广东省惠州市高三第二次调研考试文科数学参考答案及评分标准.doc

广东省惠州市2011届高三第二次调研考试
数学试题(文科）

本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
圆锥的侧面积公式，其中为底面半径，为母线．
球的表面积公式，其中为球的半径．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．集合,,若,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2．若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A． B． C． D．或 .
3．已知条件：，条件：<1，则是成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4．函数 的零点个数为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
5．设函数，曲线在点处的切线方程为，
则曲线在点处切线的斜率为( )
A.3 B.5 C.2 D.4
6．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
7．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是( )
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．

8．已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（ ）
A． B． C． D．
9．若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）
A． B． C． D．
B
C
A
E
F
M
（第10题图）
10．在平面向量中有如下定理：设点为同一平面内的点，则三点共线的充要条件是：存在实数，使.
如图，在中，点为边的中点，点在边上，
且，交于点，设，
则（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。50
10
主视图
40
侧视图
20
20
20
俯视图

开始
sum=sum+i*(i+1)
i=1,sum=0
输出sum
i = i+1
结束
否
是
？
11.一简单组合体的三视图及尺寸如下图示（单位：cm），则该组合体的表面积为 。
12.若点到直线的距离为4，且点在不等式＜3表示的平面区域内，则= 。
13.一个算法的程序框图如上图所示，若该程序输出的结果为70，则判断框中应填入的条件是 。
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆与方程所表示的图形的交点坐标为 。
15．（几何证明选讲选做题）如图，点在⊙O上，为直径AC上一点，的延长线交⊙O于， ，若⊙O的半径为， ，则的长为 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
（★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．）
16．（本题满分12分）
已知向量，，且满足。
（1）求函数的解析式；并求函数的最小正周期和最值及其对应的值;
（2）锐角中，若，且，，求的长．

17．（本题满分12分）
惠州某中学高三（16）班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．
（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学B得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

18．（本题满分14分）
如图，在四棱锥中，垂直于底面,底面是直角梯形，，且（单位：），为的中点。
（１）如图，若正视方向与平行，请在下面（答题区）方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积；
（２）证明：平面；
（３）证明：平面；

19．（本题满分14分）
已知函数(其中常数),是奇函数.
（１）求的表达式;
（２）讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.

20．（本题满分14分）
设直线与椭圆相交于、两个不同的点，与轴相交于点。
（1）证明：；
（2）若是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程。

21．（本题满分14分）
对于函数，若存在∈R，使成立，则称为的不动点．如果函数＝有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式；
（2）若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn·＝1，
求证：＜＜；
（3）在（2）的条件下，设bn＝－，为数列{bn}的前n项和，求证：．
惠州市2011届高三第二次调研考试
数学试题(文科）答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
B
D
D
A
C
C
A
1.【解析】∵,,∴∴,故选D.
2.【解析】由 故选A
3.【解析】p：，q：或，故q是p成立的必要不充分条件，故选B.
4.【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选B。
5．【解析】由已知，而，所以。
6.【解析】， ，∴只需将的图象向左平移个单位，答案选D。
7.【解析】路程是时间的函数∴随着时间的变大，路程也逐渐增大，故排除D；汽车减速行驶之后停车，汽车速度的变化是逐渐变小故选A
8.【解析】C； ，；
∴，因此．
9．【解析】由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．
10．【解析】因为点B、M、F三点共线，则存在实数t，使.
又，，则.
因为点C、M、E三点共线，则，所以.故，故选A.
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11.12800；12. m =-3；13. 14. ； 写也给分； 15. MN =2
11．【解析】该组合体的表面积为：
12.【解析】由题意得：2m+3＜3且，解得m =-3
13.【解析】: sum=,i等于5时再运行一次循环体程序就要跳出，故
14.【解析】 ,； 写,也给分；
15．【解析】∵∴,∵OM=2,BO=∴BM=4,
∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．解：（1）且
∴,又
………….2分
…………….4分
函数的最小正周期 …………….5分
当时， 的最大值为，
当时，最小值为 …………….7分
（2）因为 即
∴ ……….8分
∵是锐角的内角， ∴ ……….9分
∵，AC=3
由余弦定理得： ……….10分
∴ ……….12分
17．解：（1）某同学被抽到的概率为 ……….2分
设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为…….4分
（2）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有：
共种， ……….6分
其中有一名女同学的有种
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 ……….8分
（只是列出组合，没考虑顺序的同样给分）
（3），
20090325
，
第二同学B的实验更稳定 ……….12分（每个结果算对给1分）
18．解（1）正视图如下：（没标数据扣1分）

…………3分

主视图面积……………….4分
（2）设的中点为，连接 ………………5分
，且 ………………6分
故四边形平行四边形，可得， ………………7分
平面，平面，平面 ………………9分
（3）底面，平面， ………10分
又平面，平面
平面 ………………11分
平面,所以， ………………12分
又为的中点，所以， ………………13分
平面，平面，所以平面……14分
19．解：（1）由题意得， ……….1分

又因为是奇函数所以，即对任意的实数有
….3分
从而有即， ……….5分
因此的解析式为 ……….6分
（2）由（1）得，所以 ……….7分
令解得 ……….8分
则当时
即在区间上是减函数； ….9分
当时即在区间上是增函数 ……….10分
由前面讨论知，在区间上的最大值与最小值只能在处取得，
而 ……….12分
因此在区间上的最大值为 ……….13分
最小值为 ……….14分
20．解：（1）证明：将，消去x，得
① ……………3分
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

所以 …………5分
（2）解：设
由①，得 …………7分
因为 …………8分
所以，
消去，得
化简，得 …② ……11分
因F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2－1
代入②式，解得 ………………13分
所以，椭圆的方程为 …………14分
21．解： (1)设
∴ ……………3分
(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an≠1．
当n≥2时，2 Sn -1＝an－1－an－12 ……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，
∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1， ……5分
当n＝1时，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，则a2＝1与an≠1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．……6分
∴要证不等式，只要证 ，即证 ，
只要证 ，即证 ．……7分
考虑证不等式(x＞0) ** ． ………………8分
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴g '(x)＝， h '(x)＝，
∵x＞0， ∴g '(x)＞0， h '(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，……9分
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．
令则**式成立，∴＜＜， ……………10分
(3)由(2)知bn＝，则Tn＝．
在中，令n＝1，2，3，……，2008，并将各式相加，
得，
即T2009－1＜ln2009＜T2008． …………………14分

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