初中数学破题致胜微方法等腰直角三角形中的手拉手模型等腰直角三角形与正方形手拉手1.doc

等腰直角三角形与正方形手拉手
例：已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF，
（1） 如图1，当点D在线段BC上时，求证：①CF=BD;②CF⊥BD;
（2） 如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，线段CF与BD的上述关系是否还成立？请直接写出结论即可（不必证明）；
（3） 如图3，当点D在线段的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两端，其他条件不变，线段CF与BD的上述关系是否还成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形的性质可得AD=AF, ∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，再利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形的对应角相等可得∠ACF=∠ABD，然后求出∠BCF==90°,再根据垂直的定义证明即可；
（2）结论仍然成立；
（3）同（1）可证△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD=135°，然后求出∠BCF=90°，再根据垂直的定义证明即可.
解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF,∠DAF==90°，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF，所以①CF=BD，∠ACF=∠ABD,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴②CF⊥BD;
（2）当点D在线段延长线上时，线段CF与BD的上述关系仍然成立；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两侧，线段CF与BD的上述关系仍然成立.
理由：同理可证，△ABD≌△ACF，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∵∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，∴CF⊥BD.
总结：两个等腰直角三角形共直角顶点为手拉手模型之一，如图，其中有等腰直角三角形和正方形共直角顶点，相当于两个等腰直角三角形“手拉手”，因为正方形其中一个对角线与两边就可形成等腰直角三角形，所以有全等三角形及其性质的应用

练习： 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以
AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1.
①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB =，则GE的
长为_______，并简述求GE长的思路．

图1 备用图
解:(1) ①补全图形，如图1所示．

图1
②和的数量关系：，位置关系：．
证明: 如图1．
∵，∴，．
∵射线、的延长线相交于点，∴．
∵四边形为正方形，∴，．
∴．∴△≌△．∴．
∴，．∴，．
(2) ．
思路如下：a. 由为中点画出图形，如图2所示．

b. 与②同理，可得BD=CF，，；
c. 由，为中点，可得；
d. 过点作于，过点作于，可证△≌△，可得，为的垂直平分线，；
e. 在Rt△中，，，可得，即．