初中数学圆心角弧弦弦心距之间的关系学案.doc

【基础知识精讲】
1.基本概念
(1)顶点在圆心的角叫圆心角.
(2)从圆心到弦的距离叫弦心距.
(3)1°的圆心角所对的弧叫1°的弧.
2.定理
(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等.
(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.
3.应注意的问题
(1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线.
(2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.

【重点难点解析】
本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.
例1 如图7-20，O是Rt△ABC三条角平分线的交点，∠C=90°，⊙O经过C点分别交AC、BC于D、E，交AB于F、G，求证==
证明：作弦CD、CE、FG的弦心距OM、ON、OP，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OM=ON=OP，
则：==
说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等.

图7-20 图7-21
例2 如图7-21，OA、OB是⊙O的两条互相垂直的半径，M是弦AB的中点，过M作MC∥OA，交于C，求证=.
证明：过M、C作ME⊥AO于E，CF⊥AO于F，连OC
∵M为AB的中点，∴ME=OB,易证MEFC为矩形
∴CF=OB=OC，∠COF=30°，则=
说明：若=，则∠COF=∠BOA，由题目条件知，须证明∠COF=30°即可.
例3 已知AB、CD是⊙O的两条直径，AP是⊙O的弦，且AP∥CD，求证BD=DP

证明：如图7-22，∵AP∥CD，∴=，
∵AB、CD是两直径，∴∠COA=∠BOD，
∴=，则=故BD=DP
说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所对的弦相等”等结论.
例4 如图7-23，MBA与MDC是⊙O的二割线，已知弦AB=CD，求BM=DM.

证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∵AB=CD，∴OE=OF，则Rt△MEO≌Rt△MFO，
∴ME=MF，又AE=AB=CD=FC
∴MB=MC
说明：本题通过作弦心距将问题转化为证ME=MF，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.

【难题巧解点拨】
例1 如图7-24，⊙O中弦AB=CD，与的中点分别是M和N，MN与AB、CD分别交于E和F，求证：ME=NF.

证明：连结AM、BM、CN、DN
∵AB=CD，∴=
∵M、N的分别为、的中点
∴===
∴AM=BM=CN=DN，=
∴∠FND=∠EMB，∠MBE=∠NDF，∴△MEB≌△NFD，∴ME=FN
说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得MB=DN，从而得△MEB≌△FND，得出结论.
例2 如图7-25，已知⊙O的两弦AB和CD相交于P，且∠BPO=∠DPO，求证：=.

证明：作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，
∵∠BPO=∠DPO，
∴OE=OF，CD=AB，=，=
说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分得命题成立.

【课本难题解答】
1.如图7-26，在⊙O中，弦AB=CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，求证：EF的垂直平分线经过点O.

分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明OE=OF，又由条件弦相等得弦心距OM=ON，从而得△FOM≌△EON，证出OF=OE，命题成立.
2.如图7-27，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，求的度数.

分析：要求弧AD的度数就是求∠DCA的度数，由条件易求出∠A=65°，再考虑△CDA，易求得∠DCA=50°，∴=50°

【典型热点考题】
例1 如图7-28，已知⊙O中=2，求证明：AB＜2CD.

证明：取的中心M，连结BM、AM
∵=2∴==
从而有AM=BM=CD
在△AMB中，AB＜BM+AM=2AM=2CD
故AB＜2CD
说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.
例2 如图7-29，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，求证∠ABE=15°.

证明：作EH⊥AB于H，则EHOD为矩形
∴EH=OD，又D为CO的中点，∴EH=OD=CO
考虑△EHO知：∠EOH=30°
再考虑△EOB知：∠EBO=∠EOH=15°
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以C为圆心CA为半径的圆交BA于D，交BC于E，求的度数(图7-30).

解：连连DC，考虑△ABC，
∵∠C=90°，∠B=20°∴∠A=70°
考虑△CDA，∵CD=CA，∠A=70°
∴∠DCA=40°，则∠DCE=50°，∴=50°
说明：本题主要考察弧的度数的概念.
本周训练
【同步达纲练习】
一、填空题(8分×5=40分)
(1)梯形ABCD内接于⊙O，且AD∥BC，则AB= .
(2)AB、CD是⊙O的两弦，E、F分别是AB、CD的中点，若AB=CD，作OE= ，∠AOB= ，= .
(3)圆内最大的弦是12，则这个圆的半径是 .
(4)一条弦把圆分成2:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 .
(5)等边△ABC内接于⊙O，则与相等的弧有 ，∠AOB= .

二、选择题(8分×5=40分)
(1)AB、CD分别是两个不等圆的弦，若AB=CD，则( )
A.= B. ＞ C. ＜ D. ≠
(2)在⊙O中，=2，那么( )
A.AB=2DC B.AB=DC C.AB＜2DC D.AB＞2DC
(3)在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边，所截得的弦都相等则∠BOC等于( )
A.11° B.125° C.130° D.不能确定
(4)在半径不相等的⊙O1和⊙O2中，与所对的圆心角都是60°，则下列说法正确的是( )
A.与的弧长相等
B. 和的度数相等
C.与的弧长和度数都相等
D.与的弧长和度数不相等
(5)下面说法正确的是( )
A.弦相等，则弦心距相等 B.弧长相等的弧所对的弦相等
C.垂直于弦的直线必平分弦 D.圆的两条平行弦所夹的弧长相等

三、解答题(10分×2=20分)
(1)从⊙O外一点P向⊙O引两条割线PAB、PCD交⊙O于A、B、C、D，且=，求证：圆心O必在∠BPD的平分线上，

(2)如图7-31，已知⊙O的半径OA、OB互相垂直，弦AD的延长线交OB的延长线于C，若∠ACD=32°，求的度数.

【素质优化训练】
1.如图7-32，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别在AB、CD的延长线上，BE=DF，OG⊥EF，垂足为G，求证：G为EF的中点.

2.求证：求⊙O内一点A的所有弦中，垂直于OA的弦最短.