1、2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1已知,则的值为 ( B )A1. B. C. D.2已知的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为 ( B )A5. B6. C7. D8.3方程的解的个数为 ( C )A1个 B2个 C3个 D4个.4今有长度分别为1,2,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( C )A5组. B7组. C9组. D11组.5如图,菱形ABCD中,则 ( D )A. B. C. D.6已知,则的值为
2、 ( C )A1. B. C2. D.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1在ABC中,已知,则2二次函数的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若ABD和OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则 2 3能使是完全平方数的正整数n的值为 11 4如图,已知AB是O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果,D为EF的中点,则AB 24 第二试 (A)一、(本题满分20分)已知三个不同的实数满足,方程和有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根求的值解 依次将题设中所给的四个方程编号为,设是方程和方程的一个相同的实
3、根,则 两式相减,可解得设是方程和方程的一个相同的实根,则两式相减,可解得。所以 又方程的两根之积等于1,于是也是方程的根,则。又 ,两式相减,得 若,则方程无实根,所以,故于是 又,解得 二(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,对角线交于点,且,为的中点求证:(1);(2)证明 (1)由已知得 ,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心 作于点,知为的中点,所以,从而 (2)作于点,则又, , RtRt, ,又,所以,故,所以 三(本题满分25分)已知为正整数,设,O为坐标原点若,且(1)证明:;(2)求图象经过三点的二次函数的解析式解 (1)因为,所以,即由,得 又,从而有,即(2)
4、由,知是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根,从而,解得。又为正整数,故或 当时,方程为,没有整数解当时,方程为,两根为综合知: 设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得所以,图象经过三点的二次函数的解析式为第二试 (B)一(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,对角线交于点,且求证:证明 由已知得 ,从而四点共圆,为直径设为AC的中点,则为四边形ABCD的外接圆的圆心作于点,则M为BD的中点,所以,从而 作于点,则又, , RtRt,又,所以,所以,所以三(本题满分25分)已知为正整数,设,O为坐标原
5、点若,且)求图象经过三点的二次函数的解析式解 因为,所以 ,即由,得 又,从而有,即 又,故是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根,从而,解得。又为正整数,故或 当时,方程为,没有整数解当时,方程为,两根为综合知: 设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得所以,图象经过三点的二次函数的解析式为 第二试 (C)一(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二(本题满分25分)如图,已知为锐角内一点,过分别作的垂线,垂足分别为,为的平分线,的延长线交于点如果,求证:是的平分线证明 如图1,作于点,于点,于点,于点设, , 若,如图2,作,分别交于点,则, , 若,则若,同理可证 , , , 又, 又因为是的平分线,所以, 显然,即, ,是的平分线 三(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.