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第四讲 分式的概念、性质及运算
分式涉及分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简朴的分式方程等重要内容．
从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增长了难点，体现在：解分式问题总是在分式故意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活解决．
分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰本地通分，常用通分的策略与技巧有：
1．化整为零，分组通分；
2，步步为营，分步通分；
3．减轻承担，先约分再通分；
4．裂项相消后通分等
例题求解
【例1】 要使分式故意义，则的取值范围是 ．
(“希望杯”邀请赛试题)
思绪点拨 当分式的分母不为零时，分式故意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．
注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．
学习分式时，应注意：
(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；
(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；
（3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．
【例2】 已知，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
(江苏省竞赛题)
思绪点拨 对等式右边通分，比较分子的相应项系数求出A、B的值．
【例3】计算下列各式：
(1)；
（2）； ( “五羊杯”竞赛题)
（3） (江西省赣州市竞赛题)
（4）
(安徽省马鞍山市竞赛题)
思绪点拨 因各分式复杂，故须观测各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子．
【例4】 解下列分式方程(组)：
(1)； (“五羊杯”竞赛题)
(2) (“希望杯”邀请赛题)
思绪点拨 若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．
【例5】 (1)n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．
(北京市竞赛题)
(2)计算：
(上海市“宇振杯”竞赛题)
思绪点拔 (1)由于n3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考察一般情形，把数值计算转化为分式的运算．
学力训练
1．（1）要使分式没故意义，则a的值为 ．
（2）若和互为相反数，则的值为
． (岳阳市中考题)
2．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为 ．
3．已知与的和等于，则= ，＝ ．
(山东省竞赛题)
4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱所有用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题)
5．已知式子的值为0，则x的值为( )
A．±1 B．－l C．8 D．－1或8
(江苏省竞赛题)
6．化简的结果是( )
A． B． C． D．
(大连市“育英杯”竞赛题)
7．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有( )
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
(江苏省竞赛题)
8．若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则的值是( )
A．正数 B．负数 C．零 D．正数或负数
(“希望杯”邀请赛试题)
9．计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟，若每分钟速度增长0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题)
(2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6
元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均
价格更低些?说明理由．
(福州市中考题)
ll.若x+y+z=3a(a≠O)，则的值为 ．
12．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是 ．
(湖北省选拔赛试题)
13．方程4x2一2xy－12x+5y+11=O有 组正整数解．
( “五羊杯”竞赛题)
l4．已知是正整数，则正整数a= ．
( “希望杯”邀请赛试题)
15．设a、b、c均为正数,若，则a、b、c三个数的大小关系是( )
A．c<a< b B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a
16．已知，则为( )
A．－1 B．1 C． 2 D．不能拟定
(江苏省竞赛题)
17．分式可取的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．不存在
18．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c=0，则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．不能拟定
19．解下列方程(组)：
（1）
（2） （太原市竞赛题）
20．(1)某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求的值． (江苏省竞赛题)
（2）已知A＝，B=，试比较A与B的大小．
(南京市竞赛题)
21．已知正整数n大于30，且使得4n一1整除2023n，求n的值．
(第14届“五羊杯”邀请赛试题)
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