2018扬州高三数学5月第四次模拟考试卷带答案.docx

扬州中学高三数学试卷 2018.5.18 必做题部分 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上 1、已知集合 则 2、已知复数 （其中 是虚数单位， ），若 是纯虚数，则 的值为 3、从集合1,2,3中随机取一个元素，记为 ，从集合2,3,4中随机取一个元素，记为 ，则 的概率为 4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度 在区间 的为一等品，在区间 和 的为二等品， 其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= 6、若双曲线 的离心率为 ， 则双曲线 的渐近线方程为 7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为 8、函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合， 则 9、若函数 为偶函数，则a= 10、已知数列 与 均为等差数列（ ），且 ，则 11、若直线 与直线 交于点 ，则 长度的最大值为 12、如图，已知 ， ，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点， 则 的最小值是 13、已知函数 ，函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则实数 的取值范围是 14、已知 均为非负实数，且 ，则 的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、已知 的三个内角 所对的边分别为 ,向量 ， ，且 . (1)求角A的大小； (2)若 ，求 的值16、如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点 （1）求证：FG/平面PBD； （2）求证：BDFG17、已知椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，直线 与直线 垂直，垂足为 ，且点 是线段 的中点. （1）求椭圆 的方程； （2）若 ， 分别为椭圆 的左，右顶点， 是椭圆 上位于第一象限的一点 ， 直线 与直线 交于点 ，且 ，求点 的坐标. 18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L （1）试用x，y表示L； （2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？ 19、已知函数 ， （1）求函数 的单调区间； （2）当 时，判断函数 有几个零点，并证明你的结论； （3）设函数 ，若函数 在 为增函数，求实数 的取值范围20、已知数列 中， ，前 项和为 ，若对任意的 ，均有 （ 是常数，且 ）成立，则称数列 为“ 数列”. （1）若数列 为“ 数列”，求数列 的前 项和 ； （2）若数列 为“ 数列”，且 为整数，试问：是否存在数列 ，使得 对任意 ， 成立？如果存在，求出这样数列 的 的所有可能值，如果不存在，请说明理由。扬州中学高三数学试卷 2018.5.18 附加题 21A选修4-1：几何证明选讲 如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，DE交AB于点F求证：PDFPOC21B选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵 ，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量21C选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 与曲线 的交点P的直角坐标。21D选修4-5：不等式选讲 设a，b，c，d都是正数，且 求证： 22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是 ，乙班三名同学答对的概率分别是 ，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响 （1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A，求事件A发生的概率； （2）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望23、已知函数 ，设 为 的导数， （1）求 ， ； （2）猜想 的表达式，并证明你的结论 扬州中学高三数学试卷参考答案 2018.5.18 1.1 ； 2. 4； 3.89； 4.100； 5. 1011； 6. y3x； 7. 1； 8. ； 9.1； 10. 20； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 14.解：因为 ，所以 ，令 ，则 当 且 ，即 或 时取等号； 另一方面， 当 时取等号所以 15.解：(1)由题意得 又因为 ，所以 ，解得 或 7分 (2)在 中，由余弦定理得 又 ， ，代入整理得 ，解得 ， ， 于是 即 为等边三角形， 14分 16证明：（）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点， ， 3分 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 7分 （II）因为菱形ABCD，所以 ，又PA面ABCD， 平面 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 平面 ，BDFG 14分 17. 解（1） （过程略） 6分 （2）方法1：“点参” 设 ，则直线 的方程为 ，所以 所以 8分 由 在椭圆上得 ，所以 10分 所以 ，解得 或 （舍），所以 14分 方法2：“ 参” 设直线 的方程为 ，由 得 因为 ，所以 ，所以 10分 又 ，所以 ， 所以 ，解得 ，故 ，所以 14分 18.解：（1）水平方向每根支条长为 cm，竖直方向每根支条长为 cm，菱形的一条边长为 cm 所以L = cm 6分 （2）由题意得 ，即 ，由 得 8分 所以 令 ，其导函数 ，（ ）， 故 在 上单调递减，故 10分 所以 ，其中定义域 12分 求导得 ，所以 在 上为增函数， 故当 ，即 时L有最小值 答：做这样一个窗芯至少需要 cm长的条形木料 16分 19.解：（1） ， 极小值 极大值所以单调增区间 ，单调减区间为 、 4分 （2）函数 有2个零点。证明如下： 5分 因为 时，所以 ， 由 ， ，且 在 上单调递增且连续 得 在 上仅有一个零点， 7分由上面可得 时， ，即 ，故 时， ， 所以 ， 由 得 ，平方得 ，所以 由 ， ，且 在 上单调递增且连续得 在 上仅有一个零点， 综上得：函数 有2个零点 10分 （3）记函数 ，下面考察 的符号 求导得 当 时 恒成立 当 时， ， 从而 在 上恒成立，故 在 上单调递减 ， ，又因为 在 上连续， 所以由函数的零点存在性定理得 惟一的 ，使 12分 因为 在 上增且连续，所以 在 ， 上恒成立 当 时， 在 上恒成立，即 在 上恒成立 记 ，则 ， 当 变化时， ， 变化情况如下表： 极小值 故 ，即 当 时， ，当 时， 在 上恒成立 综合（1）（2）知， 实数 的取值范围是 16分 20. （1）因为数列 为“ 数列”，所以 ，故 两式相减得 在 中令 ，则可得 ，故 所以 ，所以数列 为等比数列， 所以 ，所以 6分 （2）由题意得 ，故 ， 两式相减得 8分 所以，当 时， 又因为 所以 所以 所以当 时，数列 是常数列， 11分 所以 12分 所以 因为 所以 在 中令 ，则可得 ， 所以 又 时 且 为整数 所以可解得 16分附加题答案 2018.5.18 21.A选修4-1：几何证明选讲 证明：AE=AC，CDE=AOC，又CDE=P+PDF，AOC=P+OCP， 从而PDF=OCP在PDF与POC中，P=P，PDF=OCP，故PDFPOC B选修4-2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为 ， 令f（）=0，解得1=1，2=2， 4分 将1=1代入二元一次方程组 解得x=0， 所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为 ； 同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为 10分 C选修4-4：坐标系与参数方程 解：因为直线 的极坐标方程为 ，所以直线 的普通方程为 ， 又因为曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 所以曲线 的直角坐标方程为 ， 联立解方程组得 或 根据 的范围应舍去 ,故 点的直角坐标为 10分 注：多一解扣2分 D选修4-5：不等式选讲 证明：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）（a2c2+2abcd+b2d2） =（adbc）20， （a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数， ac+bd0， 同理 ad+bc0，xy 22. 解：（1） 4分 （2）随机变量X的取值为0，10，20，30. 所以期望 10分 23. 解：（1） ，其中 ， 1分 ，其中 ， 3分 （2）猜想 ， 4分 下面用数学归纳法证明： 当 时， 成立， 假设 时，猜想成立 即 当 时， 当 时，猜想成立 由 对 成立 10分20 20