第九周讲义代数式的化简和求值(含答案)-.doc

第九周讲义 代数式的化简和求值

用数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算计算出的结果，就叫代数式的值，经常利用代数式的值进行比较、推断代数式所反映的规律．
在求代数式的值时，我们经常先将代数式化简，再代入数值计算，从而到达简化计算的目的．在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论的思想等．

例1 已知x<-3，化简│3+│2-│1+x│││．
分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可以从里到外一层一层地去绝对值符号．
解：∵x<-3，∴1+x<0，3+x<0
原式=│3+│2+（1+x）││
=│3+│3+x││
=│3-（3+x）│
=│-x│=-x．
练习1
1．化简：3x2y-[2xy2-2（xy-x2y）+xy]+3xy2．

2．当x<-2时，化简．

3．化简：│3x+1│+│2x-1│．

例2 设（2x-1）5=a5x5+a4x4+a33x+a22x+a1x+a0，
求：（1）a1+a2+a3+a4+a5+a6的值；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值；（3）a0+a2+a4的值．
分析 可以取x的特殊值．
解：（1）当x=1时，
等式左边=（2×1-1）5=1，
等式右边=a5+a4+a3+a2+a1+a0，
∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1． ①
（2）当x=-1时，
等式左边=[2×（-1）-1]5=-243，
等式右边=-a5+a4-a3+a2-a1+a0
∴a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243． ②
（3）①+②得，
2a0+2a2+2a2=-242．
∴a0+a2+a4=-121．

练习2
1．当x=2时，代数式ax3-bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值等于_________．
2．某同学求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x=-1时的值时，

该生由于将式子中某一项前的“＋”号误看成“－”号，算得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号？

3．已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a、b、c、d、e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35；那么e的值为（ ）．
A．-6 B．6 C．-12 D．12
例3 若，求x+y+z的值．
分析 对于连等我们常设它们的比值为k，或用其中一个表示数的字母把其它的数表示出来．
设=k，则：x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a）
即x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka， ∴x+y+z=0

练习3
1．已知=，求．

2．已知a=3b，c=5a，求的值．

3．已知-=2，求的值．

例4 若a+b+c=0，且=0，
求的值．
分析 先代入使a+b+c=0、＝0成立的a、b、c的特殊值，如a=b=1，c=-2，可求得所求代数式的值为0，给出求值方向．下面我们来说明所求代数式的值为0．
解：由：a+b+c=0，两边同乘以abc，得：
a2bc+ab2c+abc2=0 ①
由=0，两边同乘以abc，得：
bc（b-c）+ac（c-a）+ab（a-b）=0，
即 a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）=0． ②
①+②得：a2（bc+b-c）+b2（ac+c-a）+c2（ab+a-b）=0
两边同除以a2b2c2得：
=0
∴原式的值为0.
练习4
1．已知（x-3）2+│n-2│=0，求代数式3xn+xn-1-（x3+xn-1-3）的值．

2．已知A=3x2-9xy+y2，B=3x2-9xy-y2，化简：2A-{3B-[A+2（B-A）]}．

3．如果无论x取什么值，代数式（分母不为零）都得到同样的值，那么a与b应满足什么条件？

例5 已知三个正数a、b、c满足abc=1，求的值．
分析 本题若直接通分，计算较复杂，考虑到abc=1，可将原式第二个分式的分子、分母同乘以a，第三个分式的分子、分母同乘以ab，达到通分的目的．
解：原式=+
=+
==1．

练习5
1．若a、b为正数，且ab=1，求的值．

2．已知a+=1，b+=1，求c+的值．

3．若a、b、c、d是四个正数，且abcd=1，
求的值．

答案:
练习1
1．xy2+xy．
原式=3x2y-[2xy2-2xy+3x2y+xy]+3xy2=3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2=xy2+xy．
2．1 │+│1-x││（因为1-x>0）
=│1+1-x│
=│2-x│（因为2-x>0）
=2-x
∴原式=1．
3．当x<时，原式=-5x；当≤x<时，原式=x+2；当x≥时，原式=5x．
用零点区间讨论法：
由3x+1=0、2x-1=0，得零点，x=-，、x=，把这两个零点标在数轴上，可把数轴分为三部分，即x<-、-≤x<、x≥，这样就可以分类讨论化简原式了．
当x<-时，原式＝-（3x+1）-（2x-1）=-5x；
当-≤x〈时，原式＝（3x+1）-（2x-1）=x+2；
当x≥时，原式＝（3x+1）+（2x-1）=5x．
练习2
1．22．当x=2时，8a-2b+1=-17，即4a-b=-9；
当x=-1时，-12a+3b-5=-3（4a-b）-5=-3×（-9）-5=22．
2．5． 设看错的是x的n次项前的符号，那么他计算的代数式实际是
10x9+9x8+…+2x+1-2（n+1）xn，由题意得：
10×（-1）9+9×（-1）8+…+2×（-1）+1-2（n+1）（-1）n=7，
即（n+1）（-1）n=-6．
∴n=5．
3．A．当x=2时，27·a+25·b+23·c+2d+e=23 ①
当x=-2时，-27·a-25·b-23·c-2d+e=-35 ②
①+②得2e=-12，∴e=-6．选A．
练习3
1．或-1．设==k，则：
x=k（y+z）①；y=k（x+z）②；z=k（x+y）③．
①+②+③得：x+y+z=2k（x+y+z），∴（x+y+z）（2k-1）=0．
当x+y+z=0时，==-1，当2k-1=0时，k=，即=．
2．-．c=5a=15b，把a=3b，c=15b代入原式，原式==-．
3．-．由-=2，知y-x=2xy，故原式=-．
练习4
1．3 由题意知x=3，n=2．
原式=3xn+xn-1-x3-xn-1+3=3xn-x3+3=3×32-33+3=3．
2．2y2．原式=2A-{3B-[A+2B-2A]}
=2A-{3B-A-2B+2A}
=2A-3B+A+2B-2A
=A-B
=3x2-9xy+y2-（3x2-9xy-y2）=2y2．
3．4a=3b．因不论x取什么值，代数式的值都相同，
所以我们可以取x=0，得：=，
即不论x取什么值，该代数式的值都为，
再取x=1，得=，
故4a=3b．
练习5．
1．1．由ab=1得，a=，故原式=+=+=1．
2．1．由题意知a=1-=，∴=．
∵=1-b，∴c==-．
∴c+=-+=1．
3．1．利用abcd=1把它们化为同分母：
；
；

∴原式=1．

- 6 -