初中数学破题致胜微方法等腰直角三角形中的手拉手模型等腰直角三角形手拉手模型的补全1.doc

等腰直角三角形手拉手模型的补全
例：如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．
（1）① 依题意补全图形；
② 请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

图1 图2
分析：（1）②∠ADC+∠CDE=180°．根据旋转的性质即可解答
（2）根据旋转的性质，可证明A、D、E三点在同一条直线上，得到AE=AD+DE，再根据旋转，实质得到两个等腰直角三角形手牵手相似，则可证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，又CD=CE,∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM，∴AE=BE+2CM.
（3）作AF⊥BP于F，此图可看成不完整的等腰直角三角形手牵手，则相当于△ADP绕点A顺时针旋转90°，∴作AH⊥BP于H，如图，形成三角形△ABD和△AHP手牵手，∴△ABH≌△ADP，∴BP=BH+HP=PD+2AF，在Rt△BPD中借助勾股定理可得

解：（1）① 依题意补全图形（如下图）；

② ∠ADC+∠CDE=180°．
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：
∵ 线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴ CD=CE，∠DCE=90°． ∴ ∠CDE=∠CED=45°．
又∵ ∠ADC=135°，∴ ∠ADC+∠CDE =180°，
∴ A、D、E三点在同一条直线上.
∴ AE=AD+DE.
又∵ ∠ACB=90°，∴ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE．
又∵ AC=BC，CD=CE，∴ △ACD≌△BCE． ∴ AD=BE．
∵ CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴ DE=2CM．
∴ AE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为．
总结：在等腰直角三角形顶角顶点的基础上，出现了一个利用腰形成的三角形时，往往借助等线段、共端点考虑用旋转的思路构造此三角形旋转90°利用等腰三角形另一腰形成三角形解决问题
练习：（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：
① ∠AEB的度数为_______；
②线段AD、BE之间的数量关系为______________．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段AM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．