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长安一中2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学试题（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 是实数集 ,集合 , ,则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A． B． C． D． 2.下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ） ①在复平面内，复数 对应的点位于第二象限 ②复数 的虚部是-2 ③复数 是纯虚数 ④ A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 3．设 ,则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量a＝(1，－ )，b＝(1，2 )且a⊥b，则 等于( ) A．－1 B．0 C. 12 D. 22 5.在 中，角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是 、 、 ，若 ， ，则 等于（ ） A． B． Ｃ． Ｄ． 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ） A.18 B.24 C.30 D.36 7. 若下框图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是( )
A. B. C. D. 8.若某几何体的三视图(单位： )如图所示，则该几何体的 体积等于( ) A. B. C. D. 9.下列说法中，正确的是（ ） A．命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题 B．命题“存在 ”的否定是：“任意 ” C．命题“ 或 ”为真命题，则命题“ ”和命题“ ”均为真命题 D．“ ”是“函数 是偶函数”的充分不必要条件 10．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)( ， )图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点 ( ) .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. 11.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当 时， ，则函数 的零点个数为( ) A．2 B．3 C.4 D．5 12.定义在 上的函数 满足： 则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬______ 14.已知 ，则 的展开式中的常数项为 . 15.函数 的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 则 得最小值为 . 16．已知函数 若方程 有三个不同的实数根，则 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17. （本小题共12分）设数列 9， （1）求证： 是等比数列； (2)若数列 满足 , 求数列 的前 项和 ； 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ， 为等腰直角三角形， ，且 分别是 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求锐二面角 的余弦值. 19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取 名学生的笔试成绩（被抽取学生的 成绩均不低于 分,且不高于 分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出 、 、 、 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望. 组号 分组 频数 频率 第1组 5 0.050 第2组
第3组 30
第4组 20 0.200 第5组 10 0.100
20.（本小题共12分）已知椭圆 的一个焦点 与抛物线 的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为 ，倾斜角为 的直线 过点 . （Ⅰ）求该椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为 ，问抛物线 上是否存在一点 ，使得 与 关于直线 对称，若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由. 21. （本小题共12分）已知函数 （Ⅰ）求 在点 处的切线方程； （Ⅱ）若存在 ，满足 成立，求 的取值范围； （Ⅲ）当 时， 恒成立，求 的取值范围. 选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4―4：极坐标系与参数方程． 在直角坐标系 中，曲线C1的参数方程为 (t为参数)．曲线C2: ，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P的极坐标为( )． (I)求曲线C2的极坐标方程； (Ⅱ)若C1与C2相交于M、N两点，求 的值. 23．(本小题满分10分)选修4―5：不等式选讲 已知 ． (I)当m=0时，求不等式 的解集； (Ⅱ)对于任意实数 ，不等式 成立，求m的取值范围． 2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学试题（理科）答案 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. CCABB CDBBA BA 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 14. 15. 2 16. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题共12分）解：（1）依题意， ，故 ， 当 ① 又 ② ②－①整理得： ，故 是等比数列， （2）由（1）知，且 ， ， 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）连结 ，∵ 是等腰直角三角形 斜边 的中点，∴ . 又 三棱柱 为直三棱柱， ∴面 面 ， ∴ 面 ， . 设 ，则 . ∴ ，∴ . 又 ，∴ 平面 . （Ⅱ）以 为坐标原点， 分别为 轴建立直角坐标系如图，设 ， 则 ， ， . 由（Ⅰ）知， 平面 ， ∴可取平面 的法向量 . 设平面 的法向量为 ， 由 ∴可取 . 设锐二面角 的大小为 ， 则 . ∴所求锐二面角 的余弦值为 . 19. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得 ，第2组的频率 = ，第2组的频数为 = 人, 第3组的频率为 = , 频率分布直方图如右: （2）因为第3、4、5组共有60名学生, 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组: 人,… 6分 第4组: 人, …7分 第5组: 人, …8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布， ∴ ξ 0 1 2 P ∴分布列是 ∴ 20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ， ∴ ① 又椭圆截抛物线的准线 所得弦长为 ， ∴ 得上交点为 ，∴ ② 由①代入②得 ，解得 或 （舍去）， 从而 ∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为 （Ⅱ）∵ 倾斜角为 的直线 过点 ， ∴ 直线 的方程为 ，即 ， 由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为 ，设 与 关于直线 对称，则得 ，解得 ，即 ， 又 满足 ，故点 在抛物线上.所以抛物线 上存在一点 ，使得 与 关于直线 对称. 21. （本小题共12分） 解：(Ⅰ) 在 处的切线方程为： 即 (Ⅱ) 即 令 时， ， 时， 在 上减，在 上增 又 时， 的最大值在区间端点处取到. 在 上最大值为 ， 故 的取值范围是： < . （Ⅲ）由已知得 时 恒成立，设 由(Ⅱ)知 ，当且仅当 时等号成立， 故 从而当 即 时， ， 为增函数，又 于是当 时， 即 时符合题意。 由 可得 ，从而当 时， 故当 时， ， 为减函数，又 ， 于是当 时， 即 故 ，不符合题意.综上可得 的取值范围为
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