2017高三数学理科一轮复习数列专题突破训练.docx

北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数　列
一、选择、填空题 1、（2016年北京高考）已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ， ，则 _______.. 2、（2015年北京高考）设 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 3、（2014年北京高考）若等差数列 满足 ， ，则当 ______时， 的前 项和最大. 4、（朝阳区2016届高三二模）为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设 表示前 年的纯利润（ =前 年的总收入－前 年的总费用支出－投资额），则 （用 表示）；从第 年开始盈利. 5、（东城区2016届高三二模）成等差数列的三个正数的和等于 ，并且这三个数分别加上 、 、 后成为等比数列 中的 、 、 ，则数列 的通项公式为 A. B. C. D. 6、（丰台区2016届高三一模）若数列 满足 ，且 与 的等差中项是5，则 等于 （A） （B） （C） （D） 7、（海淀区2016届高三二模）在数列 中， ，且 ，则 的值为 A. B. C. D. 8、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数f (x) 的部分对应值如表所示. 数列 满足 且对任意 ，点 都在函数 的图象上，则 的值为 1 2 3 4 3 1 2 4 A . 1 B.2 C. 3 D. 4 9、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列 的公差为 ，若 成等比数列，那么 等于（　 ） A. B. C. D. 10、（海淀区2016届高三上学期期中）数列 的前n项和为 ，则 的值为 A．1　　 B．3　　 C．5 　　D．6 11、（石景山区2016届高三上学期期末）已知数列 是等差数列， ， 则前 项和 中最大的是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 12、（东城区2016届高三上学期期中） 在数列 中， 13、（丰台区2016届高三上学期期末）设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 = .
二、解答题 1、（2016年北京高考）设数列A： ， ,… ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都有 ＜ ，则称 是数列A的一个“G时刻”.记“ 是数列A的所有“G时刻”组成的集合. （1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出 的所有元素； （2）证明：若数列A中存在 使得 > ，则 ； （3）证明：若数列A满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则 的元素个数不小于 - .
2、（2015年北京高考） 已知数列 满足： ， ，且 ． 记集合 ． （Ⅰ）若 ，写出集合 的所有元素； （Ⅱ）若集合 存在一个元素是3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合 的元素个数的最大值．
3、（2014年北京高考）对于数对序列 ，记 ， ，其中 表示 和 两个数中最大的数， （1）对于数对序列 ，求 的值. （2）记 为 四个数中最小值，对于由两个数对 组成的数对序列 和 ，试分别对 和 的两种情况比较 和 的大小. （3）在由5个数对 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使 最小，并写出 的值.（只需写出结论）.
4、（朝阳区2016届高三二模）已知集合 ，且 ．若存在非空集合 ，使得 ，且 ，并 ，都有 ，则称集合 具有性质 ， （ ）称为集合 的 子集． （Ⅰ）当 时，试说明集合 具有性质 ，并写出相应的 子集 ； （Ⅱ）若集合 具有性质 ，集合 是集合 的一个 子集，设 ， 求证： ， ，都有 ； （Ⅲ）求证：对任意正整数 ，集合 具有性质 ．
5、（东城区2016届高三二模）数列 中，定义： ， . （Ⅰ）若 ， ，求 ； (Ⅱ) 若 ， ，求证此数列满足 ； （Ⅲ）若 ， 且数列 的周期为4，即 ，写出所有符合条件的 .
6、（丰台区2016届高三一模）已知数列 是无穷数列， （ 是正整数）， . （Ⅰ）若 ，写出 的值； （Ⅱ）已知数列 中 ，求证：数列 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列 中任何一项都不等于1，记 为 较大者）.求证：数列 是单调递减数列.
7、（海淀区2016届高三二模）已知集合 ,其中 . , 称 为 的第 个坐标分量. 若 ，且满足如下两条性质： ① 中元素个数不少于4个； ② ，存在 ，使得 的第 个坐标分量都是1； 则称 为 的一个好子集. （Ⅰ）若 为 的一个好子集，且 ，写出 ； （Ⅱ）若 为 的一个好子集，求证： 中元素个数不超过 ； （Ⅲ）若 为 的一个好子集且 中恰好有 个元素时，求证：一定存在唯一一个 ，使得 中所有元素的第 个坐标分量都是1.

8、（石景山区2016届高三一模）若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ，则称 是“回归数列”． （Ⅰ）①前 项和为 的数列 是否是“回归数列”？并请说明理由； ②通项公式为 的数列 是否是“回归数列”？并请说明理由； （Ⅱ）设 是等差数列，首项 ，公差 ，若 是“回归数列”，求 的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列 ，总存在两个“回归数列” 和 ，使得 成立，请给出你的结论，并说明理由．
9、（西城区2016届高三二模）已知任意的正整数 都可唯一表示为 ，其中 ， ， ． 对于 ，数列 满足：当 中有偶数个1时， ；否则 ．如数5可以唯一表示为 ，则 ． （Ⅰ）写出数列 的前8项； （Ⅱ）求证：数列 中连续为1的项不超过2项； （Ⅲ）记数列 的前 项和为 ，求满足 的所有 的值．（结论不要求证明）
10、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知有穷数列： 的各项均为正数，且满足条件： ① ；② ． （Ⅰ）若 ，求出这个数列； （Ⅱ）若 ，求 的所有取值的集合； （Ⅲ）若 是偶数，求 的最大值（用 表示）．

11、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列 的首项 ，公差 ，前 项和为 ，且 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求证： .
12、（东城区2016届高三上学期期末）设 是一个公比为 等比数列， 成等差数列,且它的前4项和 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）令 ,求数列 的前 项和.
参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】6 【解析】 试题分析：∵ 是等差数列，∴ ， ， ， ， ∴ ，故填：6． 2、C 解析： 3、 由等差数列的性质， ， ，于是有 ， ，故 ．故 ， ， 为 的前 项和 中的最大值 4、 , 　　 5、A　　 6、B　　 7、B 8、B　　9、A　　10、C　　11、B　 12、 　　13、18
二、解答题 1、【答案】（1） 的元素为 和 ；（2）详见解析；（3）详见解析. 如果 ，取 ，则对任何 . 从而 且 . 又因为 是 中的最大元素，所以 .
2、解析:（Ⅰ） ， ， ． （Ⅱ）因为集合 存在一个元素是 的倍数，所以不妨设 是 的倍数． 由 可归纳证明对任意 ， 是 的倍数． 如果 ，则 的所有元素都是 的倍数． 如果 ，因为 或 ，所以 是 的倍数，于是 是 的倍数．类似可得， 都是 的倍数．从而对任意 ， 是 的倍数．因此集合 的所有元素都是 的倍数． 综上，若集合 存在一个元素是 的倍数，则集合 的所有元素都是 的倍数． （Ⅲ）由 ， 可归纳证明 ． 因为 是正整数， 所以 是 的倍数． 从而当 时， 是 的倍数． 如果 是 的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数 ， 是 的倍数． 因此当 时， ．这时 的元素的个数不超过 ． 如果 不是 的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数 ， 不是 的倍数． 因此当 时， ．这时 的元素的个数不超过 ． 当 时， 共 个元素．综上可知，集合 元素个数的最大值为 ．
3、⑴ , ; ⑵当 时： ， ； ， ； 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 ； 当 时， ， ； ， ； 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 。 综上，这两种情况下都有 。 ⑶数列序列 ， ， ， ， 的 的值最小； ， ， ， ， . 4、证明：（Ⅰ）当 时， ，令 ， , 则 , 且对 ，都有 ， 所以 具有性质 ．相应的 子集为 ， ． ………… 3分 （Ⅱ）①若 ,由已知 , 又 ,所以 ．所以 ． ②若 ,可设 ， ,且 ， 此时 ． 所以 ，且 ．所以 ． ③若 , , ， 则 , 所以 ． 又因为 ，所以 ．所以 ． 所以 ． 综上，对于 ， ，都有 ． …………… 8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明． （1）由（Ⅰ）可知当 时，命题成立，即集合 具有性质 ． （2）假设 ( )时，命题成立．即 ， 且 ， ，都有 ． 那么 当 时，记 , ， 并构造如下 个集合： , , , ， ， 显然 ． 又因为 ，所以 ． 下面证明 中任意两个元素之差不等于 中的任一元素 ． ①若两个元素 , , 则 , 所以 ． ②若两个元素都属于 , 由（Ⅱ）可知， 中任意两个元素之差不等于 中的任一数 ． 从而， 时命题成立． 综上所述，对任意正整数 ，集合 具有性质 ．………………………13分
5、（Ⅰ）由 以及 可得： 所以从第二项起为等比数列. 经过验证 为等比数列 . -------------------2分 (Ⅱ)由于 所以有 . 令 则有 叠加得： 所以有 ，叠加可得： ， 所以最小值为-5. --------------------------------------------------------6分 （Ⅲ）由于 ， ， 若 可得 ，若 可得 同理，若 可得 或 ，若 可得 或 具体如下表所示 所以 可以为 或 此时相应的 为 或 ------------------------------------------------------13分 6、解：（Ⅰ） ；-----------------------------------------------------2分 （Ⅱ） ，假设 ①当 时，依题意有 ②当 时，依题意有 ， ③当 时，依题意有 ， ， ， ， 由以上过程可知：若 ，在无穷数列 中，第 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列 中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分
（Ⅲ）证明：由条件可知 ， 因为 中任何一项不等于1，所以 . ①若 ，则 . 因为 ，所以 . 若 ，则 ，于是 ； 若 ，则 ，于是 ； 若 ，则 ，于题意不符； 所以 ，即 . ②若 ，则 . 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ； 所以 ，即 . 综上所述，对于一切正整数 ，总有 ，所以数列 是单调递减数列. -------------------------------------------------------------------------------13分 7、解：（Ⅰ） …………………2分 （Ⅱ）对于 ，考虑元素 ， 显然， ， ，对于任意的 ， 不可能都为1， 可得 不可能都在好子集 中…………………4分 又因为取定 ，则 一定存在且唯一，而且 ， 且由 的定义知道， ， ，…………………6分 这样，集合 中元素的个数一定小于或等于集合 中元素个数的一半， 而集合 中元素个数为 ，所以 中元素个数不超过 ；…………………8分 （Ⅲ） ， 定义元素 的乘积为： ，显然 . 我们证明: “对任意的 ， ，都有 .” 假设存在 , 使得 ， 则由（Ⅱ）知， 此时，对于任意的 ， 不可能同时为 , 矛盾， 所以 . 因为 中只有 个元素，我们记 为 中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道 ， 显然这个元素的坐标分量不能都为 ，不妨设 , 根据 的定义，可以知道 中所有元素的 坐标分量都为 …………………11分 下面再证明 的唯一性： 若还有 ,即 中所有元素的 坐标分量都为 , 所以此时集合 中元素个数至多为 个，矛盾. 所以结论成立…………………13分 8、解:（Ⅰ）①∵ ，作差法可得 ， 当 时， ； 当 时， ，存在 ，使得 ∴数列 是“回归数列”．………2分 ②∵ ，∴前 项和 ，根据题意 ∵ 一定是偶数，∴存在 ，使得 ∴数列 是“回归数列”．………4分 （Ⅱ） ，根据题意，存在正整数 ，使得 成立 即 ， ， ， ∴ ，即 ．………8分 （Ⅲ）设等差数列 总存在两个回归数列 ， 使得 ………9分 证明如下： 数列 前 项和 ， 时， ； 时， ； 时， 为正整数，当 时， . ∴存在正整数 ，使得 ，∴ 是“回归数列”……11分 数列 前 项和 存在正整数 ，使得 ，∴ 是“回归数列”，所以结论成立．………13分 9、（Ⅰ）解：1，1，0，1，0，0，1，1. ………………3分 （Ⅱ）证明：设数列 中某段连续为1的项从 开始，则 ． 由题意，令 ，则 中有奇数个1． （1）当 中无0时， 因为 ， 所以 ， ． 所以 ， ， ，此时连续2项为1． ………………5分 （2）当 中有0时， ① 若 ，即 ， 则 ， 因为 中有奇数个1， 所以 ，此时连续1项为1． ………………7分 ② 若 ，即 ， 则 ， ，（其中 ） 如果 为奇数，那么 ， ，此时连续2项为1． 如果 为偶数，那么 ，此时仅有1项 ． 综上所述，连续为1的项不超过2项． ………………10分 （Ⅲ）解： 或 . ………………13分 10、解：（Ⅰ）因为 ，由①知 ； 由②知， ，整理得， ．解得， 或 ． 当 时，不满足 ，舍去； 所以，这个数列为 ． …………………………………………………3分 （Ⅱ）若 ，由①知 ． 因为 ，所以 ． 所以 或 ． 如果由 计算 没有用到或者恰用了2次 ，显然不满足条件； 所以由 计算 只能恰好1次或者3次用到 ，共有下面4种情况： （1）若 ， ， ，则 ，解得 ； （2）若 ， ， ，则 ，解得 ； （3）若 ， ， ，则 ，解得 ； （4）若 ， ， ，则 ，解得 ； 综上， 的所有取值的集合为 ． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设 ．由（II）知， 或 ． 假设从 到 恰用了 次递推关系 ，用了 次递推关系 ， 则有 其中 ． 当 是偶数时， ， 无正数解，不满足条件； 当 是奇数时，由 得 ， 所以 ． 又当 时，若 ， 有 ， ，即 ． 所以， 的最大值是 ．即 ．…………………………………13分 11、 12、解：（Ⅰ）因为 是一个公比为 等比数列， 　　所以 ． 　　因为 成等差数列， 　　所以 即 ． 　　解得 . 　　又它的前4和 ，得 ， 　　解得 ． 　　所以 . 　　　　　　 …………………9分 （Ⅱ）因为 ， 　所以 ． 　　 ………………13分

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