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2018―2019学年第一学期高一期末考试数学试题 命题人：肖 静 审题人：王宏伟 【满分150分，考试时间120分钟】 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．为了解高一年级1200学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为60的样本，则分段间隔为（ ） A．10 B．20 C．40 D．60 3．用秦九韶算法计算多项式 当 的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ） A．5，5 B．4，5 C．4，4 D．5，4 4．如图所示的程序框图中，输出 的值是（ ） A．80 B．100 C．120 D．140 5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 6．已知 ,则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数 为奇函数，且 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A． B． C． D． 9．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.7，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中2次的概率：先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次的概率为（ ） A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 10．设奇函数 在 上为单调递减函数，且 ，则不等式 的解集为 ( ) A． B． C． D． 11．已知函数 ( 且 )，若 ，则 在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 12．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．将十进制数38化为二进制数为 . 14．已知函数 ，若 ，则实数 . 15．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素 ，则函数 ， 是增函数的概率为 . 16．已知函数 若方程 有4个不同的实根 ， ， ， ，且 ，则 ． 三、解答题：本大题共70分 17．(本题满分10分)甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如右图所示 (1)写出甲、乙的中位数和众数； (2)计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀.
18．(本题满分12分) 某地区某农产品近几年的产量统计如表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代码 1 2 3 4 5 6 年产量 （万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （1）根据表中数据，建立 关于 的线性回归方程 ； （2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量． 附： ， . 参考数据: 19．(本题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[120，130）内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分； （2）用分层抽样的方法，在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
20．（本题满分12分)已知函数 ． （1）若 的图象关于直线 对称，求 的值； （2）若 在区间 上的最小值是 ，求 的值.
21．（本题满分12分)已知 是定义在 上的奇函数，且当 时, . （1）求函数 的解析式； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．（12分）已知 满足 （1）讨论 的奇偶性； （2）当 为奇函数时，若方程 在 时有实根，求实数 的取值范围. 2018―2019学年第一学期高一期末考试数学试题答案 1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B 9.D 10.A 11.B 12.C 13. 14. 15. 16. 17. 解：（1）甲的中位数为 ，众数为20；乙的中位数为 ，众数为23. （2） ， ， ， ， 由于 ，且 ，所以甲更为优秀. 18.解（1）由题意可知： ， ， ， ，所以 ∴ 关于 的线性回归方程为 . （2）由（1)可得，当年份为2019年时，年份代码 ，此时 ，所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨. 19.解（1）分数在[120，130）内的频率为1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=0.3． （直方图略） （2）平均分为：95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121． （3）由题意，[110，120）分数段的人数为：60×0.15=9人，[120，130）分数段的人数为：60×0.3=18人． ∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，抽样比 ∴需在[110，120）分数段内抽取 人，并分别记为m，n； 在[120，130）分数段内抽取 人并分别记为a，b，c，d； 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A， 则基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b）， （n，c），（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共15种． 事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a）， （n，b），（n，c），（n，d）共9种．∴ 20．（ ）法一 因为 ， 所以， 的图象的对称轴为直线 ．由 ，解得 ， 法二 因为函数 的图象关于 对称，所以 成立，即 ，解得 ． （ ）函数 的图象的对称轴为直线 ． ①当 ，即 时， 因为 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 在区间 上的最小值为 ， 令 ，此方程无解； ②当 ，即 时，因为 在区间 上单调递减，所以在区间 上的最小值为 ， 令 ，解得 ． ③当 ，即 时，因为 在区间 上单调递增，所以在区间 上的最小值为 ， 令 ，解得 ，不成立. 综上， ． 21（1） （2）当 时， ，则 在 上单调递减，又 为 上的奇函数， 在 上单调递减，若 在 上恒成立 则 ， 在 上恒成立 设 ，则 ，此时关于 的一元二次不等式 在 时恒成立； 设 ，由 得 ，所以 的取值范围为 。 （第二问采用分离参数 ， ，也可得 ） 22. （1）由 ，可得 ， 当 时， ，此时 为奇函数 当 ， ，此时 为偶函数 当 时， 为非奇非偶函数。 （2）由题知， ，此时 ，因为方程 在 时有实根，即 ，即 在 时有解。 令 ， ，设函数 ， ，只需求函数 的值域。 ， ，当 时，取得最小值 【或者 】
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