2018日照市高三数学5月校际联考试题理有答案.docx

高三校际联合考试 理科数学 2018.05 本试卷共5页，满分150分。 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I卷(选择题，共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合 A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2} 2．若复数 在复平面内对应的点关于y轴对称，且 ，则复数 A． B．1 C． D． 3．己知直线 ，直线 A． B． C． D． 4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为 A． B． C． D． 5．若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则m的值为 A. B. C. D． 6.已知 .若“ ”是真命题，则实数a的取值范围是 A.(1，+∞) B．(－∞，3) C．(1，3) D． 7．某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中mod(m，n)表示m除以n的余数，例如mod(7，3)=1．若输入m的值为8，则输出i的值为 A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知 中， ，P为线段AC上任意一点，则 的范围是 A．[1，4] B．[0，4] C．[－2，4] D． 9.己知数列 中， ，且对任意的 ，都有 ，则 A． B． C． D． 10．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几 A．二 B．三 C．四 D．五 11．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P(0，6)，O为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为 A． B． C．3 D．4 12．如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实(虚)线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量 ，则实数 _________． 14．若 满足条件 的最大值为__________． 15．已知 __________． 16．若存在实常数k和b，使得函数 对其公共定义域上的任意实数x都满足： 恒成立，则称此直线 的“隔离直线”，已知函数 (e为自然对数的底数)，有下列命题： ① 内单调递增； ② 之间存在“隔离直线”，且b的最小值为 ； ③ 之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是 ； ④ 之间存在唯一的“隔离直线” ． 其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号) 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17．(12分) 己知 分别为 三个内角A，B，C的对边，且 ． (I)求角A的大小； (II)若b+c=5，且 的面积为 ，求a的值． 18．(12分) 已知三棱锥P―ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长为 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中： (I)证明：平面 平面ABC； (II)求二面角A―PC―B的余弦值．
19．(12分) 在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示： (I)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布 近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(37<Z≤79)； (II)在(I)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于 的可以获赠2次随机话费，得分低于 的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 现有市民甲参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列与数学期望． 附：参考数据与公式： ． 20．(12分) 己知椭圆 的焦距为 ，以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线 相交于P，Q两点，且 ． (I)求椭圆C的标准方程和圆A的方程。 (II)不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率 成等比数列，记以线段OM，线段ON为直径的圆的面积分别为 的值是否为定值?若是，求出此值：若不是，说明理由． 21．(12分) 已知函数 (e为自然对数的底数)． (I)若 的单调性； (II)若 ，函数 内存在零点，求实数a的范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．(10分)选修4―4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 ，直线l过点 且倾斜角为 . (I)求曲线C的直角坐标方程和直线 的参数方程； (II)设直线l与曲线C交于A，B两点，求 的值． 23．(10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数 的最大值为t． (I)求t的值以及此时x的取值集合； (II)若实数 满足 ，证明： . 二�一五级校际联考理科数学答案 2018.5 一、选择题： DCDAA CBDDC BB 1．答案：D 解析： ， 所以 ，故选D 2．答案：C 解析： ，所以 ，故选C 3．答案：D 解析：因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故选D. 4．答案：A 解析：设圆的半径为 ，则圆的面积 ，正六边形的面积 ，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率 ，故选A. 5．答案：A 解析：双曲线 的一条渐近线方程为 ，可得 ，解得 ， 因为 是双曲线的渐近线方程，所以 ， 解得 ，故选A. 6．答案C 解析:由“ ”是真命题，则 为真命题， 也为真命题， 若 为真命题，则不等式 恒成立， ，∴ ． 若 为真命题，即 ，所以 ．即 .故选C. 7．答案B 解析:模拟执行程序框图，可得： ， ， ，满足条件 ，满足条件 ， ， ，满足条件 ，不满足条件 ， ，满足条件 ，满足条件 ， ， ，…， ，可得： ， ， ，∴共要循环 次，故 ．故选B． 8．答案D 解析：以 为坐标原点， 为 轴、 为 轴建系，则 , ，设 , 所以 ， 故选D. 9．答案：D 解析：取m＝1得， ，即 ，从而 即 ，求得 ，故选D. 10．答案C． 解析：因为 昨天值夜班，所以今天不是星期一，也不是星期日 若今天为星期二，则 星期一值夜班， 星期四值夜班，则星期二与星期三 至少有一人值夜班，与 至少连续 天不值夜班矛盾 若今天为星期三，则 星期二值夜班， 星期四值夜班，则星期三与星期五 至少有一人值夜班，与 至少连续 天不值夜班矛盾 若今天为星期五，则 星期四值夜班，与 星期四值夜班矛盾 若今天为星期六，则 星期五值夜班， 星期四值夜班，则下星期一与星期二 至少有一人值夜班，与 至少连续 天不值夜班矛盾， 综上所述，今天是星期四，故选C. 11．答案B 解析：设 且 ,易知 ，设直线 由 所以 易知 在 上为减函数，所以当 时， ,故选B 12． 答案B 解析:几何体的直观图如图所示为三棱锥 ， 三棱锥 中， ，所以外接球的直径为 ，则半径 ，所以外接球的表面积 ,故选B. 二、填空题： 13．答案： 14．答案： 15．答案：180 16．答案：①②④ 13．答案： 解析： 由 ，则 ， 所以 ， 又由 ，所以 ，解得 ，故答案为 . 14．答案： 解析：由题 ,画出可行域为如图 区域， ，当 在 处时， ，故答案为 . 15．答案：180 解析： ， ， ， 故答案为 . 16．答案：①②④ 解析：① ， ， ， ，在 内单调递增，故①正确； ②，③设 的隔离直线为 ，则 对任意 恒成立， 即有 对任意 恒成立.由 对任意 恒成立得 . 若 则有 符合题意; 若 则有 对任意 恒成立,又 则有 ， ，即有 且 ， ， ，同理 ，可得 ， 所以 ， ，故②正确，③错误； ④函数 和 的图象在 处有公共点，因此存在 和 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 ，则隔离直线方程为 ，即 ，由 恒成立， 若 ，则 不恒成立. 若 ，由 恒成立，令 ， 在 单调递增， ，故 不恒成立. 所以 ，可得 ，当 恒成立， 则 ，只有 ，此时直线方程为 ，下面证明 ， 令 ， ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 取到极小值，极小值是 ，也是最小值， ，则 ， 函数 和 存在唯一的隔离直线 ，故④正确，故答案为①②④． 三、解答题： 17．答案:（Ⅰ） （或 ）;（Ⅱ） ． 解：（Ⅰ）由正弦定理得， ∵ ∴ ，即 ． …………………3分 ∵ ∴ ∴ ∴ ． …………………6分 （Ⅱ）由： 可得 ． ∴ …………………9分 ∵ ∴由余弦定理得： ∴ …………………12分 18. 答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） ． （Ⅰ）证明：方法1： 设 的中点为 ，连接 ， ．由题意得， ， ， ， 因为在 中， ， 为 的中点， 所以 ， …………………2分 因为在 中， ， ， ， 所以 ， …………………4分 因为 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 . …………………6分 （Ⅱ）解：由 平面 ， ，如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， . 由 平面 ，故平面 的法向量为 ，…………………8分 由 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 由 得： 令 ，得 ， ，即 ， …………………10分 . 由二面角 是锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 . …………………12分 19.答案：（Ⅰ） （Ⅱ）见解析． 解：（Ⅰ） ,故 ， …………………2分 ∴ ， ． ∴ 综上, ． …………………5分 （Ⅱ）易知 获赠话费 的可能取值为 ， ， ， ． …………………7分 ； ； ； ． …………………9分 的分布列为：
∴ ． …………………12分 20．答案：（Ⅰ）椭圆 的方程为 ，圆 的方程为 ； （Ⅱ） 为定值，定值为 . 解：（Ⅰ）如图，设 为 的中点，连接 ，则 ， 因为 ，即 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 ． ………………………………2分 由已知得 ,所以 椭圆 的方程为 ， …………………………………… 4分 所以 ，所以 ，所以 ， 所以圆 的方程为 ． ……………………………… 6分 （Ⅱ） 设直线 的方程为 ， 由 ，得 ， 所以 ，由题设知 ， ………………8分 ………………………………………………………………10分 则 故 为定值，该定值为 ． …………………………………………………………12 21．答案：（Ⅰ）(1) 当 时， 在 上单调递减； (2) 当 时, 在 上单调递减,在 单调递增． （Ⅱ） 的取值范围是 . 解：（I）定义域为 故 则 (1)若 ，则 在 上单调递减；…………………2分 (2)若 ，令 . ①当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减； ②当 时， ，因而在 上有 ，在 上有 ；因此 在 上单调递减，在 单调递增. 综上， (1) 当 时， 在 上单调递减； (2) 当 时， 在 上单调递减，在 单调递增． …………………5分 （Ⅱ）设 , ，设 ， 则 ． (1) 若 , 在 单调递减， 故此时函数 无零点， 不合题意. …………………7分 (2)若 , ①当 时， ，由（1）知 对任意 恒成立 ， 故 ，对任意 恒成立， ②当 时, ， 因此当 时 必有零点，记第一个零点为 ， 当 时 ， 单调递增， . 由①②可知，当 时， 必存在零点. …………………9分 (2)当 ，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设 在 的第一个零点为 ，则当 时， ，故 在 上为减函数， 又 ， 所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故当 时恒有 .即 ， 令 ，则 在 单调递减，在 单调递增. 即 注意到 ， 因此 ， 令 时，则有 ， 由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意. 综上可知， 的取值范围是 . …………………12分 （Ⅱ）解法二：设 , ， (1) 若 , 在 单调递减， 故此时函数 无零点， 不合题意. …………………7分 (2)若 ,当 时, ， 因此当 时 必有零点，记第一个零点为 ， 当 时 ， 单调递增， 又 所以，当 时， 在 必存在零点. …………………9分 (3)当 ，由于 ， 令 ，则 在 单调递减，在 单调递增. 即 注意到 ， 因此 ， 令 时，则有 ， 由零点存在定理可知函数 在 上存在零点，符合题意. 综上可知， 的取值范围是 . …………………12分 22．答案:（Ⅰ） 曲线 的直角坐标方程为 ， 直线 的参数方程为 为参数）；（其他参数方程酌情给分） （Ⅱ）7. 解：（Ⅰ）曲线 ， 所以 ， 即 ， …………………2分 得曲线 的直角坐标方程为 ， 直线 的参数方程为 为参数） ． …………………5分 （Ⅱ）将 为参数）代入圆的方程， 得 ， …………………7分 整理得 ， 得 ，所以 所以 ． …………………10分 23．答案:（Ⅰ） ，此时 ；（Ⅱ）见解析. （Ⅰ）解：依题意得， 当 时， ； 当 时， ，此时 ； 当 时， ， ………………3分 所以 的最大值为 ，即 ，此时 .……………………5分 （Ⅱ）证明：由 ，得， ， 所以 ，所以 ， ……………………7分 所以 .……………………10分

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