初中数学九年级下册圆周角和圆心角的关系.doc

课时课题： 第三章 圆 3．圆周角和圆心角的关系 第1课时
课型：新授课
教学目标：
1．经历圆周角和圆心角的关系的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会分类、归纳等数学思想方法。
2．理解圆周角的概念及圆周角和圆心角的关系。并能够应用“圆周角与圆心角的关系”进行简单的论证和计算．
重点:
经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，理解“圆周角与圆心角的关系”．
难点:
了解圆周角与圆心的三种位置关系，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”．
教学分析及教学方法：
本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的推论的理论依据,还能充分渗透分类讨论的数学思想和方法。本节课储备的知识，在推理、论证和计算中应用广泛，并且它在研究圆和其他图形中起着桥梁和纽带作用，是本章重点内容之一。
根据本节课教学内容的特点，采用“创景导学—自主探究—合作交流—巩固提升—当堂检测”的教学模式．
课前准备：
多媒体课件
教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：同学们玩过足球射门游戏吗？（投影展示一系列足球射门的图片）

生：玩过．
师：适当玩一些益智游戏，可以锻炼我们的多种能力，但是一定要把握度。请同学们想一想，球员射中球门的难易与什么有关？
生：积极回答！
设计说明：设计上述问题，意在通过射门游戏引入圆周角的概念，激发学生的兴趣，而对于这一问题的答案，则可以让学生相互交流，自由发挥，不必去刻意追求正确的答案．

师：（教师总结）如图1所示，球员射中球门的难易与他所在的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．把实际图形画成图（1），请同学们观察图中的∠ABC有哪些特征？

生1：角的顶点在圆上．
生2：他说的不全面，应该有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交．
设计说明：在引导学生探索圆周角的特征时，要引导学生先在观察图形的基础上进行独立思考，然后再进行合作交流，最后形成共识．
师：第二位同学回答的非常全面，我们把具备这两个特征的角叫做圆周角，这节课我们就来探索圆周角与圆心角的关系．（板书课题，导入新课）
二、问题导学，合作探究
（一）圆周角的概念
师：哪位同学能叙述一下圆周角的概念？
生：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角．
师：这位同学回答的很正确，同学们在理解圆周的概念时一定要抓住它的两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交．下面我就出个题目，来检测一下同学们对圆周角概念的掌握情况．
投影出示：判断下列图中的角是否是圆周角，并说明理由．
（先让学生观察思考，然后再找基础较弱的学生回答）

生1：第（1）个不是圆周角，因为角的顶点不在圆上．
生2：第（2）个是圆周角．
生3：第（3）个不是圆周角，因为角的顶点不在圆上．
生4：第（4）个是圆周角．
生5：第（5）个不是圆周角，因为该角只有一边与圆有一个交点，另一边不与圆相交．
生6：第（6）个不是圆周角，因为该角的两边都不与圆相交．
生7：第（7）个是圆周角．
生8：第（6）个不是圆周角，它是圆心角．
设计意图：一是通过对圆周角的辨析，加深对圆周角概念的理解；二是通过对（2）、(4)、(7)三个图形中圆周角不同位置的展示，引起学生的注意和思考，为下一步探索圆周角与圆心的位置关系做铺垫；三是借助（8）中图形对圆心角进行回顾．
（二）探索圆周角和圆心角的关系
师：在图1中，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？
生：相等．
师：我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？
生：也相等．（大部分学生思考不语，有极少部分学生回答）
设计说明：提出这一问题意在引起学生思考，为本节课活动埋下伏笔，但有部分学生提前进行了预习或通过猜测，说出了答案，教师可在此基础上继续质疑、引导．
师：你能说出理由吗？
生：思考，回答不出来．
师：为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系．
首先请同学们画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角．然后思考：（1）弧AC所对的圆周角有多少个？动手画一下．（2）这些圆周角与圆心有几种位置关系？
生：结合图形回答．
设计说明：教师引导学生通过动手画图，操作与观察，去发现弧AC所对的圆周角有无数个，它们与圆心的位置关系只有三种情况．教师在此基础上利用多媒体投影演示图2、图3，进一步明确圆周角与圆心的这三种位置关系，这样就为后面的分类探索起铺垫作用，达到分散难点的目的．
o
B3
A
C
B2
B1
o
B
A
C
o
A
C
B
o
A
C
B
（点B在优弧AC上运动）
图2
图3

图4
师：下面我们把图1画成图4，其中O为圆心，请同学们观察：圆周角∠ABC与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴交流一下．（这里给学生留出思考、交流的时间）

生：既然圆周角与圆心的位置关系只有三种情况，那我们就先考虑特殊情况下：圆周角的一边经过圆心时圆周角与圆心角的关系．
设计说明：有了前面的铺垫，个别学生能够提出类似教材上小亮的想法，此时教师可顺势进行下面的教学，指导学生进行规范的演绎推理．
师：这位同学说得很好，现在我们就来探究这种特殊情况：如图5，当∠ABC的一边BC经过圆心O时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的关系．哪位同学能到黑板上把你的结论和理由写出来？（画出图形，让学生到黑板板演）
图5
生：解：∠ABC＝∠AOC．
理由：∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．
∵OA＝OB,
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠AOC＝2∠ABO，
即∠ABC＝∠AOC．
师：如果∠ABC的两边都不经过圆心（如图6所示），那么结果会怎样？
图6

生：开始思考、交流讨论．
师：（引导点拨）这两种情况能转化为第一种情况吗？如何转化？请同学讨论一下．
设计说明：学生解决这一问题时，教师可先设计问题引导，让学生独立思考：这两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？在此基础上再指导学生进行合作交流．时机成熟后找两名同学上黑板板演，师生共同纠错．
生1：
解：如图（1），在⊙中作直径BD，
由前面的结论可知，∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．
∴∠ABD＋∠CBD＝∠AOD＋∠COD．
即：∠ABC＝∠AOC．
生2：
解：如图（2），在⊙O中作直径BD，
由前面的结论可知，∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．
∴∠ABD－∠CBD＝∠AOD－∠COD．
即：∠ABC＝∠AOC．
师：同学们做得非常好，通过对圆周角和圆心角关系的探究，你发现了什么结论？
生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
师：我们把这一结论称为圆周角定理，请同学们结合图形识记这个定理．（教师板书定理）
三、学以致用，巩固提高（投影出示练习题）
1．（2012·湘潭）如图，在⊙O中，弦AB∥CD,若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )
A．20° B． 40° C．50° D． 80°
2．（2012·南通）如图，在⊙O中，∠AOB＝46º，则∠ACB＝ º．

3．（2012·吉林中考）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝ 度．
第4题图
4．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？

5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，求∠BOD（弧BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小．
第5题图

设计说明：先让学生独立完成，教师做巡视，了解学情，然后师生共同校对答案、纠错．通过一组习题来加深学生对圆周角及其定理的理解，提高运用所学知识解决问题的能力．如果时间允许可在学生完成4、5两题的基础上补充：
（1）（2012·鄂州）如图OA=OB=OC且∠ACB=30°,则∠AOB的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°

（2）如图，∠BCD＝100°，点C在⊙O上，且点A不与B、D重合，求∠BAD度数．
设计意图：让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力．
四、归纳小结，知识升华
师：请同学们从以下四个方面：1、学到了哪些知识；2、掌握了哪些数学方法；3、体会到了哪些数学思想；4、还有哪些发现与猜想？谈一谈本节课的学习收获．
生：畅所欲言，谈收获与感受．
设计意图：一是给学生抒发感受的机会，让学生在民主、和谐的氛围中小结本节课所学的知识及自己的感悟，；二是让学生总结出自己在“做中学”的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，以培养学生的表达能力和概括能力．
五、当堂达标检测（投影出示达标检测题）
1．若⊙O的一条弧所对的圆周角为60°，则这条弧所对的圆心角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．以上答案都不对
2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15 B．28 C．29 D．34
3．（2012·泰州中考）如图，点A，B，C都在⊙O上，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°

4．（2012·大庆）如图所示，点A，B，C，D，E均在⊙O上，则∠ADC+∠AEB+∠BAC＝( )
A．90° B．180° C．270° 　　D．360°
5．（2012·威海中考）如图，在⊙O中，∠AOB的度数为160度，C是弧ACB上一点，D,E是弧AB上不同的两点（不与A，B两点重合），则∠D＋∠E的度数为 ．
设计意图：通过当堂达标检测，一是巩固学生所学知识，使学生将刚刚理解的知识加以应用，并在应用过程中加深理解；二是通过对学生检测信息的收集、处理，来了解本节课学生当堂学习情况及教学中的不足之处，便于及时调整，起到查漏补缺的目的．
六、板书设计

3．圆周角和圆心角的关系

一、圆周角的概念
二、圆周角定理

学生板演
投影区域

七、教学反思
在本节课的教学中，我结合本节课教学内容、教学目标和学生的认知规律，在教学设计上，一是注重创设情境，激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望，为下一步教学的顺利展开开个好头；二是注重引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程，鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，使学生在数学活动中深刻的理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法。