20172018高二数学下学期期末试卷理科有答案四川棠湖中学.docx

棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试 理科数学 第I卷 选择题（60分） 一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知 是虚数单位，且 ，则 A. B. C. D. 2.下列不等式成立的有 ① ，② ，③ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知 ， 则 等于 A． B． C． D． 4．已知随机变量ξ服从正态分布 N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则 P（ξ≤0）=
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 5．一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02．设发病 的牛的头数为ξ，则 Dξ等于 A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804 6.将小亮等 名同学全部安排到 、 、 、 四个社区参加社区活动，每个社区至少安排一人，则小亮在 社区的安排方案共有 A． 种 B． 种 C. 种 D． 种 7.某中学有高中生 人，初中生 人，高中生中男生、女生人数之比为 ，初中生中男生、女生人数之比为 ，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从初中生中抽取男生 人，则从高中生中抽取的女生人数是 A． B． C. D． 8.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是 A． B． C. D．
9.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件 为“取出的两个球颜色不同”，事件 为“取出一个黄球，一个绿球”，则 A． B． C． D． 10.设函数 ， .若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围 A． B． C. D． 11.已知函数 ，在区间 内任取两个实数 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C. D． 12．已知抛物线 上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为 ，F是抛物线的焦点， 是坐标原点，则 的内切圆半径为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.二项式 展开式中含 项的系数是 ． 14.已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，则 ． 15．在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x +y -4 =0相切，则圆C面积的最小值为 . 16.已知函数 的定义域是 ，关于函数 给出下列命题： ①对于任意 ，函数 是 上的减函数；②对于任意 ，函数 存在最小值； ③存在 ，使得对于任意的 ，都有 成立； ④存在 ，使得函数 有两个零点． 其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 三．解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 已知函数 ，且当 时，函数 取得极值为 . （1）求 的解析式； （2）若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围.

18.（本小题满分12分） 世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表： 组别 [0,20） [20,40） [40,60） [60,80） [80,100） 频数 2 250 450 290 8 （1）求所得样本的中位数（精确到百元）； （2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布 ，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上； （3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）错误！未找到引用源。范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与数学期望. 附:若 错误！未找到引用源。，则 ，

19.（本小题满分12分） 如图所示，三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 上一点， ， ， 分别为 ， 的中点. （1）证明： ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值.

20.（本小题满分12分） 已知中心在原点 ，焦点在 轴上的椭圆 过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 ，求直线 的斜率 的取值范围；
21.（本小题满分12分） 已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围； （3）当 时，证明： ．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分） [选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中， 是过点 且倾斜角为 的直线.以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的参数方程与曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于两点 ， ，求 .
23.（本小题满分10分） [选修4-5：不等式选讲] 已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）当 时，不等式 对任意 恒成立，求实数 的取 值范围.

棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试 理科数学参考答案 一．选择题 1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D 二．填空题 13. 210 14. 15. 16. ②④ 三．解答题 17.解：（1） ， 由题意得， ，即 ，解得 ， ∴ . （2）由 有两个不同的实数解， 得 在 上有两个不同的实数解， 设 ， 由 ， 由 ，得 或 ， 当 时， ，则 在 上递增， 当 时， ，则 在 上递减， 由题意得 ，即 ，解得 ， 18.解：（1）设样本的中位数为 ， 则 错误！未找到引用源。， 解得 ，所得样本中位数为错误！未找到引用源。（百元）. 估计有805位同学旅游费用支出在8100元以上. （3） 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ∴错误！未找到引用源。的分布列为 0 1 2 3
错误！未找到引用源。 19. 解　设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)． 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， 又AN＝14AB，M、S分别为PB、BC的中点， ∴N(12，0,0)，M(1,0，12)，S(1，12，0)， (1)CM→＝(1，－1，12)，SN→＝(－12，－12，0)， ∴CM→•SN→＝(1，－1，12)•(－12，－12，0)＝0， 因此CM⊥SN. (2) NC→＝(－12，1,0)，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， ∴CM→•a＝0，NC→•a＝0. 则x－y＋12z＝0，－12x＋y＝0.∴x＝2y，z＝－2y.取y＝1，则得 ＝(2,1，－2)． 平面NBC的法向量 因为平面NBC与平面C MN所成角是锐二面角；所以平面NBC与平面CMN所成角的余弦值为 .. 20.解：（1）设椭圆 的方程为： ， 由已知： 得： ， ， 所以，椭圆 的方程为： . （2）由题意，直线斜率存在，故设直线 的方程为 由 得 由 即有 即 有 解得 综上：实数 的取值范围为

21.解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－x－2x＋2， y′＝aax＋1－4(x＋2)2＝ax2＋4a－4(ax＋1)(x＋2)2， 当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数； 当0<a<1时，由y′>0得x>21a－1，所以函数y＝f(x)－g(x )在 上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在 上是单调递减函数； (2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数． 所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝ 1， 即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立， 当0<a<1时，函数y＝f(x)－g(x)是 上的减函数，存在 ，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立， 综上，实数a的取值范围是[1，＋∞) (3)当a＝1时，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立， 即ln(x＋1)>2xx＋2 ，所以 ， 即12k＋1<12[ln(k＋1)－lnk]． 所以13<12(ln2－ln1)，15<12(ln3－ln2)，17<12(ln4－ln3)，...，12n＋1<12[ln(n＋1)－lnn]． 将上面各式相加得到，13＋15＋17＋…＋12n＋1<12[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝12ln(n＋1)＝12f(n)． ∴原不等式成立．
22.解：（1）直线 的参数方程为 （ 为参数）. 由曲线 的极坐标方程 ，得 ， 把 ， ，代入得曲线 的直角坐标方程为 . （2）把 代入圆 的方程得 ， 化简得 ， 设 ， 两点对应的参数分别为 ， ， 则 ，∴ ， ，则 . 23.解：（1）当 时，由 得： ， 故有 或 或 ， ∴ 或 或 ，∴ 或 ， ∴ 的解集为 . （2）当 时 ，∴ ， 由 得： ，∴ ，∴ 的取值范围为 .

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