2023年贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座第四讲分式的概念性质及运算人教新课标版.doc

第四讲 分式的概念、性质及运算
分式涉及分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简朴的分式方程等重要内容．
从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增长了难点，体现在：解分式问题总是在分式故意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活解决．
分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰本地通分，常用通分的策略与技巧有：
1．化整为零，分组通分；
2，步步为营，分步通分；
3．减轻承担，先约分再通分；
4．裂项相消后通分等
例题求解
【例1】 要使分式故意义，则的取值范围是 ．

(“希望杯”邀请赛试题)
思绪点拨 当分式的分母不为零时，分式故意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．
注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．
学习分式时，应注意：
(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；
(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；
（3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．
【例2】 已知，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
(江苏省竞赛题)
思绪点拨 对等式右边通分，比较分子的相应项系数求出A、B的值．
【例3】计算下列各式：
(1)；
（2）； ( “五羊杯”竞赛题)
（3） (江西省赣州市竞赛题)
（4）
(安徽省马鞍山市竞赛题)
思绪点拨 因各分式复杂，故须观测各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子．
【例4】 解下列分式方程(组)：
(1)； (“五羊杯”竞赛题)
(2) (“希望杯”邀请赛题)
思绪点拨 若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．
【例5】 (1)n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．
(北京市竞赛题)
(2)计算：
(上海市宇振杯”竞赛题)
思绪点拔 (1)由于n3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考察一般情形，把数值计算转化为分式的运算．
学力训练
1．（1）要使分式没故意义，则a的值为 ．
（2）若和互为相反数，则的值为
． (岳阳市中考题)
2．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为 ．
3．已知与的和等于，则= ，＝ ．
(山东省竞赛题)
4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱所有用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题)
5．已知式子的值为0，则x的值为( )
A．±1 B．－l C．8 D．－1或8
(江苏省竞赛题)
6．化简的结果是( )
A． B． C． D．
(大连市“育英杯”竞赛题)
7．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有( )
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
(江苏省竞赛题)
8．若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则的值是( )
A．正数 B．负数 C．零 D．正数或负数
(“希望杯”邀请赛试题)
9．计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟，若每分钟速度增长0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题)
(2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6
元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均
价格更低些?说明理由．
(福州市中考题)
ll.若x+y+z=3a(a≠O)，则的值为 ．
12．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是 ．
(湖北省选拔赛试题)
13．方程4x2一2xy－12x+5y+11=O有 组正整数解．
( “五羊杯”竞赛题)
l4．已知是正整数，则正整数a= ．
( “希望杯”邀请赛试题)
15．设a、b、c均为正数,若，则a、b、c三个数的大小关系是( )
A．ca+b+c=0，则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．不能拟定
19．解下列方程(组)：
（1）
（2） （太原市竞赛题）
20．(1)某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求的值． (江苏省竞赛题)
（2）已知A＝，B=，试比较A与B的大小．
(南京市竞赛题)
21．已知正整数n大于30，且使得4n一1整除2023n，求n的值．
(第14届“五羊杯”邀请赛试题)