2018扬州高三数学5月第四次模拟考试卷带答案.docx

扬州中学高三数学试卷 2018.5.18 必做题部分 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1、已知集合 则 ▲ ． 2、已知复数 （其中 是虚数单位， ），若 是纯虚数，则 的值为 ▲ ． 3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为 ，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为 ，则 的概率为 ▲ ． 4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度 在区间 的为一等品，在区间 和 的为二等品， 其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．
5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= ▲ ． 6、若双曲线 的离心率为 ， 则双曲线 的渐近线方程为 ▲ ． 7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为 ▲ ． 8、函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合， 则 ▲ ． 9、若函数 为偶函数，则a= ▲ ． 10、已知数列 与 均为等差数列（ ），且 ，则 ▲ ． 11、若直线 与直线 交于点 ，则 长度的最大值为 ▲ ．
12、如图，已知 ， ，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点， 则 的最小值是 ▲ ．
13、已知函数 ，函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则实数 的取值范围是 ▲ ． 14、已知 均为非负实数，且 ，则 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、已知 的三个内角 所对的边分别为 ,向量 ， ，且 . (1)求角A的大小； (2)若 ，求 的值
16、如图，四棱锥P―ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点． （1）求证：FG//平面PBD； （2）求证：BD⊥FG．
17、已知椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，直线 与直线 垂直，垂足为 ，且点 是线段 的中点. （1）求椭圆 的方程； （2）若 ， 分别为椭圆 的左，右顶点， 是椭圆 上位于第一象限的一点 ， 直线 与直线 交于点 ，且 ，求点 的坐标. 18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L． （1）试用x，y表示L； （2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？ 19、已知函数 ， （1）求函数 的单调区间； （2）当 时，判断函数 有几个零点，并证明你的结论； （3）设函数 ，若函数 在 为增函数，求实数 的取值范围．
20、已知数列 中， ，前 项和为 ，若对任意的 ，均有 （ 是常数，且 ）成立，则称数列 为“ 数列”. （1）若数列 为“ 数列”，求数列 的前 项和 ； （2）若数列 为“ 数列”，且 为整数，试问：是否存在数列 ，使得 对任意 ， 成立？如果存在，求出这样数列 的 的所有可能值，如果不存在，请说明理由。
扬州中学高三数学试卷 2018.5.18 附加题 21A．选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
21B．选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵 ，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．
21C．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 与曲线 的交点P的直角坐标。
21D．选修4-5：不等式选讲 设a，b，c，d都是正数，且 ．求证： ．
22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是 ，乙班三名同学答对的概率分别是 ，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响． （1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A，求事件A发生的概率； （2）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23、已知函数 ，设 为 的导数， ． （1）求 ， ； （2）猜想 的表达式，并证明你的结论． 扬州中学高三数学试卷参考答案 2018.5.18 1.{－1} ； 2. －4； 3.89； 4.100； 5. 1011； 6. y＝±3x； 7. 1； 8. ； 9.1； 10. 20； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 14.解：因为 ，所以 ，令 ，则 ． ． 当 且 ，即 或 时取等号； 另一方面， 当 时取等号．所以 ． 15.解：(1)由题意得 又因为 ，所以 ，解得 或 ……7分 (2)在 中，由余弦定理得 ① 又 ，∴ ，代入①整理得 ，解得 ，∴ ， 于是 即 为等边三角形， ……14分 16．证明：（Ⅰ）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点， ， ……3分 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ……7分 （II）因为菱形ABCD，所以 ，又PA⊥面ABCD， 平面 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 平面 ，BD⊥FG ……14分 17. 解（1） （过程略） ……6分 （2）方法1：“点参” 设 ，则直线 的方程为 ，所以 所以 ……8分 由 在椭圆上得 ，所以 ……10分 所以 ，解得 或 （舍），所以 ……14分 方法2：“ 参” 设直线 的方程为 ，由 得 因为 ，所以 ，所以 ……10分 又 ，所以 ， 所以 ，解得 ，故 ，所以 ……14分 18.解：（1）水平方向每根支条长为 cm，竖直方向每根支条长为 cm，菱形的一条边长为 cm． 所以L = cm． ……6分 （2）由题意得 ，即 ，由 得 ． ……8分 所以 ． 令 ，其导函数 ，（ ）， 故 在 上单调递减，故 ． ……10分 所以 ，其中定义域 ……12分 求导得 ，所以 在 上为增函数， 故当 ，即 时L有最小值 ． 答：做这样一个窗芯至少需要 cm长的条形木料． ……16分 19.解：（1） ， 极小值 极大值
所以单调增区间 ，单调减区间为 、 ………4分 （2）函数 有2个零点。证明如下： ………5分 因为 时，所以 ， 由 ， ，且 在 上单调递增且连续 得 在 上仅有一个零点， ………7分
由上面可得 时， ，即 ，故 时， ， 所以 ， 由 得 ，平方得 ，所以 由 ， ，且 在 上单调递增且连续得 在 上仅有一个零点， 综上得：函数 有2个零点 ………10分 （3）记函数 ，下面考察 的符号． 求导得 ． 当 时 恒成立． 当 时， ， 从而 ． ∴ 在 上恒成立，故 在 上单调递减． ∵ ，∴ ，又因为 在 上连续， 所以由函数的零点存在性定理得 惟一的 ，使 ………12分 ∴ ． ∴ ∴ 因为 在 上增且连续，所以 在 ， 上恒成立． ①当 时， 在 上恒成立，即 在 上恒成立． 记 ，则 ， 当 变化时， ， 变化情况如下表： 极小值
∴ ． 故 ，即 ． ②当 时， ，当 时， 在 上恒成立． 综合（1）（2）知， 实数 的取值范围是 ． ………16分 20. （1）因为数列 为“ 数列”，所以 ，故 两式相减得 在 中令 ，则可得 ，故 所以 ，所以数列 为等比数列， 所以 ，所以 ………6分 （2）由题意得 ，故 ， 两式相减得 ………8分 所以，当 时， 又因为 所以 所以 所以当 时，数列 是常数列， ………11分 所以 ………12分 所以 因为 所以 在 中令 ，则可得 ， 所以 又 时 且 为整数 所以可解得 ………16分

附加题答案 2018.5.18 21.A．选修4-1：几何证明选讲 证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP， 从而∠PDF=∠OCP．在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，故△PDF∽△POC．　 B．选修4-2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为 ， 令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2， ………4分 将λ1=1代入二元一次方程组 解得x=0， 所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为 ； 同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为 ………10分 C．选修4-4：坐标系与参数方程 解：因为直线 的极坐标方程为 ，所以直线 的普通方程为 ， 又因为曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 所以曲线 的直角坐标方程为 ， 联立解方程组得 或 ． 根据 的范围应舍去 ,故 点的直角坐标为 　………10分 注：多一解扣2分 D．选修4-5：不等式选讲 证明：∵（a2+b2）（c2+d2）�（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）�（a2c2+2abcd+b2d2） =（ad�bc）2≥0， ∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数， ∴ • ≥ac+bd＞0，① 同理 • ≥ad+bc＞0，∴xy≥ ． 22. 解：（1） ………4分 （2）随机变量X的取值为0，10，20，30. 所以期望 ………10分 23. 解：（1） ，其中 ， ………1分 ，其中 ， ………3分 （2）猜想 ， ………4分 下面用数学归纳法证明： ①当 时， 成立， ②假设 时，猜想成立 即 当 时， 当 时，猜想成立 由①② 对 成立 ………10分

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