初中数学证明题知识点大全.docx

北师大版初中证明题知识点大全
一、 相交线与平行线
1、 平行线的性质
（1） 两线平行，内错角相等
（2） 两线平行，同位角相等
（3） 两线平行，同旁内角互补
2、 平行线的判定
（1） 内错角相等，两线平行
（2） 同位角相等，两线平行
（3） 同旁内角互补，两线平行
（4） 同平行于一线的两线平行
（5） 同垂直于一线的两线平行

二、 角平分线
1、 角平分线的性质
定义：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、角平分线的判定
（1）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
（2）把一个角分成相同角度的线叫做角平分线。
3、三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

三、垂直平分线
1、垂直平分线的意义及性质
（1）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
（3）三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
2、垂直平分线的判定
线段的中线并且垂直于这条线段

四、三角形全等
1、全等三角形的判定
（1）定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）
（2）定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）
（3）定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）
（4）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等.(AAS)
（5）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)
2、全等三角形的性质
全等三角形对应边相等、对应角相等.

五、相似三角形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形．
2．相似比定义：相似三角形对应边的比．
3．相似三角形的判定
（1）对应边相等，对应角成比例。
（2）两角对应相等的两个三角形相似。AA
（3）两角对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。SAS
（4）三边对应成比例的两个三角形相似。SSS
4．相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
5、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

六、勾股定理
（1）若三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形三角形
（2）若，时，以，，为三边的三角形是三角形；
（3）若，时，以，，为三边的三角形是三角形；
（4）用含字母的代数式表示组勾股数：
　 （为正整数）；
（为正整数）
（，为正整数）

七、等腰三角形
1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），
（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等

八、等边三角形
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：
（1）具有等腰三角形的所有性质。
（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
3、等边三角形的判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形。
（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
九、直角三角形
1、 直角三角形的性质
（1）定理：直角三角形的两个锐角互余.
（2）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
2、直角三角形的判定
（1）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
（2）定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

十、平行四边形
1、平行四边形的性质
（1）定理：平行四边形的对边相等.
（2）定理：平行四边形的对角相等.
（3）定理：平行四边形的对角线互相平分.
（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
2、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2）定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（3）定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4）定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

十一、特殊平行四边形
菱形
1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
2、菱形的性质：具有平行四边形的所有性质。还有以下个性：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；
（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
3、菱形的判定
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：是一个平行四边形；‚两条对角线互相垂直．
（2）四边都相等的四边形是菱形．
矩形
1、矩形定义：有个一角是直角的平行四边形叫做矩形
（1）矩形是特殊的平行四边形；（2）有一个角是直角．
2、矩形的性质：具有平行四边形的所以性质。还有以下个性：
性质1 矩形的四个角都是直角；
性质2 矩形的对角线相等。
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
3、矩形的判定：
（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（定义法）
（2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等
（3）都是直角的四边形是矩形．
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形
1、正方形的定义：有一组对边直平行且相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等；（3）有一个角是直角．
强调：正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（菱形），
②有一个角是直角的平行四边形（矩形）。
说明：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．
2、正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质：
（1）边：两组对边平行且相等；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（4）正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；
（5）正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；‚正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
3、正方形的判定方法：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形；
(3)有一个角是直角的菱形是正方形；
(4) 对角线相等的菱形是正方形.
注意：要确定一个四边形是正方形，应先确定它是矩形或是菱形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

十二、梯形
1、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3、直角梯形定义：一条腰和底边垂直梯形叫做直角梯形。
4、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
6、等腰梯形的判定：同一同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
十三、三角形高，中线，角平分线，中位线
三角形的角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2、性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。
三角形的中线：
1、定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
2、性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
三角形的高线：
1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；
三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
3、由三角形的三条中位线，可以得出以下结论：
三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；
三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.

十四、三角形内角和，补角，余角，外角
1、三角形的内角的关系：
三角形三个内角和等于180°。
直角三角形的两个锐角互余。
2、余角、补角和对顶角
（1）余角：
定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。
性质：同角或等角的余角相等。
（2）补角：
定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
性质：同角或等角的补角相等。
（3）对顶角：
定义：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
3、外角
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

十五、多边形的内角和与外角和
定理：边形的内角和等于·180°.
定理：多边形的外角和都等于360°.
备注：n边形共有条对角线.