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期中检测卷 时间：120分钟 满分：120分 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．二次函数y＝x2－2x＋2的图象的顶点坐标是（ ） A．(1，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，3) 2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） 3．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（ ） A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1) 第3题图 第6题图
4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋32ax－a2＝0的一个根，则a的值为（ ） A．－1或4 B．－1或－4 C．1或－4 D．1或4 5．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两根，则x21＋x22的值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．16 6．如图，△ ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 7．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为（ ） A．直线x＝1 B．直线x＝－2 C．直线x＝－1 D．直线x＝－4 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3，0)，B(1，0)，C(－5，y1)，D(5，y2)四点，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定 9．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＞34 B．m＞34且m≠2 C．－12＜m＜2 D.34＜m＜2 10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．一元二次方程2x2－2＝0的解是_________________. 12．如果关于x的二次函数y＝x2－2x＋k的图象与x轴只有一个交点，则k＝______. 13．如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO′＝_________度． 第13题图
14．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______. 15．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1和x2，且(x1－2)(x1－x2)＝0，则k的值是_________. 16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线 形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是_________米． 17．如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝3 0°，AB＝8cm，则CF＝_________cm. 18．直线y＝kx＋b与抛物线y＝14x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为(0，4)[提示：直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2互相垂直，则k1・k2＝_____[提示：两条直线互相垂直，则其斜率之积为-1]． 三、解答题(共66分) 19．(8分)解方程： (1)x2－2x－8＝0; (2)(x－2)(x－5)＝－2.
20．(8分)如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°. (1)画出旋转之后的△AB′C′； (2)求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．
21.(8分)已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0)． (1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是－1，3； (2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解 集是－1＜x＜3； (3)若抛物线的顶点在直线y＝2x上，求此抛物线的解析 式．
22．(10分)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0. (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当Rt△ABC的斜边a＝31，且两直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．
23．(10分)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题： (1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30)； (2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
24．(10分)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE，CD，F为BE的中点，连接AF. (1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF； (2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．
25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0 )，B(0，－4)，C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．
期中检测卷答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 解析：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（－1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a.当x＝－1时，y＝0，即a－b＋c＝0，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，故③错误；∵抛物线开口向下，与x轴的两个交点的坐标为（－1，0），（3，0），∴当－1＜x＜3时，y＞0，故④错误；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确.故选B. 11.x1＝1，x2＝－1 12.1 13.60 14.5 15.－2或－94 16.85 17.23 18.（0，4） 解析：∵直线y＝kx＋b与抛物线y＝14x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴kx＋b＝14x2，化简，得x2－4kx－4b＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.又∵OA⊥OB，∴y1－0x1－0・y2－0x2－0＝y1y2x1x2＝14x21・14x22x1x2＝x1x216＝－4b16＝－1，解 得b＝4，即直线y＝kx＋4，故直线恒过定点（0，4），故答案为（0，4）. 19.解：（1）x1＝－2，x2＝4；（4分） （2）x1＝3，x2＝4.（8分） 20.解：（1）△AB′C′如图所示；（4分） （2）由图可知，AC＝2，所以线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积即为半径为2的圆面积的14，S＝14π・22＝π.（8分） 21.解：（1）－1，3（2分） （2）－1＜x＜3（4分） （3）∵抛物线经过点A（－1，0），∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a.∵－b2a＝－－2a2a＝1，4ac－b24a＝c－a＝－3a－a＝－4a，∴抛物线的顶点坐标是（1，－4a）.（6分）又∵顶点在直线y＝2x上，∴－4a＝2×1＝2，解得a＝－12，∴c＝－3a＝－3×－12＝32 ，∴二次函数的解析式为y＝－12x2＋x＋32. （8分） 22.（1）证明：关于 x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋4k－3＝0，Δ＝（2k＋1）2－4（4k－3）＝4k2－12k＋13＝（2k－3）2＋4>0恒成立，∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；（5分） （2）解：根据勾股定理得b2＋c2＝a2＝31①，∵b＋c＝2k＋1②，bc＝4k－3③，（7分）∴由①②③得（2k＋1）2－2（4k－3）＝31，∴k＝3（k＝－2，舍去），∴b＋c＝7.又∵a＝31，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝31＋7.（10分） 23.解：（1）设蝙蝠形风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知y＝180－10（x－12）＝－10x＋300（12≤x≤30）；（3分） （2）设王大伯获得的利润为W，则W＝（x－10）y＝－10x2＋400x－3000，令W＝840，则－10x2＋400x－3000＝840，解得x1＝16，x2＝24（舍去）.（5分） 答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元；（6分） （3）∵W＝－10x2＋400x－3000＝－10（x－20）2＋1000，a＝－10＜0，∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000.（9分） 答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元.（10分） 24.（1）证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∴∠BAE＋∠DAC＝180°.又∵∠BAE＝90°，∴∠DAC＝90°.∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD.（3分）在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE＝2AF，∴CD＝2AF；（5分） （2）解：当∠BAE≠90°时，（1）的结论仍成立.理由如下：如图，过B作BG∥AF交EA的延长线于G.∵F是BE的中点，BG∥AF，∴BG＝2AF，A E＝AG.（6分 ）∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠GAD＋∠EAD＝180°，∴∠BAC＝∠GAD，∴∠1＝∠2.∵AE＝AD，∴AD＝AG.（8分）在△ABG和△ACD中， ∴△ABG≌△ACD（SAS），∴BG＝CD，∴CD＝2AF.（10分） 25.解：（1）y＝12x2＋x－4；（3分） （2）过点M作MN∥y轴交AB于点N，易求直线AB解析式为y＝－x－4.∵点M的横坐标为m，则M点的坐标为m，12m2＋m－4，N点的坐标为（m，－m－4），（5分）则S＝12×（xB－xA）・NM＝12×4×－m－4－12m2－m＋4＝－m2－4m＝－（m＋2）2＋4（－4<m<0），∴当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（7分） （3）设Q（a，－a），由题意知PQ∥OB，且PQ＝OB，则P（a，－a＋4）或（a，－a－4）.∵P点在抛物线y＝12x2＋x－4上，∴12a2＋a－4＝－a＋4或12a2＋a－4＝－a－4，解得a1＝－2＋25，a2＝－2－25，a3＝－4，a4＝0（不符题意，舍去），（10分）∴满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋25，2－25），（－2－25，2＋25），（－4，4）.（12分）
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