2014高一数学必修4平面向量单元测试题有答案.docx

第二章测试 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1有下列四个表达式： |ab|a|b|； |ab|(|a|b|)； a2|a|2； |ab|a|b|. 其中正确的个数为() A0 B2 C3 D4 解析对于仅当a与b同向时成立对于左边|ab|0，而右边可能0，不成立对于a2|a|2，a2|a|2不成立对于当ab时不成立，综上知，四个式子都是错误的 答案A 2下列命题中，正确的是() Aa(2,5)与b(4，10)方向相同 Ba(4,10)与b(2，5)方向相反 Ca(3,1)与b(2，5)方向相反 Da(2,4)与b(3,1)的夹角为锐角 解析在B中，a(4,10)2(2，5)2b， a与b方向相反 答案B 3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|() A.7 B.10 C.13 D4 解析|a3b|2(a3b)2a29b26ab196|a|b|cos6013，|a3b|13. 答案C 4已知向量a812x，x，b(x1,2)，其中x0，若ab，则x的值为() A8 B4 C2 D0 解析ab，(812x)2x(x1)0，即x216，又x0，x4. 答案B 5在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足AP2PM，则AP(PBPC)等于() A.49 B.43 C43 D49 解析M为BC的中点，得PBPC2PMAP， AP(PBPC)AP2. 又AP2PM，|AP|23|AM|23. AP2|AP|249. 答案A 6若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x() A6 B5 C4 D3 解析8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，c(3，x)， (8ab)c(6,3)(3，x)183x. 又(8ab)c30，183x30，x4. 答案C 7向量a(1,1)，且a与a2b方向相同，则ab的取值范围是() A(1,1) B(1，) C(1，) D(，1) 解析依题意可设a2ba(0)， 则b12(1)a， ab12(1)a212(1)211. 答案B 8设单位向量e1，e2的夹角为60，则向量3e14e2与向量e1的夹角的余弦值为() A.34 B.537 C.2537 D.53737 解析(3e14e2)e13e214e1e2312411cos605，|3e14e2|29e2116e2224e1e291216122411cos6037. |3e14e2|37. 设3e14e2与e1的夹角为，则 cos5371537. 答案D 9在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若ACa，BDb，则AF() A.14a12b B.23a13b C.12a14b D.13a23b 解析如图所示，AFADDF， 由题意知，DE：BEDF：BA1：3. DF13AB. AF12a12b13(12a12b)23a13b. 答案B 10已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(3,1)，B点坐标为12，32，则C点坐标为() A(1，3) B.54，54 C(4,2) D(2,4) 解析设C(x，y)，则由ABBC，得 12(3)，321x12，y32， x1272，y3212，x4，y2，C(4,2) 答案C 11已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b夹角的取值范围是() A.0，6 B.3， C.3，23 D.6， 解析设a与b的夹角为， |a|24ab0， ab|a|24，cosab|a|b|a|24|a|b|12. 0，3，. 答案B 12在ABC所在平面内有一点P，如果PAPBPCAB，则PAB与ABC的面积之比是() A.13 B.12 C.23 D.34 解析因为PAPBPCABPBPA，所以2PAPC0，PC2PA2AP，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)所以PAB与ABC的面积之比是13. 答案A 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分将答案填在题中横线上) 13已知a(2cos，2sin)，b(3，3)，且a与b共线，0,2)，则_. 解析由ab，得23cos6sin，cos0， tan33，又0,2)，6或76. 答案6或76 14假设|a|25，b(1,3)，若ab，则a_. 解析设a(x，y)，则有x2y220. 又ab，ab0，x3y0. 由解得x32，y2，或x32， y2， a(32，2)，或a(32，2) 答案(32，2)或(32，2) 15在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ABACBABC2，那么c_. 解析由题知 ABACBABC2， 即ABACABBCAB(ACCB)AB22c|AB|2. 答案2 16关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： 若abac，则bc；若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60. 其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号) 解析 当a0时，不成立；对于，若ab，则2k6，k3，成立；对于，由于|a|b|ab|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图BAD60，ACab，由菱形的性质可知，a与ab的夹角为BAC30. 答案 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分)已知|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，c3a5b，dma3b. (1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？ 解(1)令cd0，则(3a5b)(ma3b)0， 即3m|a|215|b|2(5m9)ab0， 解得m2914. 故当m2914时，cd. (2)令cd，则3a5b(ma3b) 即(3m)a(53)b0， a，b不共线， 3m0，530，解得53，m95. 故当m95时，c与d共线 18(12分)如图所示，在ABC中，C为直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE2EB，求证：ADCE. 证明设此等腰直角三角形的直角边长为a，则 ADCE(ACCD)(CAAE) ACCACDCAACAECDAE a20a223a22a2223a22 a223a213a20， ADCE，ADCE. 19(12分)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标 解设D点坐标为(x，y)，则AD(x2，y1)， BC(6，3)，BD(x3，y2)， D在直线BC上，即BD与BC共线， 存在实数，使BDBC， 即(x3，y2)(6，3) x36，y23，x32(y2)， 即x2y10. 又ADBC，ADBC0， 即(x2，y1)(6，3)0. 6(x2)3(y1)0. 由可得x1，y1. |AD| (12)2225， 即|AD|5，D(1,1) 20(12分)在直角坐标系中，已知OA(4，4)，OB(5,1)，OB在OA方向上的射影数量为|OM|，求MB的坐标 解设点M的坐标为M(x，y) OB在OA方向上的射影数量为|OM|， OMMB，OMMB0. 又OM(x，y)，MB(5x,1y)， x(5x)y(1y)0. 又点O，M，A三点共线，OMOA. x4y4. x(5x)y(1y)0，x4y4，解得x2，y2. MBOBOM(52,12)(3,3) 21(12分) 如图，在平面斜坐标系xOy中xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OPxe1ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y) (1)若点P的斜坐标为(2，2)，求点P到O的距离|OP|； (2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程 解(1)因为点P的斜坐标为(2，2)，故OP2e12e2，|OP|2(2e12e2)288e1e288cos604， |OP|2，即|OP|2. (2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OMxe1ye2， 又|OM|1.故(xe1ye2)21. x2y22xye1e21.即x2y2xy1. 故所求方程为x2y2xy10. 22(12分)如图，在四边形ABCD中，BCAD(R)，|AB|AD|2，|CBCD|23，且BCD是以BC为斜边的直角三角形 (1)求的值； (2)求CBBA的值 解(1)因为BCAD， 所以BCAD， 且|BC|AD|. 因为|AB|AD|2， 所以|BC|2. 又|CBCD|23， 所以|BD|23. 作AHBD交BD于H， 则H为BD的中点 在RtAHB中，有cosABHBHAB32， 于是ABH30， 所以ADBDBC30. 而BDC90， 所以BDBCcos30，即23232， 解得2. (2)由(1)知， ABC60，|CB|4， 所以CB与BA的夹角为120， 故CBBA|CB|BA|cos1204.20 20