2012—度第二学期高一数学期末模拟考试数学试题C.doc

2012—2013学年度第二学期高一数学期末模拟考试数学试题（C）
2013年7月3日
本试卷共2页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，若向量=（），=（），则=
A． B． C． D．
2. 等于
A. B. C. D.
3. 已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是
A. B. C． D.
4. 已知角的终边上一点（），则的值是
A. B. C. 或 D. 根据确定
5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为
A．18 B．36 C．54 D．72
6. 圆上的动点到直线的最小距离为
A． B． C． D．
7．已知向量满足，且，，则与的夹角为
A． B． C． D．
8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
9．函数，则下列关于它的图象的说法不正确的是
A．关于点对称 B．关于点对 C．关于直线对称 D．关于直线对称
10．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是
A． B． C． D.
11．如果函数在区间的最小值为，则的值为
A． B． C． D．
12．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为，把一枚半径为的硬币
任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是
A. B. C． D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用钢笔或圆珠笔答在答题卡指定的位置上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在答题纸的横线上．
13．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵. 为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的
数量为 .
14．已知向量夹角为 ，且，则
15．如右下图是一个算法的程序框图，最后输出的 .
16已知，，，，则 的值是
三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）化简函数的解析式，并求定义域；（Ⅱ）若，求的值．
18．（本小题满分12分）
设向量,的夹角为且︱︱=︱︱=，如果，，.
（Ⅰ）证明：A、B、D三点共线；
（Ⅱ）试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直.

19.（本小题满分12分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见右表：
某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，甲、乙样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
2
8
7
5
0
7
5
3
8
8
3
4
7
7
8
（Ⅰ）分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数， 甲 乙
并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；
（Ⅱ）若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取两天的数据，
求恰有一天空气质量超
PM2.5日均值（微克）
空气质量等级

一级

二级

超标
标的概率．

20、（本小题满分12分）已知向量，， ，
(1)求证：⊥； (2)，求的值。

21.（本小题满分12分）
已知函数=（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

2012—2013学年度第二学期高一数学期末模拟考试数学试题（C）
参考答案及评分标准(2013.7)

由题意，，
其定义域为．-------------8分
（Ⅱ），，-------------10分
．-------------12分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵,----------3分
∴ 即共线，
∴三点共线. ----------6分
（Ⅱ）∵，
∴，
，---------8分
, ---------10分
解得.----------12分

19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）甲居民区抽测样本数据分别是37,45,73,78,88；乙居民区抽测的样本数据分别是32,48,67,65,80. -------------1分
-------------3分
-------------5分
则
由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．-------------6分
（Ⅱ）由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标，有2天空气质量超标．
----------- ----------- -----------8分
记未超标的3天样本数据为，超标的两天为，则从5天中抽取2天的所有情况为： ，基本事件数为10．
-----------------10分
记“5天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件，可能结果为： ，基本事件数为6．
--------------12分
20. ①(略);
②
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） f（x），---------------------------3分
由题意知，最小正周期，，所以，
∴. ----------------6分
（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.
　所以 -------------------------9分
令，∵,∴，-----------------------10分
，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，-------------------------11分
由正弦函数的图像可知或，
∴或. ------------12分
22.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)设圆心,则,解得，………………2分
则圆的方程为,将点的坐标代入得,
故圆的方程为. ………………4分
(Ⅱ)当切线的斜率存在时，设切线方程为，则
，解得，
所以切线方程为，………………7分
当切线的斜率不存在时，切线方程为，………………8分
所以切线的方程为或．………………9分
(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在，且互为相反数，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
由， 得 ，……10分
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得，
同理，, …………………12分
所以=，
所以，直线和一定平行．……………………………………14分