2018高三数学理第十次模拟考试题衡水含答案.docx

2018高三数学（理）第十次模拟考试题(衡水含答案) 2017―2018学年度第一学期高三十模考试 数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知 中， ， ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 4.设 ， 为 的展开式的第一项（ 为自然对数的底数）， ，若任取 ，则满足 的概率是（ ） A． B． C． D． 5.函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 7.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ） A． B． C． D． 9.如图，设椭圆 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，若直线 平分线段 于 ，则椭圆 的离心率是（ ） A． B． C． D． 10.设函数 为定义域为 的奇函数，且 ，当 时， ，则函数 在区间 上的所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 11.已知函数 ，其中 为函数 的导数，求 （ ） A． B． C． D． 12.已知直线 ： ，若存在实数 使得一条曲线与直线 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于 ，则称此曲线为直线 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程： ① ；② ；③ ；④ . 其中直线 的“绝对曲线”的条数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.已知实数 ， 满足 ，且 ，则实数 的取值范围 ． 14.双曲线 的左右焦点分别为 、 ， 是双曲线右支上一点， 为 的内心， 交 轴于 点，若 ，且 ，则双曲线的离心率 的值为 ． 15.若平面向量 ， 满足 ，则 在 方向上投影的最大值是 ． 16.观察下列各式： ； …… 若 按上述规律展开后，发现等式右边含有“ ”这个数，则 的值为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 17.已知等差数列 中，公差 ， ，且 ， ， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下： （1）已知该校有 名学生，试估计全校学生中，每天学习不足 小时的人数. （2）若从学习时间不少于 小时的学生中选取 人，设选到的男生人数为 ，求随机变量 的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差 与女生学习时间方差 的大小.（只需写出结论） 19.如图所示，四棱锥 的底面为矩形，已知 ， ，过底面对角线 作与 平行的平面交 于 . （1）试判定点 的位置，并加以证明； （2）求二面角 的余弦值. 20.在平面直角坐标平面中， 的两个顶点为 ， ，平面内两点 、 同时满足：① ；② ；③ . （1）求顶点 的轨迹 的方程； （2）过点 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 ， 与 的轨迹 相交弦分别为 ， ，设弦 ， 的中点分别为 ， . ①求四边形 的面积 的最小值； ②试问：直线 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数 . （1）当 ，求函数 的图象在 处的切线方程； （2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （3）已知 ， ， 均为正实数，且 ，求证 . 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点 ，极轴为 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数）. （1）求曲线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程； （2）将曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 ，若 ， 分别是曲线 和曲线 上的动点，求 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知 . （1）当 时，解不等式 . （2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围. 十模数学答案（理） 一、选择题 1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）由题意可得 ，即 . 又因为 ，所以 .所以 . （2）因为 ，所以 . 因为存在 ，使得 成立，所以存在 ，使得 成立， 即存在 ，使得 成立. 又 ， （当且仅当 时取等号）， 所以 .即实数 的取值范围是 . 18.解：（1）由折线图可得共抽取了 人，其中男生中学习时间不足 小时的有 人，女生中学习时间不足 小时的有 人. ∴可估计全校中每天学习不足 小时的人数为： 人. （2）学习时间不少于 本的学生共 人，其中男学生人数为 人，故 的所有可能取值为 ， ， ， ， . 由题意可得 ； ； ； ； . 所以随机变量 的分布列为
∴均值 . （3）由折线图可得 . 19.解：（1） 为 的中点，证明如下： 连接 ，因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 ，又 为 的中点，所以 为 的中点. （2）连接 ，因为四边形 为矩形，所以 .因为 ，所以 .同理，得 ，所以 平面 ，以 为原点， 为 轴，过 平行于 的直线为 轴，过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 易知 ， ， ， ， ， ， 则 ， . 显然， 是平面 的一个法向量.设 是平面 的一个法向量， 则 ，即 ，取 ， 则 ， 所以 ， 所以二面角 的余弦值为 . 20.（1） ；（2）① 的最小值的 ，②直线 恒过定点 . 试题解析：（1）∵ ， ∴由①知 ， ∴ 为 的重心. 设 ，则 ，由②知 是 的外心， ∴ 在 轴上由③知 ，由 ，得 ，化简整理得： . （2）解： 恰为 的右焦点， ①当直线 ， 的斜率存且不为 时，设直线 的方程为 ， 由 ， 设 ， ，则 ， ， ①根据焦半径公式得 ， 又 ， 所以 ，同理 ， 则 ， 当 ，即 时取等号. ②根据中点坐标公式得 ，同理可求得 ， 则直线 的斜率为 ， ∴直线 的方程为 ， 整理化简得 ， 令 ，解得 . ∴直线 恒过定点 . ②当直线 ， 有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为 ，直线 即为 轴，过点 . 综上， 的最小值的 ，直线 恒过定点 . 21.（1）当 时， 则 ， 则 ， ∴函数 的图象在 时的切线方程为 . （2）∵函数 在 上单调递增，∴ 在 上无解， 当 时， 在 上无解满足， 当 时，只需 ，∴ ① ， ∵函数 在 上单调递增，∴ 在 上恒成立， 即 在 上恒成立. 设 ， ∵ ，∴ ，则 在 上单调递增， ∴ 在 上的值域为 . ∴ 在 上恒成立，则 ② 综合①②得实数 的取值范围为 . （3）由（2）知，当 时， 在 上单调递增， 于是当 时， ， 当 时， ， ∴ ，即 ， 同理有 ， ， 三式相加得 . 22.解：（1）∵ 的极坐标方程是 ，∴ ，整理得 ，∴ 的直角坐标方程为 . 曲线 ： ，∴ ，故 的普通方程为 . （2）将曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 的方程为 ，则曲线 的参数方程为 （ 为参数）.设 ，则点 到曲线 的距离为 . 当 时， 有最小值 ，所以 的最小值为 . 23.解：（1）当 时，等式 ，即 ， 等价于 或 或 ， 解得 或 ， 所以原不等式的解集为 ； （2）设 ，则 ， 则 在 上是减函数，在 上是增函数， ∴当 时， 取最小值且最小值为 ， ∴ ，解得 ，∴实数 的取值范围为 .

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