1、等腰直角三角形手拉手模型的补全例:如图1,在ABC中,CA=CB,ACB=90,D是ABC内部一点,ADC=135,将线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE,连接DE(1) 依题意补全图形; 请判断ADC和CDE之间的数量关系,并直接写出答案(2)在(1)的条件下,连接BE,过点C作CMDE,请判断线段CM,AE和BE之间的数量关系,并说明理由(3)如图2,在正方形ABCD中,AB=,如果PD=1,BPD=90,请直接写出点A到BP的距离 图1 图2分析:(1)ADC+CDE=180根据旋转的性质即可解答(2)根据旋转的性质,可证明A、D、E三点在同一条直线上,得到AE=AD+DE,再根据旋
2、转,实质得到两个等腰直角三角形手牵手相似,则可证明ACDBCE,得到AD=BE,又CD=CE,DCE=90,CMDE,得到DE=2CM,AE=BE+2CM.(3)作AFBP于F,此图可看成不完整的等腰直角三角形手牵手,则相当于ADP绕点A顺时针旋转90,作AHBP于H,如图,形成三角形ABD和AHP手牵手,ABHADP,BP=BH+HP=PD+2AF,在RtBPD中借助勾股定理可得解:(1) 依题意补全图形(如下图); ADC+CDE=180 (2)线段CM,AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM,理由如下: 线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE, CD=CE,DCE=90 CDE=
3、CED=45又 ADC=135, ADC+CDE =180, A、D、E三点在同一条直线上. AE=AD+DE. 又 ACB=90, ACBDCB=DCEDCB,即 ACD=BCE又 AC=BC,CD=CE, ACDBCE AD=BE CD=CE,DCE=90,CMDE DE=2CM AE=BE+2CM(3)点A到BP的距离为总结:在等腰直角三角形顶角顶点的基础上,出现了一个利用腰形成的三角形时,往往借助等线段、共端点考虑用旋转的思路构造此三角形旋转90利用等腰三角形另一腰形成三角形解决问题练习:(1)问题发现:如图1,ACB和DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE填空: AEB的度数为_;线段AD、BE之间的数量关系为_(2)拓展探究如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90点A、D、E在同一直线上,CM为DCE中DE边上的高,连接BE,请判断AEB的度数及线段AM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由(3)解决问题在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且BPD=90,请直接写出点A到BP的距离