2016江徐州市高二下期中数学试卷及答案文科精校班.doc

2016-2017学年江苏省徐州市县区高二（下）期中数学试卷（文科）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）复数=　 　．
2．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，结论的否定是　 　．
3．（5分）已知集合P={1，2}，Q={z|z=x+y，x，y∈P}，则集合Q为　 　．
4．（5分）由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为　 　（写序号）．
5．（5分）设z为纯虚数，且|z﹣1|=|﹣1+i|，则z=　 　．
6．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为　 　．
7．“函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”是“loga2＜0”的　 　条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．
8．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　 　．

9．下列有关命题的说法中正确的是　 　．（填序号）
①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；
②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；
③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；
④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．
10．已知p：x＜﹣2或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2；￢p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围　 　．
11．对于函数f（x）=x2﹣2x+3（x≥2），若存在x0∈[2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为　 　．
12．已知复数z满足等式|z﹣1|=|z+2i|（i是虚数单位），则|z﹣1﹣i|的最小值是　 　．
13．如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=　 　．

14．我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线y=x所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积　 　．

二、解答题
15．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
（1）求复数z；
（2）若+为纯虚数（其中m∈R），求实数m的值．

16．阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③
令α+β=A，α﹣β=β　有α=，β=代入③得　sinA+sinB=2sincos．
（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值；
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sincos．
17.已知集合，实数且.
(1)求,
(2)求实数的取值范围.

18．（16分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B={y|y=x2﹣2x+a}，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅，命题q：A⊆C．
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围．
（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
19．（16分）（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
（2）证明：为无理数；
（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．
20．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣x+，g（x）=x2+x﹣b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）=，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；
（3）求证：1+++…+＞lnn+（n≥2且n∈N*）．

2016-2017学年江苏省徐州市县区高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（2016•天津一模）复数=　﹣i　．
【解答】解：===﹣i，
故答案为：﹣i．

2．（2017春•徐州期中）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，结论的否定是　三角形的三个内角都大于60°　．
【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故答案为：三角形的三个内角都大于60°．

3．（2017春•徐州期中）已知集合P={1，2}，Q={z|z=x+y，x，y∈P}，则集合Q为　{2，3，4}　．
【解答】解：∵集合P={1，2}，
当x=1，y=1时，z=2
当x=1，y=2时，z=3
当x=2，y=1时，z=3
当x=2，y=2时，z=4
∴Q={z|z=x+y，x，y∈P}={2，3，4}
故答案为：{2，3，4}．

4．（2017春•徐州期中）由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为　②③①　（写序号）．
【解答】解：用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的对角线相等，
小前提 ③正方形是矩形，
结论 ①正方形的对角线相等，
故答案为：②③①

5．（2017春•徐州期中）设z为纯虚数，且|z﹣1|=|﹣1+i|，则z=　±i　．
【解答】解：z为纯虚数设为：ai，且|z﹣1|=|﹣1+i|，
可得=，
解得a=±1．
z=±i
故答案为：±i；

6．（2011•江苏模拟）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为　（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）　．
【解答】解：观察下列各式
9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），
16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），
25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），
36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），
，…，
分析等式两边数的变化规律，我们可以推断
（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）
故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）

7．（2016春•淮安校级期末）“函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”是“loga2＜0”的　充要　条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．
【解答】解：若“函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”，则0＜a＜1，
此时“loga2＜0”成立，即充分性成立，
若“loga2＜0”，则0＜a＜1，此时“函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”成立，
即“函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”是“loga2＜0”的充要条件，
故答案为：充要

8．（2015•潍坊模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　．

【解答】解：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方形重叠部分的面积恒为，
类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方体重叠部分的体积恒为，
故答案为．

9．（2015秋•滑县期末）下列有关命题的说法中正确的是　④　．（填序号）
①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；
②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；
③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；
④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．
【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；故①错误，
②由x2﹣5x﹣6=0得x=﹣1或x=6，则“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件；故②错误
③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1≠0”；故③错误，
④命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题．，则命题的逆否命题为真命题．故④正确，
故答案为：④．

10．（2017春•徐州期中）已知p：x＜﹣2或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2；￢p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围　（3，+∞）　．
【解答】解：∵p：x＜﹣2，或x＞10；
q：1﹣m≤x≤1+m2
∴¬p：﹣2≤x≤10，
∵¬p⇒q
∴，解得m≥3，
又∵q 推不出¬p，
∴m≠3，
∴m的取值范围为（3，+∞）．

11．（2017春•徐州期中）对于函数f（x）=x2﹣2x+3（x≥2），若存在x0∈[2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为　[3，+∞）　．
【解答】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2
当x≥2时，函数f（x）单调增，
∴f（x）min=f（2）=3，
∵∃x0∈[2，+∞），使f（x0）=m成立，
∴实数m的取值范围是[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）

12．（2017春•徐州期中）已知复数z满足等式|z﹣1|=|z+2i|（i是虚数单位），则|z﹣1﹣i|的最小值是　　．
【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），
∵|z﹣1|=|z+2i|，
∴|x﹣1+yi|=|x+（y+2）i|，
即，
整理得：2x+4y+3=0．
∴复数z的对应点的轨迹是2x+4y+3=0．
∴|z﹣1﹣i|的最小值即为点（1，1）到直线2x+4y+3=0的距离为：．
故答案为：．

13．（2015•长沙校级一模）如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=　﹣1　．

【解答】解：从图中得出：
第一个到第二个OA转过了60度，
第二个到第三个转过了120度，
依此类推每一次边上是60度，转角是120度，
共有6个转角一共就是1080度，
所以xsin180°+cos180°=﹣1．
故答案为：﹣1

14．（2017春•徐州期中）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线y=x所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积　a2hπ　．

【解答】解：y=m，是一个圆环其面积
S=π（AC2﹣BC2）
∵线﹣=1⇒AC2=，
同理BC2=
∴AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为a2hπ．
故答案为：a2hπ．

二、解答题
15：解（1）设（由得：．①
又复数 在复平面上对应的点
在第一、三象限的角平分线上，则即．② ……2分
由①②联立方程组，解得或
…………4分
∵，∴．
∴ …………6分
（2）由， 可得=
=， ……………10分
∵为纯虚数，∴， ……………12分
解得m=﹣5． …………14分
16：解（1）； ……………6分
（2）因为……①，……②，
由①②得……③，
令，，有，，代入③得.
………………14分
17：解（1）依题意得，或，.……6分
（2），由于则，由得
所以 ............14分
18．（16分）（2015秋•葫芦岛期末）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B={y|y=x2﹣2x+a}，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅，命题q：A⊆C．
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围．
（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
B={y|y=x2﹣2x+a}={y|y=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1}={y|y≥a﹣1}，
若命题p为假命题，即A∩B=∅，
则a﹣1＞2，得a＞3．
（2）若命题p∧q为真命题，
则A∩B≠∅，且A⊆C．
则，得，得0≤a≤3．

19．（16分）（2017春•徐州期中）（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
（2）证明：为无理数；
（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．
【解答】解：（1）取一个等比数列{an}：首项为1、公比为，
则，…2分
则令=4，解得n=5，
所以a1=1，，a5=4． …4分
（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分
则h2=2k2，所以h为偶数，…7分
设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，
则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分
所以假设不成立，所以是有理数． …10分
（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，
且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分
设公差为d，显然d≠0，则，
消去d得，，…13分
由n、m、p都为整数，所以为有理数，
由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分
所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分．

20．（16分）（2017春•徐州期中）已知函数f（x）=alnx﹣x+，g（x）=x2+x﹣b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）=，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；
（3）求证：1+++…+＞lnn+（n≥2且n∈N*）．
【解答】解：（1）由f（x）=alnx﹣x+，则f（x）恒过（1，0），则P（1，0），g（1）=0，
∴b=2，由f′（x）=﹣1﹣，f′（1）=0，则a=2，即a=2，b=2；
∴a，b的值2，2；
（2）h（x）=＜0，即证x＞0且x≠1时，f（x），g（x）异号，
则g（x）=x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2），
∴当x＞1时，g（x）＞0，则f′（x）=﹣1﹣=﹣＜0，
∴f（x）在（1，+∞）单调递减，
又f（1）=0，则f（x）＜f（1）=0，则h（x）=＜0，
∵当0＜x＜1时，g（x）＜0，
∴f′（x）=﹣1﹣，
∴f（x）＞f（1）=0，
∴h（x）=＜0，综上得证．
（3）证明：由（2）知：当x＞1时，f（x）＜0，
即2lnx＜x﹣，令x=（n≥2），
∴2ln＜+=+，
∴2ln＜+1，
2ln＜+，
…
2ln＜+，
以上各式相加可得：2lnn＜2（1+++…+）﹣1﹣，（n＞1），
1+++…+＞lnn+，
另法：（3）数学归纳法证明如下：
①当n=1时，左边=1+=，右边=ln2+，左边﹣右边=﹣ln2=ln＞0，
∴左边＞右边，
所以，当n=2时，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即1++…+＞lnk+（k＞1）成立．
那么，当n=k+1时，左边=1++…++＞lnk++，而右边=ln（k+1）+，
要证：1++…++＞ln（k+1）+，
即证：lnk++＞ln（k+1）+，
即证：ln（k+1）﹣lnk＜（+）﹣，即证ln＜﹣，★
由（2）知：当x＞1时，h（x）＜0，且g（x）＞0，
∴f（x）＜0，即2lnx＜x﹣，
∵＞1，
∴2l＜﹣，则★成立
∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②知，不等式1+++…+＞lnn+（n≥2且n∈N*）．