代数式的化简与求值.docx

第三十三讲 代数式的化简与求值1在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容 2对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有： (1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； (3)换元、配方、待定系数法、倒数法等； (4)有时 对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法 例题求解 【例1】已知 ，求 的值 思路点拨 由已知得(x4)2=3，即x28x+13=0所以原式=5 注 本题使用了整体代换的作法 【例2】已知：x+ y+x=3a(a 0)，求： 的值 思路点 拨 由 得： 解设 ， ， ， 原式= （可将 两边平方的得到） 【例3】已知 ，求 的值 思路点拨 设 ，然后对 和 两种情况进行讨论，原式= 和 【例4】已知 ， ， ，求（1） 的值：（2） 的值 思路点拨 先由条件求出 ，可得 ， 注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的 【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是 （a0，b0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是( ) A甲 B乙 C丙 D不能确定 思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高选B【例6】 已知非零实数 a、b、c满足 ， ，求 的值 思路点拨 原条件变形为： 为1或0 【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料： 在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个 数与它的前一个数的差都是一个相同的定值具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式 计算它们的和(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值) 那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= 用上面的知识解决下列问题： 为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表 为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据假 设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木 1995年 1996年 1997年 每年植树的面积（亩） 1000 1400 1800 植树后坡荒地的实际面积(亩) 25200 24000 22400 思路点拨 1996年减少了2520024000=1200， 1997年减少了2400022400=1600， m年减少了1200+400(m1996) 1200+1600+1200+400(m1996)=25200 令n=m1995，得 ， 或 （舍去） m =1995+n =2004 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木 【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵排数3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空 挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ) A1种 B 2种 C4种 D0种 思路点拨 设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，k+(n1)，由题意可知 ，即n=200因为k，n都是正整数，且n3，所以n2k+(n1)，且n与2k+(n1)的奇偶性不同将200分解质因数，可知n=5或n=8当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9共有两种不同方案选B【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式： 好+好=妙，妙好好真好=妙题题妙， 其中每个汉字表示09中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 思路点拨 从加法式得“好”0， n0，且 ，求 的值 3已知 2，试求 的值 4已知 ， 且xy，求 的值 5设a、 b、c均不为0，且 ， ，求证：a、b、c中至少有一个等于1998 6 已知a、b、c为整数，且满足 ，求 的值A级1B 2C 3C 4 D 51 620 B级 1B23 34 4 5提示： ，分解得 ，于是 ， ， 中必有一个为0620 20