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11.1 与三角形有关的线段 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共12小题） 1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ） A． B． C． D． 2．三角形按角分类可以分为（ ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等边直角三角形 D．以上答案都不正确 3．下列图形中三角形的个数是（ ） A．4个 B．6个 C．9个 D．10个 4．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ） A． B． C． D． 5．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（ ） A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE 6．下列图形中具有稳定性的是有（ ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③ 7．下列各组数据中，能构成三角形的是（ ） A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、4cm C．4cm、9cm、4cm D．2cm、1cm、4cm 8．下列长度的各组线段中，能作为一个三角形三边的是（ ） A．1，2，3 B．2，4，4 C．2，2，4 D．a，a�1，a+1（a是自然数） 9．长度分别为x，3，5的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ） A．2 B．3 C．8 D．9 10．若一个三角形的两边长分别为5和7，则该三角形的周长可能是（ ） A．12 B．14 C．15 D．25 11．四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ） A．组成的三角形中周长最小为9 B．组成的三角形中周长最小为10 C．组成的三角形中周长最大为19 D．组成的三角形中周长最大为16 12．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 二．填空题（共8小题） 13．公交车的扶手往往都做成三角形的，这样做的数学依据是 ． 14．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC= ． 15．如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有 个． 16．已知如图△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=6cm，AC=8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 ，面积之差为 ． 17．三角形的两边长分别是3、5，第三边长为偶数，则第三边长为 ． 18．如果将长度为a�2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 ． 19．BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是 ． 20．在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成 个不同的三角形． 三．解答题（共4小题） 21．如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案． 22．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形… （1）完成下表： 连接个数 出现三角形个数 （2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ （3）若一直连接到An，则图中共有 个三角形．
23．已知a，b，c分别是△ABC的三边，化简：|a+b+c|+|a+c�b|�|c�a�b|．
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1． 解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 2． 解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 3． 解：单个的三角形有4个， 两个三角形组合的三角形有3个， 三个三角形组合的三角形有2个， 四个三角形组合的三角形有1个， ∴三角形的个数是4+3+2+1=10． 故选：D． 4． 解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 5． 解：∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线， ∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF， 而BE=CE不一定成立， 故选：C． 6． 解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 显然②③两个图形具有稳定性，而①④中含有四边形，不具有稳定性． 故选：C． 7． 解：A、1+2=3，不能构成三角形； B、3+2＞4，能构成三角形； C、4+4＜9，不能构成三角形； D、1+2＜4，不能构成三角形． 故选：B． 8． 解：根据三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得： A、1+2=3，不满足定理，故错误； B、符合，故正确； C、2+2=4，不满足，故错误； D，a+a�1=2a�1，和a+1的大小不确定，故错误．故选B． 9． 解：根据三角形的三边关系，得：2＜x＜8． ∴x的值可以是3， 故选：B． 10． 解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于2，而小于12． 则周长L的取值范围是：14＜L＜24． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 11． 解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四种情况， 由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7 ①若三边为3、4、6时，其周长为3+4+6=13； ②若三边为3、4、x时，4�3＜x＜4+3，即3＜x＜7 由于x为正整数，当x为4或5或6， 其周长最小为4+3+4=11，周长最大为3+4+6=13； ③若三边为3、6、x时，6�3＜x＜6+3，即3＜x＜7， 由于x为正整数，则x为4或5或6， 其周长最小为3+6+4=13，周长最大为3+6+6=15； ④若三边为4、6、x时，6�4＜x＜6+4，即3＜x＜7 由于x为正整数，则x为4或5或6， 其周长最小为4+6+4=14，周长最大为4+6+6=16； 综上所述，三角形周长最小为11，最大为16， 故选：D． 12． 解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条， 故选：A． 二．填空题（共8小题） 13． 解：公交车的扶手往往都做成三角形的，这样做的数学依据是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 14． 解：∵AD为BC边的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD与△ADC的周长差=（AB+AD+BD）�（AC+AD+CD）=AB�AC， ∵△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8， ∴8�AC=3， 解得AC=5． 故答案为：5． 15． 解：设第三边是x，则7＜x＜11． ∴x=8或9或10． 而三角形的周长是奇数，因而x=8或10， 满足条件的三角形共有2个， 故答案为：2． 16． 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵△ABD周长=AB+AD+BD，△ACD周长=AC+CD+AD， ∵△ACD周长�△ABD周长=（AC+CD+AD）�（AB+BD+AD）=AC�AB=8�6=2， 即△BCD和△ACD的周长之差是2cm； ∵AD为中线， ∴△ABD面积=△ACD面积， ∴△ABD与△ACD的面积之差为0cm2， 故答案为：2cm；0cm2 17． 解：∵三角形的两边的长分别为3和5， ∴第三边的取值范围为：2＜x＜8， ∴符合条件的偶数为4或6， 故答案为：4或6 18． 解：因为�2＜2＜5， 所以a�2＜a+2＜a+5， 所以由三角形三边关系可得a�2+a+2＞a+5， 解得：a＞5． 则不等式的解集是：a＞5． 故答案为：a＞5． 19． 解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD， ∴△ABD和△BCD的周长的差=（AB+BD+AD）�（BC+BD+CD）=AB�BC， ∵AB=5，BC=3， ∴△ABD和△BCD的周长的差=5�3=2． 故答案为：2． 20． 解：∵从长度分别为2，5，6，8的四条线段中任取三条， 能组成三角形的有：2、5、6；5、6、8； 故答案为2． 三．解答题（共4小题） 21． 解：三种方案如图所示： 22． 解：（1） 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 （2）8个点； （3）1+2+3+…+（n+1） = [1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）] = （n+1）（n+2）． 故答案为 （n+1）（n+2）． 23． 解：根据三角形的三边关系得：a�b�c＜0，a+c�b＞0，c�a�b＜0． ∴原式=a+b+c+a+c�b�a�b+c=a�b+3c． 24． 解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，CD=BD． ∵△ADC的周长�△ABD的周长=5cm． ∴AC�AB=5cm． 又∵AB+AC=11cm， ∴AC=8cm． 即AC的长度是8cm． 11.2.1 三角形内角和定理 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共12小题） 1．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ） A．44° B．40° C．39° D．38° 2．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=90°�∠B；④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 3．已知，在△ABC中，∠A=60°，∠C=80°，则∠B=（ ） A．60° B．30° C．20° D．40° 4．有一个外角等于120°，且有两个内角相等的三角形是（ ） A．不等边三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 5．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x�y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（ ） A．30° B．45° C．90° D．60° 6．在△ABC中，∠A=25°，∠B=63°，则△ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（ ） A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1�∠2=∠A D．∠1�∠2=2∠A 8．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=2∠C；③∠A：∠B：∠C=1：2：3，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 9．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC上的点A′处，如果∠A′EC=70°，则∠A′DE的度数为（ ） A．50° B．60° C．75° D．65° 10．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD，若∠B=30°，∠C=40°，则∠DAC的度数是（ ） A．25° B．35° C．45° D．75° 12．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=45°，∠B=60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ） A．75° B．65° C．55° D．45° 二．填空题（共8小题） 13．在△ABC中，若∠A=78°，∠B=57°，则∠C= ． 14．已知三角形的三个内角的度数比为2：3：4，则这个三角形三个内角的度数为 ． 15．一个三角形的三个内角中最多有 个钝角（或直角）． 16．在△ABC中，∠C=60°，∠A=2∠B，则∠A= ． 17．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB= （度）． 18．在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= ． 19．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示） 20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠A=80°，则∠BOC= ． 三．解答题（共4小题） 21．如图，已知DF⊥AB于点F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACB的度数．
22．如图，在△ABC中，∠A=50°，过点C作CD∥AB，若CB平分∠ACD，求∠B的度数．
23．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高． （1）求∠BAE的度数； （2）求∠EAD的度数； （3）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由．
24．如图，△ABC中AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°． （1）∠BAC= °； （2）求∠DAE的度数．
参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1． 解：∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°�54°�48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCB= 78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故选：C． 2． 解：①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A=90°�∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°�90°=90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个． 故选：D． 3． 解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠C=80°， ∴∠B=180°�60°�80°=40°． 故选：D． 4． 解：当∠BAC的外角是120°时， 则∠BAC=60°， ∠B=∠C= （180°�∠BAC）=60°， 即∠BAC=∠B=∠C， 所以△ABC是等边三角形； 当∠ABC的外角是120°时，∠ABC=60°， 即∠C=∠ABC=60°， ∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°， ∴∠BAC=60°， ∴∠BAC=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形； 同样当∠ACB的外角是120°，也能推出△ABC是等边三角形； 故选：C． 5． 解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x�y）°，x°，三角形内角和为180°， ∴x+y+x�y+x=180， ∴3x=180， x=60， 故选：D． 6． 解：∵△ABC中，∠A=25°，∠B=63°， ∴∠C=180°�25°�63°=92°， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：C． 7． 解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到， ∴∠A′=∠A， ∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2， ∴∠1�∠2=2∠A， 故选：D． 8． 解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴若 ①∠A+∠B=∠C，则∠C=90°．三角形为直角三角形； ②∠A=∠B=2∠C，则∠A=∠B=72°，∠C=36°．三角形不是直角三角形； ③∠A�s∠B�s∠C=1�s2�s3，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．三角形为直角三角形； 故选B． 9． 解：∵∠AEA′=180°�∠A′EC=180°�70°=110°， 又∵∠A′ED=∠AED= ∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°， ∴∠A′DE=180°�∠A′ED�∠DA′E=180°�55°�60°=65°． 故选：D． 10． 解：设三个内角分别为2k、3k、4k， 则2k+3k+4k=180°， 解得k=20°， 所以，最大的角为4×20°=80°， 所以，三角形是锐角三角形． 故选：A． 11． 解：∵AB=BD，∠B=30°， ∴∠ADB=75°， ∵∠C=40°， ∴∠DAC=∠ADB�∠C=75°�40°=35°． 故选：B． 12． 解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°�（∠A+∠B）=180°�（45°+60°）=75°， 故选：A． 二．填空题（共8小题） 13． 解：由题可得， ∠C=180�∠A�∠B =180°�78°�57° =45°， 故答案为：45°． 14． 解：根据三角形的内角和定理，得 三个内角分别是180°× =40°，180°× =60°，180°× =80°． 15． 解：假设三角形中，出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于180°，不符合三角形内角和是180°，因而假设不成立， 所以一个三角形中最多有一个钝角． 故答案为：1． 16． 解：设∠A=2x，则∠B=x， 由三角形内角和等于180°，得：2x+x+60°=180°， 解得x=40°． ∴∠A=2x=2×40°=80°． 故答案为：80°． 17． 解：由题意可得∠DAE= ∠BAC�（90°�∠C）， 又∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE， ∴90°�2∠B= ∠B， 则∠B=36°， ∴∠BAC=2∠B=72°， ∴∠ACB=180°�36°�72°=72°． 故答案为72 18． 解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A+∠B=180°�∠C=90°， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°， ∴∠1+∠2=360°�90°=270°． 故答案是：270°． 19． 解：如右图所示， ∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D， ∴∠1=∠C+∠A+∠D， 又∵∠1+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°． 故答案是：180°． 20． 解：∵在△ABC中，∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°�80°=100°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点， ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×100°=50°， ∴∠BOC=180°�（∠OBC+∠OCB）=180°�50°=130°． 故答案为：130°． 三．解答题（共4小题） 21． 解：∵DF⊥AB于点F， ∴∠AFE=90°， ∵∠A=45°， ∴∠AEF=45°， ∴∠CED=∠AEF=45°． ∴∠ACB=∠D+∠CED=30°+45°=75°． 22． 解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=50°， ∴∠B+∠ACB=130°． ∵CD∥AB， ∴∠DCB=∠B． ∵CB平分∠ACD， ∴∠DCB=∠ACB， ∴∠ACB=∠B， ∴2∠B=130°， ∴∠B=65°． 23． 解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°， ∴∠BAC=180°�30°�50°=100°． 又∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE= ∠BAC= ×100°=50°． （2）∵∠B=30°，AD⊥BC， ∴∠BAD=90°�30°=60°， ∴∠EAD=∠BAD�∠BAE=60°�50°=10°． （3）∠DAE= （β�α），理由如下： ∵∠B=α，∠C=β， ∴∠BAC=180°�α�β． 又∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE= ∠BAC=90°� （α+β）． ∵∠BAD=90°�∠B=90°�α， ∴∠DAE=∠BAD�∠BAE=90°�α�[90°� （α+β）]= （β�α）． 24． 解：（1）∵∠B=50°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°�∠B�∠C=60° 故答案为：60° （2）∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=60° ∴∠BAE=30° ∴∠AEB=180°�∠B�∠BAE =100° ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADE=90° ∴∠DAE=∠AEB�∠ADE =100°�90° =10° 答：∠DAE的度数是10°．
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