题库-高中数学必修《函数》题库全集.doc

1. 函数的概念
1. 著名的函数，则=__________
2. 如果，则＝
3. （其中），是的小数点后的第位数字，，则 ___________
4. 设，给出的4个图形中能表示集合到集合的映射的是
5. 集合，下列对应不表示从P到Q的函数是（ ）

6. 设,从到的两个函数分别为,,
若对于中的任意一个,都有,则集合中元素的个数为 1个或2个

2. 函数的定义域和值域
1. 右图为函数的图象，则该函数的定义域是
值域是 ________
2. 若函数的定义域是，则函数
3. 若函数的定义域为R，则
4. 已知一个函数的解析式为y=x,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为
5. 函数的值域为 ；函数值域为
函数的值域为 ；
6. 已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表：

1
2
3

1
2
3

2
3
1

3
2
1
则方程的解为
7. 下表表示的函数，则函数的值域是 ．

2
3
4
5
8. 若函数的定义域是[，]，则函数的定义域为____________
9. 设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
10. 函数，其中表示不超过的最大整数，如
,如果，那么的值域为 ____
11. 函数的值域为，则函数的值域为__________
12. 函数的定义域是___________
变式：函数 的定义域为
13. 函数
（1）若的定义域为[－2，1]，求实数a的值.
（2）若的定义域为，求实数的取值范围.
14. 已知函数,则函数的解析式为___________
15. 已知是一次函数, 且,则的表达式为____________
16. 若函数的定义域是[-2,4]，则函数的定义域_______
17. 函数的定义域为
18. 函数，,的值域是 ___
19. 函数f：{1，}→{1，}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个
20. 如图，函数f(x) 的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值等于________．

21. 已知函数定义域是，值域是，则的值为_____
22. (2010年济南市高三模拟考试)函数y＝·ax(a>1)的值域为_______

3. 函数的奇偶性
1. 定义在R上的两个函数中，为偶函数，为奇函数，，则____________
变式：定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为______
结论：任意一个定义在R上的函数均可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和
教材P52 7 已知是一个定义在上的函数，求证：
（i）是偶函数；
（ii）是奇函数.
2. 函数是定义在上的偶函数，则_________________
3. 设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则
=______
4. 已知函数f(x)=为奇函数，则m的值等于_____
变式：函数为奇函数，则实数的取值集合为_____
5. 函数，函数，则F(x)= 的奇偶性为 函数.
思考：和函数与积函数的奇偶性有何规律？
6. 函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x，则函数g(x)的解析式为________
变式1：已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当
x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时f(x)的解析式．
变式2：(2010年山东青岛质检) 已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对
应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
变式3：已知函数f(x)＝.
(1) 求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；
(2) 若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．
7. 下列说法中，正确命题的序号为______________
（1）定义在R上的函数，若，则函数是偶函数
（2）定义在R上的函数，若，则函数不是偶函数
（3）定义在R上的函数，若，则函数不是奇函数
8. 设是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则_______
9. 已知 f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=ex-1(其中e为自然对数的底数)，则f(ln)=________
10. 设偶函数f(x)满足,则
11. 已知定义在上的函数f(x)在区间（8,+∞）上为减函数，且函数为偶函数，则的大小关系为____________
12. 函数为奇函数，则的增区间为　　　　　　　
13. 上的奇函数和偶函数满足
若则
14. 已知函数,则＝ ．4
15. 函数为奇函数的充要条件是a = ．- 1
16. 已知函数是偶函数，则常数的值为

4. 函数奇偶性与单调性的关系
1. 已知函数是定义在上的偶函数，而且在上是增函数，且
满足不等式，则实数的取值范围为__________
2. 若f(x),g(x)均为奇函数，在
（0，+∞）上有最大值5，则在上，F(x)的最值情况为_________
3. 设奇函数的定义域为,当时的图象如右图，不等式的解集用区间表示为
4. 设奇函数在上为增函数，且则不等式的解集为___________
5. 函数是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b使得成立，则___ _____0（填>、=、<）
6. 下列说法中：
① 若（其中）是偶函数，则实数；
② 既是奇函数又是偶函数；
③ 已知 是定义在上的奇函数，若当时，,则当时，
； 其中正确说法的序号是 ____（填写正确命题的序号）
7. 定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是
8. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是

5. 函数的单调性
1. 函数的单调递增区间是 ______ .
2. 设函数，其中常数.是否存在正的常数，使在区间上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.（不存在）
3.
4. 已知函数
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）在区间是增函数，求实数的取值范围．
5. 下列说法中，正确命题的序号为_________________
（1）若定义在R上的函数满足，则函数是R上的单调增函数
（2）若定义在R上的函数满足，则函数在R上不是单调减函数
（3）若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数
（4）若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数
6. 若在区间上是单调增函数，求a的取值范围为________
7. 函数，定义域为，以下命题正确的是（写出命题的序号）______
① 若，则是上的偶函数；
② 若对于，都有，则是上的奇函数；[来源:
③ 若函数在上具有单调性且则是上的递减函数；
④ 若，则是上的递增函数；
8. 设,,已知函数.
(Ⅰ) 当时,讨论函数的单调性(直接写结论);
(Ⅱ) 当时,(i)证明;
(ii)若,求的取值范围.
解：（Ⅰ）由，得
当时，分别在上是增函数； ……………2分
当时，分别在上是减函数； ……………2分
（Ⅱ）（i）∵， …………2分
∴，∴ …………1分
（ii）∵
∴由（i）可知，， ……………2分
①当时，，H=G=a，的取值范围为. ……………2分
②当时，∵，∴
由（Ⅰ）可知，在上是增函数，∴的取值范围为 …2分
③当时，∵，∴
由（Ⅰ）可知，在上是减函数，∴的取值范围为 …2分
综上，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为。 …………1分
9. 函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，
则称函数在上为非减函数. 设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：
①；②；③，则= ．

6. 分段函数
1.（分段函数的单调性）函数，在定义域R上单调递增，则a的取值范围是
2. 已知函数，若函数在R上恒为增函数．
则实数a的取值范围为_____________
3. 设则的值为
4. 已知，若，则的值是
5. 设,则不等式的解集为
6. 已知函数，
（1）求函数的解析式；（2）求函数的最小值
7. 定义“符号函数”= sgnx = 则不等式的解集是 _
8. 已知函数，若实数满足，则的值为
9. 作出下列函数的图像
（1） （2） （3）
（4）（其中表示不超过的最大整数）
10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为_____
11. 已知实数,函数，若，则实数的
值为 ．

开放题：
1. 2002年华东师范大学自主招生试题
一架飞机从首都机场飞到上海浦东机场，在浦东机场上空盘旋好几圈后着陆，试画出从起飞到着陆这段时间飞机与首都机场的距离的示意图.
2. 古诗词中的数学意境：“离离原上草”的数学模型
白居易《赋得古原草送别》：“离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生。”请构造“一岁一枯荣”的函数模型。

7. 含绝对值的函数问题
1. 设函数，若对于任意，恒成
立，则实数的取值范围是 ______
2. 已知函数在区间上是减函数，那么m的取值范围是_______
3. 讨论关于的方程解的个数．
4. 设为实数，函数，R.
（1）当时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；
（2）试讨论的奇偶性；
（3）当时，求的最小值.
5. 已知，则的解集是 图像研究
6. 解方程：
（1）方程有两解，则实数的取值范围是_____________；
（2）方程有无穷多个解，则实数的取值范围是_____________；
7. 解不等式：（1）；（2）
（1）不等式解集为，则实数的取值范围是_____________；
（2）不等式解集为，则实数的取值范围是_____________；
（3）不等式有解，则实数的取值范围是_____________；
探究1：如何解方程
探究2：如何解不等式

8. 二次函数
1. 设的定义域为，对任意
（1）求函数的最小值的解析式
（2）求函数的最大值的解析式
2. 已知二次函数满足且．
（1）求的解析式；
（2） 当时，不等式：恒成立，求实数的范围．
（3）设，求的最大值，并求的最值.
3. 已知二次函数（是常数，且）满足条件：，方
程＝有两个相等的实根
（1）求的解析式；
（2） 问是否存在实数，，使的定义域和值域分别为和，
如果存在，求出，的值，如果不存在，说明理由．
变式：是定义在R上的奇函数，且当时，f(x)=2x－x2；
（1）求x<0时，f(x)的解析式；
（2）问是否存在这样的正数a,b,当的值域为[若存在，求出所有的a,b值；若不存在，请说明理由．
4. 函数的定义域为，值域为，的取值范围 __
变式：已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
5. 已知函数.
（1）若是偶函数，求的值；
（2）设，，且，试比较与的大小；
（3）是否存在实数，使得函数在上的最小值为，若存在求出的值，若不存在，说明理由.
6. 函数在上为减函数，实数的范围为 ____
7. 二次函数对任意的实数，有成立，且为偶函数．
（1）证明：实数>0；
（2）求实数a与b之间的关系；
（3）定义区间的长度为，问是否存在常数，使得函数在区间的值域为，且的长度为？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
8. 设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是、，集合.
（1）若，且，求和的值；
（2）若，且，记，求的最小值.
9. 对于函数,若在定义域内存在实数,满足，则称为“局部奇函数”
（I）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，
并说明理由
（II）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围
（III）若为定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取
值范围
10. 已知函数在区间上的最大值为4，则的值为
11. 关于方程在（-1,1）内恰有一个实根，则k的取值范围是___ _
12. 已知函数
（1）若且函数的值域为,求的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当时, 是单调函数, 求实数k的取值
范围;
（3）设, 且为偶函数, 判断＋能否大于零?请说明理由
13. 已知函数，在区间上有最大值5，最小值2
若上单调，则m的取值范围为____________
14. 设是方程的两实根，当实数m为 时，有最小值为 ．
15. 函数在区间上没有正的函数值，的取值范围是
16. 当如何取值时，函数存在零点，并求零点。
17. 设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
18. 已知，，若同时满足条件：① ，或；②( -∞,-4), ，则m的取值范围是_______。
19. 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
（1）若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；
（2）设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.
变式：已知函数
(1) 若函数在区间上是单调的，求实数的取值范围；
(2) 关于的不等式的解集为（其中为整数，且），试求的值．
20. (2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________.
21. (2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|
(1) 若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；
(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出步骤)不等式h(x)≥1的解集．
22. (2009年高考江西卷改编)设函数f(x)＝(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为__________．
23. 设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：① c＝0时，f(x)是奇函数；② b＝0，
c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③ f(x)的图象关于(0，c)对称；④ 方程f(x)＝0至多
有两个实根．其中正确的命题是__________．
24. (2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间
[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________． ① [3,4] ② [2,4] ③ [2,3] ④ [1,4]
25. 设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有实根．
(1) 证明：－3<c≤－1且b≥0；
(2) 若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．
26. (2010年安徽合肥模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：
(1) a>0且－3<<－；
(2) 函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3) 设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|<.
27. 已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，
方程f(x)＝x的两实根为α、β.
(1) 若|α－β|＝1，求a、b的关系式；
(2) 若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；
(3) 若α<1<β<2，求证：(x1＋1)(x2＋1)<7.
28. 已知函数,设
,,表示中的较大值,表示中的较小值,记的最小值为,的最大值为,则= ．- 4
29. 设，且，则的最小值为 ．
30. 已知函数f(x)=x2+ax+b的值域为[4,+¥),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为
31. 对于区间，若函数同时满足下列两个条件：①函数在上是单调函数；②函数当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值区间”．
（1）写出函数的保值区间；
（2）函数是否存在保值区间？若存在，求出相应的实数的取值范围；
若不存在，试说明理由．
解：（1）
（2）由题易得：或者
（i）当时，此时，则可将视为方程的两个非负实数根，则；
（ii）当时，
可将问题转化为方程有两个非负实数解
数形结合可得，综上：
变式1：若函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出该区间，若不存在，请说明理由. 先进行局部缩小 不存在；不成立 不存在
变式2：若函数若存在实数，使得函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围.
32. 已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．
（1）求、的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
解：（1），
因为，所以在区间上是增函数，故，解得．
（2）由已知可得，
所以可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是．
（3）原方程可化为，
令，则，有两个不同的实数解，，其中，，或，．
记，则 ①
或 ②
解不等组①，得，而不等式组②无实数解．所以实数的取值范围是．
33. 已知函数．
（1）求证：函数y = f(x) 的图象恒过两个定点．
（2）若y = f(x)在（1，3）内有零点，求a的取值范围．
（1）设，即．
令x2 = 4，得x = -2或2．
则函数y = f(x) 的图象恒过定点（-2，7），（2，-1）．
（2）∵f(-2) = 7 > 0，f(2) = -1 < 0，
∴y = f(x)在（-2，2）内有零点．
1）若a > 0，抛物线开口向上，y = f(x)在（1，3）内有零点，
当且仅当f(1) > 0，或f(3) > 0．
则， 或．
∴0 <，或．
2）若a < 0，抛物线开口向下，y = f(x)在（1，3）内有零点，
当且仅当f(1) > 0．即．
∴，结合a < 0，得a < 0．
3）若a = 0，y = f(x)的零点为，在（1，3）内．
综合1），2），3），得a的取值范围为（-∞，）∪（，+∞）．
34. 已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得的线段长度为4，求二次函数的解析式.
拓展：若将图像的顶点坐标改为，其他条件不变，二次函数的开口方向和大小是否会发生变化？并说明理由.
变式1：已知若则实数的值为____________ -8
变式2：已知且则 2013
由对称轴可得
变式3：已知函数若存在使得，则实数的取值范围是__________ 由对称性可转化为在上有解.
35. 函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________ 9
优化：直接转化为，图像的左右平移不影响水平弦长的大小，直接得结论
变式：函数的值域为，若关于的方程的解集为,求实数的值. 6
36. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数.
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；不是，不符合条件1
（3）若函数是否为闭函数，求实数的取值范围.
37. 设是实数，函数
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足不等式的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）.
38. 已知函数，若的定义域和值域均为，实数的值为________ 2
39. 已知函数在区间上的最大值为4，则实数的值为___ -2
9. 图像的平移与变换
1. 函数在区间上是增函数，那么的单调递增区间是
2. 若函数是偶函数，则的对称轴方程为
3. 已知的图象恒过点，则的图象恒过 ．
4. 已知为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则 ___
5. 已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数若
方程f(x)＝m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 .
6. 为偶函数，且在区间上为增函数，且＿

10. 双最值问题
（1）若定义运算则函数的值域是
变式1：定义运算则函数的值域是
变式2：（09宁夏）用表示三个数中的最小值，设
，则的最大值为____________

11. 函数型不等式问题
1. 函数，若，实数的取值范围为________
2.

12. 复合函数问题
1. 已知，方程的解集为_____________
变式：设函数，函数的零点个数为__________2
2. 函数，. 若为单元素集，试求的值.
变式1：函数，. 若为单元素集，试求
的值.
变式2：（2008年上海交大自主招生）已知函数，且
没有实数根，是否有实数根？并证明你的结论.
变式3：（2009年上海交大自主招生）定义函数的不动点，当时，我们称为
函数的不动点，若有唯一不动点，则也有唯一不动点.
变式4：对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则
称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，且，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？
若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.
解：（Ⅰ）若，则显然成立；若，设，
，，故.
（Ⅱ）有实根，.又，所以，
即的左边有因式，
从而有.
，要么没有实根，要么实根是方程的根.
若没有实根，则；
若有实根且实根是方程的根，则由方，
得，代入，有.由此解得，
再代入得，由此，故a的取值范围是.
（Ⅲ）由题意：x0是函数的稳定点, 则，
① 若，是R上的单调增函数，
则，所以，矛盾.
② 若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾 故， 所以x0是函数的不动点.
3. 设定义在上的函数，若关于的方程有3个不同的实数解，则
变式：(2010年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为R的函数f(x)＝若关
于x的函数h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋
x42＋x52等于________．
4. 已知函数的图象如下所示：

给出下列四个命题：
① 方程有且仅有3个根 ② 方程有且仅有4个根
③ 方程有且仅有5个根 ④ 方程有且仅有6个根
其中正确的命题的序号是 ．

13. 函数的表示方法
1. 已知()是一次函数，且满足，则=
2. 已知，则= .
3. 一天清晨，某同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正
常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反
映出该同学这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是_____________

时
0
6
12
18
24
37
体温(℃)

37
体温(℃)
时
0
6
12
18
24

37
时
0
6
12
18
24
体温(℃)

37
时
0
6
12
18
24
体温(℃)

A． B． C． D．
4. 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b<a)， 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进． 则该同学离起点的距离s与时间t的函数关系的图象大致为（ ）．
t
s
O
D
t
s
O
C
t
s
O
B
t
s
O
A

5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次
经过B、C、D再回到A，设表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积.
（1）求f(x)的表达式；
（2）求g(x)的表达式并作出g(x)的简图.
6. 已知函数在（-3，-2）上是增函数，则二次函数的图象大致为_____
A
x
B
y
x
-1 O 1
C
y
x
-1 O 1
D
y
x
-1 O 1
1
y
-1 O 1
1
1
1

7. 设函数则函数g(x)的递减区间为＿＿＿＿＿＿
8. 向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（ ）

h
H
O

9. (2009年高考安徽卷改编)设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是__________．

10. (2010年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln的图象只可能是__________．

11. 家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽
快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的
运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示．在这四种方案中，
运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

12. 作下列函数的图象：
(1) y＝； (2) y＝|x－2|(x＋1)； (3) y＝； (4) y＝|log2x－1|； (5) y＝2|x－1|.

14. 含根式的无理函数问题
1. 已知函数y=的最大值为,最小值为,则的值为
2. 函数的值域为＿＿＿＿＿
3. 若函数的最大值是正整数，则= 7
4. 已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最
大值为 _____
思考：你能给出本题的几种解法？本题的背景问题是什么？
【高等数学背景】带佩亚诺余项的的泰勒展开式，当
时，，故

15. 应用题
项 目
类 别

年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
1. 某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投
资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)
其中年固定成本与年生产的件数无关，是待定常数，其值由生产产品的原材料决定，预计，另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间
的函数关系，并求出其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案.
2. 心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同。上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定．设上课开始分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与的函数关系为：

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；
（3）若一个数学难题，需要56的接受能力(即)以及12分钟时间，老师能否及
时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？
解：(Ⅰ) 由题意可知：
所以当X=10时, 的最大值是60, 又, =60
所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强,并能维持5分钟. ………………5分
(Ⅱ）由题意可知:
所以开讲后5分钟、20分钟、35分钟的学生的接受能力从大小依次是
开讲后5分钟、20分钟、35分钟的接受能力；………………………………8分
（Ⅲ）由题意可知：
当时, 为增函数, ,从而时;
当 =60>56,满足要求；
当,解得:
因此接受能力56及以上的时间是分钟,小于12分钟.
所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . ………15分
3. 某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.8元；当用
水超过4吨时，超过部分每吨3元.
(1) 记单户水费为（单位：元），用水量为（单位：吨），写出关于的函数解析式；
(2) 若甲、乙两户该月共交水费26.4元，甲、乙两户用水量值之比为5:3，请分别求出甲乙两户该月的用水量和水费.

4. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车
的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，
未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
5. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折
后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率＝．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．
（1）写出当x∈时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到
的实际折扣率；
（2）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？
6. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间
进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进
水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，
得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随
后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即
x≥20)，y与x之间的函数关系是_______
7. 在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数)
（1）写出g(x)，h(x)的解析式；
（2）写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

8. (2009年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该
地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
高峰电价
(单位：元/千瓦时)
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
9. 已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
10. 销售甲乙两种商品所得利润分别是P(单位:万元)和Q(单位:万元),它们与投入资金t(单位:万元)的关系有经验公式,其中.今将10万元资金投入经营甲乙两种商品,其中对甲种商品投资x(单位:万元).
(Ⅰ)求总利润y(单位:万元)关于x的函数;
(Ⅱ)甲乙两种商品分别投资多少万元,才能使总利润y(单位:万元)的最大,并求最大值.
解：（Ⅰ）由题意可知： ……………1分
由得，
∴总利润y关于x的函数为。 ……………3分
（Ⅱ）令，则 ……………3分
∴ …………3分
当，即时，，即，y取最大值
当，即时，，即，y取最大值
∴当时，甲乙两种商品分别投资万元，万元时，总利润最大，且为万元；当时，10万元全部投乙种商品，总利润最大，且为万元
11. 将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，当正方形与圆形的面积和最小时，正方形的周长为 ．
12. 某上市股票在30天内每股的交易价格(元)与时间(天)组成有序数对，点
落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量(万股)与时间
(天)的部分数据如下表所示：
第天
4
10
16
22
(万股)
36
30
24
18
（1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格(元)与时间(天)所满足的函数关系式
（2）根据表中数据确定日交易量(万股)与时间(天)的一次函数关系式；