ARCH模型和GARCH模型.doc

第7章、ARCH模型和GARCH模型

研究内容：研究随时间而变化的风险。
（回忆：Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）

本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。

波动率的聚类性（volatility clustering）：一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。如图，

§1、ARCH模型

1、条件方差

多元线性回归模型：

条件方差或者波动率（Condition variance，volatility）定义为

其中是信息集。

2、ARCH模型的定义
Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity，自回归条件异方差）。
ARCH(q)模型：
（1）
的无条件方差是常数，但是其条件分布为

（2）
其中是信息集。

方程（1）是均值方程（mean equation）
ü ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差
方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation），由二项组成
ü 常数
ü ARCH项：滞后的残差平方

习题： 方程（2）给出了的条件方差，请计算的无条件方差。
证明：利用方差分解公式：Var(X) = VarY[E(X|Y)] + EY[Var(X|Y)]
由于，所以条件均值为0，条件方差为。那么，

推出，说明

3、ARCH模型的平稳性条件

在ARCH(1)模型中，观察参数的含义：
当时，
当时，退化为传统情形，

ARCH模型的平稳性条件：（这样才得到有限的方差）

4、ARCH效应检验
ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验
建立辅助回归方程

此处是回归残差。
原假设：
H0：序列不存在ARCH效应
即
H0：
可以证明：若H0为真，则

此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的确定系数。

Eviews操作：①先实施多元线性回归
②view/residual/Tests/ARCH LM Test

§2、GARCH模型的实证分析

从收盘价，得到收益率数据序列。
series r=log(p)-log(p(-1))
点击序列p，然后view/line graph

1、检验是否有ARCH现象。

首先回归。取2000到2254的样本。输入ls r c，得到

Dependent Variable: R
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:26
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.000432
0.001087
0.397130
0.6916
R-squared
0.000000
Mean dependent var
0.000432
Adjusted R-squared
0.000000
S.D. dependent var
0.017364
S.E. of regression
0.017364
Akaike info criterion
-5.264978
Sum squared resid
0.076579
Schwarz criterion
-5.251091
Log likelihood
672.2847
Durbin-Watson stat
2.049819

问题：这样进行回归的含义是什么？

其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到

ARCH Test:
F-statistic
5.220573
Probability
0.000001
Obs*R-squared
44.68954
Probability
0.000002

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:27
Sample(adjusted): 2010 2254
Included observations: 245 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.000110
5.34E-05
2.060138
0.0405
RESID^2(-1)
0.141549
0.065237
2.169776
0.0310
RESID^2(-2)
0.055013
0.065823
0.835766
0.4041
RESID^2(-3)
0.337788
0.065568
5.151697
0.0000
RESID^2(-4)
0.026143
0.069180
0.377893
0.7059
RESID^2(-5)
-0.041104
0.069052
-0.595260
0.5522
RESID^2(-6)
-0.069388
0.069053
-1.004854
0.3160
RESID^2(-7)
0.005617
0.069178
0.081193
0.9354
RESID^2(-8)
0.102238
0.065545
1.559806
0.1202
RESID^2(-9)
0.011224
0.065785
0.170619
0.8647
RESID^2(-10)
0.064415
0.065157
0.988613
0.3239
R-squared
0.182406
Mean dependent var
0.000305
Adjusted R-squared
0.147466
S.D. dependent var
0.000679
S.E. of regression
0.000627
Akaike info criterion
-11.86836
Sum squared resid
9.19E-05
Schwarz criterion
-11.71116
Log likelihood
1464.875
F-statistic
5.220573
Durbin-Watson stat
2.004802
Prob(F-statistic)
0.000001
得到什么结论？

2、模型定阶：如何确定q

实施ARCH LM test时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的p－value即可。
此处选取q＝3。因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。
3、ARCH模型的参数估计

参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。
如何实施ARCH过程：
由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH

得到如下结果

Dependent Variable: R
Method: ML - ARCH
Date: 10/21/04 Time: 21:48
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Convergence achieved after 13 iterations

Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
-0.000640
0.000750
-0.852888
0.3937

Variance Equation
C
9.24E-05
1.66E-05
5.569337
0.0000
ARCH(1)
0.244793
0.082640
2.962142
0.0031
ARCH(2)
0.081425
0.077428
1.051624
0.2930
ARCH(3)
0.457883
0.109698
4.174043
0.0000
R-squared
-0.003823
Mean dependent var
0.000432
Adjusted R-squared
-0.019884
S.D. dependent var
0.017364
S.E. of regression
0.017535
Akaike info criterion
-5.495982
Sum squared resid
0.076872
Schwarz criterion
-5.426545
Log likelihood
705.7377
Durbin-Watson stat
2.042013

为了比较，观察将q放大对系数估计的影响
Dependent Variable: R
Method: ML - ARCH
Date: 10/21/04 Time: 21:54
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Convergence achieved after 16 iterations

Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
-0.000601
0.000751
-0.799909
0.4238

Variance Equation
C
9.38E-05
1.60E-05
5.880741
0.0000
ARCH(1)
0.262009
0.090256
2.902959
0.0037
ARCH(2)
0.041930
0.070518
0.594596
0.5521
ARCH(3)
0.452187
0.108488
4.168076
0.0000
ARCH(4)
-0.021920
0.050982
-0.429956
0.6672
ARCH(5)
0.037620
0.044394
0.847408
0.3968
R-squared
-0.003550
Mean dependent var
0.000432
Adjusted R-squared
-0.027830
S.D. dependent var
0.017364
S.E. of regression
0.017603
Akaike info criterion
-5.483292
Sum squared resid
0.076851
Schwarz criterion
-5.386081
Log likelihood
706.1198
Durbin-Watson stat
2.042568

观察：说明q选取为3确实比较恰当。

4、ARCH模型是对的吗？

如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。为什么？请思考。

对q为3的ARCH模型做LM test，发现没有了ARCH效应。
注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？
ARCH Test:
F-statistic
0.238360
Probability
0.992099
Obs*R-squared
2.470480
Probability
0.991299

Test Equation:
Dependent Variable: STD_RESID^2
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:56
Sample(adjusted): 2010 2254
Included observations: 245 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
1.102371
0.264990
4.160043
0.0000
STD_RESID^2(-1)
-0.038545
0.065360
-0.589741
0.5559
STD_RESID^2(-2)
-0.003804
0.065308
-0.058252
0.9536
STD_RESID^2(-3)
-0.057313
0.065303
-0.877649
0.3810
STD_RESID^2(-4)
-0.010325
0.065277
-0.158169
0.8745
STD_RESID^2(-5)
0.003537
0.065280
0.054185
0.9568
STD_RESID^2(-6)
-0.007420
0.065274
-0.113670
0.9096
STD_RESID^2(-7)
0.063317
0.065264
0.970165
0.3330
STD_RESID^2(-8)
-0.012167
0.065293
-0.186340
0.8523
STD_RESID^2(-9)
-0.010653
0.065278
-0.163194
0.8705
STD_RESID^2(-10)
-0.020211
0.065228
-0.309845
0.7570
R-squared
0.010084
Mean dependent var
1.007544
Adjusted R-squared
-0.032221
S.D. dependent var
2.112747
S.E. of regression
2.146514
Akaike info criterion
4.409426
Sum squared resid
1078.160
Schwarz criterion
4.566625
Log likelihood
-529.1546
F-statistic
0.238360
Durbin-Watson stat
2.000071
Prob(F-statistic)
0.992099
方程整体是不显著的。

还可以观察标准化残差
ARCH建模以后，procs/make residual series/可以产生残差和标准化残差，以分别下是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。

还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比r和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。
ARCH建模以后，procs/make garch variance series/ 得到

结论：ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。

可以观察系数之和小于1，满足平稳性条件。

§3、GARCH模型

当q较大时，采用Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（Generalized ARCH）

1、模型定义

条件方差方程
ü 均值
ü
ü ：过去的条件方差（也即预测方差，forecast variance）
注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如R C），则R2没有直观定义了，因此可为负）

2、GARCH(p, q) 模型的稳定性条件
计算扰动项的无条件方差：

GARCH是协方差稳定的，因此是经典回归。

3、GARCH模型的参数估计

采用极大似然估计GARCH模型的参数。下面以GARCH(1, 1)为例。
由GARCH(1, 1)模型

可以得到yt的分布为

由正态分布的定义公式，得到yt的pdf为

第t个观察样本的对数似然函数值为

其中
注意yi和yj之间不相关，因而是独立的。似然函数为

取对数就得到了所有样本的对数似然函数。其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。

4、模型的选择
两条原则：
1） 若ARCH(q)中q太大，比如q大于7时，则选择GARCH(p, q)
2） 使用AIC和SC准则，选择最优的GARCH模型
3） 对于金融时间序列，一般选择GARCH(1, 1)就够了。

回顾AIC和SC定义：
1）AIC准则（Akaike information criterion）

AIC越小越好，结合如下两者：
K（自变量个数）减少，模型简洁
LnL增加，模型精确
2）SC准则（Schwaz criterion）

习题1：通货膨胀率有ARCH效应吗？Greene P572
点击数据文件usinf_greene_p572。进行回归
ls inflation c inflation(-1)

Dependent Variable: INFLATION
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:37
Sample(adjusted): 1941 1985
Included observations: 45 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
2.432859
0.816345
2.980184
0.0047
INFLATION(-1)
0.493213
0.131157
3.760466
0.0005
R-squared
0.247477
Mean dependent var
4.740000
Adjusted R-squared
0.229976
S.D. dependent var
4.116784
S.E. of regression
3.612519
Akaike info criterion
5.450114
Sum squared resid
561.1625
Schwarz criterion
5.530410
Log likelihood
-120.6276
F-statistic
14.14110
Durbin-Watson stat
1.612442
Prob(F-statistic)
0.000507
检验ARCH效应
ARCH Test:
F-statistic
0.215950
Probability
0.953308
Obs*R-squared
1.231192
Probability
0.941850

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:46
Sample(adjusted): 1946 1985
Included observations: 40 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
9.270522
7.425567
1.248460
0.2204
RESID^2(-1)
-0.031162
0.170116
-0.183184
0.8557
RESID^2(-2)
-0.006886
0.170151
-0.040469
0.9680
RESID^2(-3)
0.116261
0.169505
0.685888
0.4974
RESID^2(-4)
0.018545
0.170620
0.108694
0.9141
RESID^2(-5)
0.127906
0.168643
0.758439
0.4534
R-squared
0.030780
Mean dependent var
12.28323
Adjusted R-squared
-0.111753
S.D. dependent var
34.15088
S.E. of regression
36.00858
Akaike info criterion
10.14287
Sum squared resid
44085.00
Schwarz criterion
10.39620
Log likelihood
-196.8574
F-statistic
0.215950
Durbin-Watson stat
1.034796
Prob(F-statistic)
0.953308

习题2：通货膨胀率有ARCH效应吗？Lin的数据集

点击usinf文件
series dp=100*D(log(p))
ls dp c dp(-1) dp(-2) dp(-3)

Dependent Variable: DP
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:10
Sample(adjusted): 1951:1 1983:4
Included observations: 132 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.109907
0.063405
1.733410
0.0854
DP(-1)
0.393583
0.084432
4.661536
0.0000
DP(-2)
0.203093
0.089452
2.270405
0.0249
DP(-3)
0.302073
0.084185
3.588214
0.0005
R-squared
0.696825
Mean dependent var
1.021373
Adjusted R-squared
0.689719
S.D. dependent var
0.711412
S.E. of regression
0.396277
Akaike info criterion
1.016428
Sum squared resid
20.10054
Schwarz criterion
1.103785
Log likelihood
-63.08423
F-statistic
98.06599
Durbin-Watson stat
1.970959
Prob(F-statistic)
0.000000

ARCH Test:
F-statistic
0.969524
Probability
0.439318
Obs*R-squared
4.892009
Probability
0.429201

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:13
Sample(adjusted): 1952:2 1983:4
Included observations: 127 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.108190
0.035302
3.064648
0.0027
RESID^2(-1)
-0.080832
0.090353
-0.894619
0.3728
RESID^2(-2)
0.107906
0.088493
1.219365
0.2251
RESID^2(-3)
0.081191
0.088831
0.913996
0.3625
RESID^2(-4)
0.110745
0.088433
1.252299
0.2129
RESID^2(-5)
0.031248
0.088738
0.352134
0.7254
R-squared
0.038520
Mean dependent var
0.147634
Adjusted R-squared
-0.001211
S.D. dependent var
0.236307
S.E. of regression
0.236450
Akaike info criterion
-7.13E-05
Sum squared resid
6.764921
Schwarz criterion
0.134300
Log likelihood
6.004525
F-statistic
0.969524
Durbin-Watson stat
1.990016
Prob(F-statistic)
0.439318

Dependent Variable: DP
Method: ML - ARCH
Date: 11/19/04 Time: 10:16
Sample(adjusted): 1951:1 1983:4
Included observations: 132 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 25 iterations

Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
0.111302
0.064512
1.725282
0.0845
DP(-1)
0.378317
0.096198
3.932691
0.0001
DP(-2)
0.188385
0.086241
2.184401
0.0289
DP(-3)
0.323731
0.098345
3.291788
0.0010

Variance Equation
C
0.292465
0.049187
5.945939
0.0000
ARCH(1)
-0.029761
0.047805
-0.622563
0.5336
GARCH(1)
-0.873324
0.267371
-3.266333
0.0011
R-squared
0.696453
Mean dependent var
1.021373
Adjusted R-squared
0.681883
S.D. dependent var
0.711412
S.E. of regression
0.401250
Akaike info criterion
1.051145
Sum squared resid
20.12519
Schwarz criterion
1.204021
Log likelihood
-62.37558
F-statistic
47.79960
Durbin-Watson stat
1.938286
Prob(F-statistic)
0.000000

附录：Matlab的GARCH工具箱
ARMAX(R,M,Nx)/GARCH(P,Q)模型:
/
1.=资产的收益率序列 =冲击过程 =的条件方差:
2. GARCH(0,Q)óARCH(Q)
3.is the forecast of the next period’s variance, given the past sequence of variance forecastsand past realizations of the variance itself.

The Default Model:
/
对金融收益率时序,(1)带漂移的随机游走足够了(2)GARCH(1,1),GARCH(2,1), GARCH(1,2)足够了

结构接口
Spec = garchset('Parameter1', Value1, 'Parameter2', Value2, ...) 创建
Spec = garchset(OldSpec, 'Parameter1', Value1, ...) 修正OldSpec
例：spec=garchset; spec=garchset(spec, 'C', 0, 'AR', [0.6 0.2], 'MA', 0.4);

GARCH建模
1. 收益率时序的ARMAX/GARCH参数估计
[Coeff,Errors,LLF,Innovations,Sigma,Summary]=garchfit(Spec, Series)/(Spec, Series, X)
Series-收益率序列y, 最后为最新数据 Spec-结构描述, garchset
X-多种资产的收益率回归矩阵，每列为一回归解释变量，最后一行为最新数据
Coeff-估计系数, Errors-系数的标准差, LLF-log-likelihood函数值,Innovations-, Sigma-

2. [SigmaForecast,MeanForecast,SigmaTotal,MeanRMSE]=garchpred(Spec,Series,NumPeriods)
NumPeriods-预测步数. *SigmaForecast-的预测值. *MeanForecast-的预测值.
SigmaTotal-对为 MeanRMSE-预测的标准误差.

3. GARCH过程模拟 [Innovations,Sigma,Series]=garchsim(Spec)/(Spec,NS,NP,Seed,X)
NS-样本个数default 100. NP-样本路径的个数default 1. Seed-随机数种子default 0
Innovations-NS*NP冲击矩阵. Sigma- Series-NS*NP收益率矩阵, 每列为单独的实现y.
例[co,er,L,in,si]=garchfit(xyz); [e,s,y]=garchsim(co,800); garchplot(e,s,y)

GARCH冲击推断
从推断与:[Innovations,Sigma,LogLikelihood]=garchinfer(Spec,Series)/(Spec,Series,X)
例[eInferred, sInferred] = garchinfer(coeff, y);

Statistics and Tests
1. Akaike Bayesian信息准则[AIC,BIC]=aicbic(LogLikelihood,NumParams,NumObs)
NumParams-参数个数 NumObs-收益率时序长度
AIC=-2*LogLikelihood+2*NumParams BIC=-2*LogLikelihood+NumParams*Log(NumObs)
例n21=garchcount(coeff21); n11=garchcount(coeff11)=4; %参数个数
[AIC,BIC]=aicbic(LLF21,n21,2000);[AIC,BIC]=aicbic(LLF11,n11,2000);%AIC, BIC没有显著增加, 说明GARCH(1,1)足够了

6. Likelihood ratio hypothesis test.
[H, pValue, Ratio, CriticalValue]=lratiotest(BaseLLF, NullLLF, DoF, Alpha)
例spec11=garchset('P',1,'Q',1);[co11,er11,LLF11,in11,si11,su11]=garchfit(spec11,xyz);
spec21=garchset('P',2,'Q',1);[co21,er21,LLF21,in21,si21,su21]=garchfit(spec21,xyz);%LLF21越大越好
[H,p,St,CV]=lratiotest(LLF21,LLF11, 1, 0.05); %H=0说明GARCH(1,1)足够了
*此不对，要对spec11给初值。

2. [H, pValue, ARCHstat, CriticalValue] = archtest(Residuals)/(Residuals, Lags, Alpha)
H0: 样本余差时序为i.i.d.正态冲击(i.e.无ARCH/GARCH效应).
Residuals–比如来自回归的余差 Lags-default is 1即ARCH(1). H=0 接受H0
如residuals=randn(100,1);[H,P,Stat,CV]=archtest(residuals,[1 2 4]',0.10)Create synthetic residuals, 检验1 2 4阶ARCH效应. %注意GARCH(P,Q)基本相当于ARCH(P+Q)

7. 偏自相关[PartialACF, Lags, Bounds]=parcorr(Series)/(Series , nLags , R , nSTDs)
Series–最后一数据为最新 nLags–偏ACF的个数，默认为mini