数，取恰当值保证j 落在区间[1，limit] 内。该函数相称于index 模limit 再加1 。该函数在循环、多阶段筹划编制中特别有用。
@size(set_name) 该函数返回集set_name 成员个数。在模型中明确给出集大小时最佳使用该函数。它使用使模型更加数据中立，集大小变化时也更易维护。

2.7 集循环函数
集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为
@function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:expression_list)；
@function 相应于下面罗列五个集循环函数之一；setname 是要遍历集；set_index_list 是集索引列表；conditional_qualifier 是用来限制集循环函数范畴，当集循环函数遍历集每个成员时，LINGO 都要对conditional_qualifier进行评价，若成果为真， 则对该成员执行@function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。expression_list 是被应用到每个集成员表达式列表，当用是@for函数时，expression_list 可以包括各种表达式，其间用逗号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。当使用别的三个集循环函
数时，expression_list 只能有一种表达式。如果省略set_index_lis t，那么在
expression_list 中引用所有属性类型都是setname 集。
@for 该函数用来产生对集成员约束。基于建模语言标量需要显式输入每个约束，但是@for 函数容许只输入一种约束，然后LINGO 自动产生每个集成员约束。
@sum 该函数返回遍历指定集成员一种表达式和。
@prod 该函数返回遍历指定集成员一种表达式积。
@min 和@max 返回指定集成员一种表达式最小值或最大值。

2.8 输入和输出函数
@file 函数 该函数用从外部文献中输入数据，可以放在模型中任何地方。该函数语法格式为
@file(‘filename’)。
这里filename 是文献名，可以采用相对途径和绝对途径两种表达方式。@file 函数对同一文献两种表达方式解决和对两个不同文献解决是同样，这一点必要注意。
@text 函数
该函数被用在数据某些用来把解输出至文本文献中。它可以输出集成员和集属性值。其语法为
@text([’filename’])
这里filename 是文献名，可以采用相对途径和绝对途径两种表达方式。如果忽视filename，那么数据就被输出到原则输出设备（大多数情形都是屏幕）。@text函数仅能出当前模型数据某些一条语句左边，右边是集名（用来输出该集所有成员名）或集属性名（用来输出该集属性值）。
@ole 函数
@OLE 是从EXCEL 中引入或输出数据接口函数，它是基于传播OLE 技术。OLE 传播直接在内存中传播数据，并不借助于中间文献。当使用@OLE时，LINGO 先装载EXCEL， 再告知EXCEL 装载指定电子数据表，最后从电子数据表中获得Ranges。为了使用OLE 函数， 必要有EXCEL5 及其以上版本。OLE函数可在数据某些和初始某些引入数据。 @OLE 可以同步读集成员和集属性，集成员最佳用文本格式，集属性最佳用数值格式。原始集每个集成员需要一种单元(cell)，而对于n元派生集每个集成员需要n个单元，这
里第一行n个单元相应派生集第一种集成员，第二行n个单元相应派生集第二个集成员，依此类推。 @OLE 只能读一维或二维Ranges（ 在单个EXCEL 工作表(sheet)中），但不能读间断或三维Ranges。Ranges是自左而右、自上而下来读。
@ranged(variable_or_row_name)
为了保持最优基不变，变量费用系数或约束行右端项容许减少量。
@rangeu(variable_or_row_name)
为了保持最优基不变，变量费用系数或约束行右端项容许增长量。
@status()
@dual(variable_or_row_na me)返回变量鉴别数（检查数）或约束行对偶（影子）价格（dual prices）。
2.9 辅助函数
@if(logical_condition,true_result,false_result)
@if 函数将评价一种逻辑表达式logical_condit ion，如果为真，返回true_ result，否则返回false_result。
@warn(’text’,logical_condition)
如果逻辑条件logical_condition 为真，则产生一种内容为’text’信息框。

3. 敏感性分析(略)