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2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知，，则的值为 （ B ）
A．1. B．. C．. D．.
2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）
A．5. B．6. C．7. D．8.
3．方程的解的个数为 （ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ）
A．5组. B．7组. C．9组. D．11组.
5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则 （ D ）
A．. B．.
C．. D．.
6．已知，，，则的值为 （ C ）
A．1. B．. C．2. D．.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．在△ABC中，已知，，则．
2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 2 ．
3．能使是完全平方数的正整数n的值为 11 ．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝ 24 ．

第二试 （A）
一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．
解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则 两式相减，可解得．
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。
所以 ．
又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，则。
又 ，两式相减，得 ．
若，则方程①无实根，所以，故．
于是 ．又，解得 ．
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．
证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．
作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．
（2）作于点，则．
又，
∴ ，
∴ Rt△≌Rt△，∴ ，
又，所以，故，所以．
三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且．
（1）证明：；
（2）求图象经过三点的二次函数的解析式．
解 （1）因为，，所以，即．
由，得．
又
，
从而有，即．
（2）由，知是关于x的一元二次方程
①
的两个不相等的正整数根，从而，解得。
又为正整数，故或．
当时，方程①为，没有整数解．
当时，方程①为，两根为．
综合知：．
设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得．
所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．
第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且．求证：．
证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径．
设为AC的中点，则为四边形ABCD的外接圆的圆心．
作于点，则M为BD的中点,所以＝＝，从而．
作于点，则．又，
∴ ，
∴ Rt△≌Rt△，∴，
又，所以，所以，所以．
三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且＋＋＝＋＋）．求图象经过三点的二次函数的解析式．
解 因为，，所以 ，即．
由，得．
又
，
从而有，即．
又，故是关于x的一元二次方程
①
的两个不相等的正整数根，从而，解得。
又为正整数，故或．
当时，方程①为，没有整数解．
当时，方程①为，两根为．
综合知：．
设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得．
所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，已知为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线．
证明 如图1，作于点，于点，于点，于点．

设，∵ ， ∴．
若，如图2，作，分别交于点，则△∽△，∴，∴ ，
∴ ．
若，则．
若，同理可证．
∵，∴ ，∴．
∵ ，∴，∴．
又，∴ ．
又因为是的平分线，所以，∴ ．
显然，即，∴ ，∴是的平分线．
三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.