2018高三数学文第一次模拟试题东北三省三校附答案.docx

2018高三数学（文）第一次模拟试题（东北三省三校附答案） 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2018年高三第一次联合模拟考试 文科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2.已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 等于( ) A. B. C. D. 3.在下列向量中，可以把向量 表示出来的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.在区间 上任取一个实数 ，则 的概率是( ) A. B. C. D. 5.抛物线 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C. D. 6.已知 都是实数， ：直线 与圆 相切； ： ，则 是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的 ，则输入的 不可能为( ) A.4，8 B.4，4 C.12，16 D.15，18 8.已知函数 ，则下列说法不正确的是( ) A. 的一个周期为 B. 向左平移 个单位长度后图象关于原点对称 C. 在 上单调递减 D. 的图象关于 对称 9.函数 (其中 )的图象不可能是( ) A B C D 10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( ) A. B. C. D. 11.设双曲线 的两条渐近线与直线 分别交于 两点， 为该双曲线的右焦点，若 ，则该双曲线离心率 的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.已知函数 ， ，若对任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若直线 平面 ，平面 平面 ，则直线 与平面 的位置关系为_____________. 14.若实数 满足不等式组 ，则 的取值范围是_____________. 15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。 甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。 则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个) 16. 中， ， ，则 面积的最大值为_____________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求 . 18.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的 列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为 . (1)根据已知条件完成 列联表，并根据此资料判断是否有 的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？ (2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件 为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不使用手机支付的”，求事件 发生的概率？
列联表 青年 中老年 合计 使用手机支付 60 不使用手机支付 24 合计 100 附： 19.已知圆锥 ， ， 为底面圆的直径， ，点 在底面圆周上，且 ， 在母线 上，且 ， 为 中点， 为弦 中点. (1)求证： 平面 ； (2)求四棱锥 的体积. 20.已知椭圆 的离心率为 ， ， 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上的任意一点， 的面积的最大值为1， 、 为椭圆 上任意两个关于 轴对称的点，直线 与 轴的交点为 ，直线 交椭圆 于另一点 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)求证：直线 过定点. 21.已知函数 ， . (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 在 上的最大值为1，求实数 的取值集合. 22.已知在极坐标系中曲线 的极坐标方程为： ，以极点为坐标原点，以极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线 的参数方程为： ( 为参数)，点 . (1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； (2)设曲线 与曲线 相交于 两点，求 的值. 23.已知函数 . (1)求不等式 的解集； (2)若 对于 恒成立，求实数 的范围.
2018年三省三校一模考试 文科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.C 12.A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 或 14． 15．丙 16． 三、解答题（本大题共70分） 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当 时， 当 时， ，符合上式 所以 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 , 所以 ． 18.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ) 从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为 使用手机支付的人群中的青年的人数为 人， 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为 人，所以 列联表为: 青年 中老年 合计 使用手机 支付 42 18 60 不使用手机 支付 16 24 40 合计 58 42 100 的观测值 ， 故有 的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. (Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量 为5的样本中： 使用手机支付的人有 人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b， 则从这个样本中任选2人有 (1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的 (1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， 故 . 19.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：∵ 平面 ，∴ ， 又∵点 是圆 内弦 的中点， ， 又 平面 （Ⅱ）∵ 平面 ， 为三棱锥 的高， 而 与 等高， ， ∴ 因此，
20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） ， 当M为椭圆C的短轴端点时， 的面积的最大值为1 ， 而 故椭圆C标准方程为： （Ⅱ）设 ，且 ， ， 由题意知 的斜率必存在，设BP： ，代入 得 得 AE斜率必存在，AE： 由对称性易知直线AE过的定点必在 轴上，则当 时，得 即在 的条件下，直线AE过定点（1，0）.
21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ） . 当 时， 在 上单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递减； 当 时， . 时， ， 在 上递减； 时， ， 在 上递增； 时， ， 在 上递减； 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上递减； 在 上递增； 上递减. （Ⅱ）∵函数 在 上的最大值为1. 即对任意 ， 恒成立。 亦即 对任意 恒成立。 变形可得， . 当 时， 即 ，可得 ； 当 时， .则 令 ，则 . 当 时， ，当 时， . 因此， ，∴ . 当 时， .则 令 ，则 . 当 时， ， 因此， ，∴ . 综上， ∴ 的取值集合为 . 22. (本小题满分10分） 解：（Ⅰ） ，当 时，有 当 时，点 在曲线 上， 即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程 ， 故曲线 的直角坐标方程为 即 . 曲线 ： . （Ⅱ）将 代入 得 ， ， 故方程有两个不等实根 分别对应点 ， ，即 = . 23.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ） 等价于 或 或 分别解得 或无解或 综上：不等式的解集为 . （Ⅱ） 当且仅当 即 时 有最小值6， 即 .
2018年三省三校一模考试 文科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.C 12.A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 或 14． 15．丙 16． 三、解答题（本大题共70分） 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当 时， ………4分 当 时， ，符合上式 ………5分 所以 . ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 , ………7分 所以 ． ………12分
18.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ) 从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为 使用手机支付的人群中的青年的人数为 人， ………2分 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为 人，所以 列联表为: 青年 中老年 合计 使用手机 支付 42 18 60 不使用手机 支付 16 24 40 合计 58 42 100 ………4分
的观测值 ………6分 ， ………7分 故有 的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. ………8分 (Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量 为5的样本中： 使用手机支付的人有 人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b， ………9分 则从这个样本中任选2人有 (1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的 (1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， ………11分 故 . ………12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵ 平面 ，∴ ， 又∵点 是圆 内弦 的中点， ， ………3分 又 ………4分 平面 ………5分
（Ⅱ）∵ 平面 ， 为三棱锥 的高， ………7分 而 与 等高， ， ∴ ………10分 因此， ………12分
20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） ， 当M为椭圆C的短轴端点时， 的面积的最大值为1 ， 而 故椭圆C标准方程为： ………3分 （Ⅱ）设 ，且 ， ， 由题意知 的斜率必存在，设BP： ，代入 得 得 ………6分 AE斜率必存在，AE： ………7分 由对称性易知直线AE过的定点必在 轴上，则当 时，得 ………11分 即在 的条件下，直线AE过定点（1，0）. ………12分
21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ） . 当 时， 在 上单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递减； ………2分 当 时， . 时， ， 在 上递减； 时， ， 在 上递增； 时， ， 在 上递减； ………4分 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上递减； 在 上递增； 上递减. ………5分 （Ⅱ）∵函数 在 上的最大值为1. 即对任意 ， 恒成立。 亦即 对任意 恒成立。 变形可得， . 当 时， 即 ，可得 ； ………7分 当 时， .则 令 ，则 . 当 时， ，当 时， . 因此， ，∴ . ………9分 当 时， .则 令 ，则 . 当 时， ， 因此， ，∴ . ………11分 综上， ∴ 的取值集合为 . ………12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号. 22. (本小题满分10分） 解：（Ⅰ） ，当 时，有 当 时，点 在曲线 上， 即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程 ， 故曲线 的直角坐标方程为 即 . ………3分 曲线 ： . ………5分 （Ⅱ）将 代入 得 ， ， ………8分 故方程有两个不等实根 分别对应点 ， ，即 = . ………10分 23.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ） 等价于 或 或 分别解得 或无解或 综上：不等式的解集为 . ………5分 （Ⅱ） 当且仅当 即 时 有最小值6， ………8分 即 . ………10分

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