高一数学上学期周清-第十四周周清-椭圆及其标准方程椭圆几何性质-文.doc

第十四周周清 椭圆及其标准方程、椭圆几何性质
核心知识
1．椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图　形

性　　质

范　围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0， a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
自我检测
1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，求椭圆的标准方程。
解析　∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
2. 设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，求|PF1|＋|PF2|
解析　依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
3. 求以F1(0，－1)，F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P，则椭圆C的方程.
解析　由题意得，c＝1,2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ＋＝2.故a＝，b＝1.则椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P，求椭圆的方程.
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，将点(－5,4)代入得＋＝1，又离心率e＝＝⇒e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.
5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，求椭圆的离心率.
解析　由题意得2a＝2b⇒a＝b，又a2＝b2＋c2⇒b＝c⇒a＝c⇒e＝.