湖北省襄樊市高中调研统一测试高三数学理科试卷3月.doc

2009年3月襄樊市高中调研统一测试高三数学(理科)
命题人：襄樊市教研室 郭仁俊审定人：襄樊四中　尹春明
本试卷共4页，全卷满分150分．考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷密封线内，将考号最后两位填在答题卷右下方座位号内，同时把机读卡上的项目填涂清楚，并认真阅读答题卷和机读卡上的注意事项。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
3．将填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4．考试结束后，请将机读卡和答题卷一并上交．
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 设a、b、c、d∈R，则复数为实数的充要条件是
A．ad－bc = 0 B．ac－bd = 0 C．ac＋bd = 0 D．ad＋bc = 0
2. 的值为
A．0 B．1 C． D．
3. 将函数的反函数的图象按向量a = (1，1)平移后得到函数g (x)的图象，则g (x)的表达式为
A． B．
C． D．
4. 已知函数的最小正周期为，则该函数图象
A．关于直线对称 B．关于点(，0)对称
C．关于点(，0)对称 D．关于直线对称
5. 两个正方体M1、M2，棱长分别a、b，则对于正方体M1、M2有：棱长的比为a∶b，表面积的比为a2∶b2，体积比为a3∶b3．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是
A．两个球 B．两个长方体 C．两个圆柱 D．两个圆锥
6. 设奇函数在(0，＋∞)上为增函数，且，则不等式的解集为
A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)
7. 袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为
A． B． C． D．

M
N
P
F
y
x
O
8. 如图，直线MN与双曲线的左右两支分别交于M、N两点，与双曲线的右准线交于P点，F为右焦点，若|FM| = 2|FN|，，则实数的取值为
A． B．1
C．2 D．
9. 设P表示平面图形，m(P)是P表示的图形面积．知，，且，则下列恒成立的是
A． B． C． D．

O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
A
B
C
D
10. 函数的图象大致是
二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卷相应位置上。)
11. 过点A(2，－3)，且与向量m = (4，－3)垂直的直线方程是　 　．
12. 从1到100的正整数中删去所有2的倍数及3的倍数后，剩下数有　 　个．
13. 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB = 1，AA1 = ，则A、C两点间的球面距离为　 　．
14. 假设甲、乙、丙三镇两两之间的距离皆为20公里，两条笔直的公路交于丁镇，其中一条通过甲、乙两镇，另一条通过丙镇．现在一比例精确的地图上量得两公路的夹角为45°，则丙、丁两镇间的距离为　 　公里．
15. 研究问题：“已知关于x的不等式的解集为(1，2)，解关于x的不等式”，有如下解法：
解：由，令，则，1)，
所以不等式的解集为(，1)．
参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式的解集为　 　．
三．解答题(本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
16. (本大题满分12分)
已知A、B、C的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)、C()，．
(1)若，求角的值；
(2)若，求的值．

A
B
C
D

17. (本大题满分12分)
在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC = CD = 1．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大小；
(3)若直线BD与平面ACD所成的角为，求的取值范围．

18. (本大题满分12分)
某商场举行周末有奖促销活动，凡在商场一次性购物满500元的顾客可获得一次抽奖机会．抽奖规则：自箱中一次摸出两个球，确定颜色后放回，奖金数如下表．
球的颜色
一红一蓝
两蓝
两红
奖金数
100元
150元
200元

经测算该商场赢利为销售额的10%，已知箱中已放有2个红色球和5个蓝色球，为使本次抽奖活动不亏本，该商场应在箱中至少放入多少个其它颜色的球？(抽出任一颜色球的概率相同)．

A
B
M
O
x
y

19. (本大题满分12分)
已知点A(－1，0)、B(1，0)和动点M满足：，且，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)求△APQ面积的最大值．

20. (本大题满分13分)
若存在常数k和b (k、b∈R)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”．已知， (其中e为自然对数的底数)．
(1)求的极值；
(2)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

21. (本大题满分14分)
已知数列{an}的前n项和Sn是二项式展开式中含x奇次幂的系数和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求；
(3)证明：．

2009年3月襄樊市高中调研统一测试
高三数学(理科)参考答案及评分标准
一．选择题：DCBBA DACCA
二．填空题：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．
　　　　　　14．　　15．
三．解答题：
16．(1)解：∵， 2分
∴由得：，即 4分
又∵，∴ 6分
(2)解： 8分
由得：，即 10分
两边平方得：，∴ 12分
A
B
C
D
H
17．方法一
(1)证：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分
(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角 6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小为45° 8分
A
B
C
D
x
y
z
(3)解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连结DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角 10分
设AB = a，在Rt△BHD中，，
∴
又，∴ 12分
方法二
(1)同方法一 4分
(2)解：设以过B点且∥CD的向量为x轴，为y轴
和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，
则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则

取n = (1，－1，0) 6分

∴二面角C－AB－D的大小为45° 8分
(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
设平面ACD的一个法向量是m = (x，y，z)，则
∴可取m = (0，a，1)，设直线BD与平面ACD所成角为，则向量、m的夹角为
故 10分
即
又，∴ 12分
18．解：该商场应在箱中至少放入x个其它颜色的球，获得奖金数为，
则= 0，100，150，200
，，
， 8分
∴的分布列为

0
100
150
200
P

∴
　　 10分
由已知，，即 (x∈Z*)
解得：x≥4
∴该商场应在箱中至少放入4个其它颜色的球． 12分
19．(1)解：设M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即 2分
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1
∴曲线C的方程为． 4分
(2)解法一：设直线PQ方程为 (∈R)
由 得： 6分
显然，方程①的，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有

8分
令，则t≥3， 10分
由于函数在[3，＋∞)上是增函数，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值为3 12分
解法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3
设直线PQ方程为
由 得： ① 6分
显然，方程①的△＞0，则
∴ 8分
10分

令，则，即S＜3
∴△APQ的最大值为3 12分
20．(1)解：∵，
∴ 2分
当时，
∵当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，F(x)取极小值，其极小值为0． 4分
(2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，
因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即 6分
由，可得当时恒成立
由得： 8分
下面证明当时恒成立．
令，
则， 10分
当时，．
∵当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为0． 12分
从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线． 13分
21．(1)解：记
令x = 1得：
令x =－1得：
两式相减得：
∴ 2分
当n≥2时，
当n = 1时，，适合上式
∴ 4分
(2)解：
注意到 6分
令，
则
∴
故，即 8分
(3)解：
　　　 (n≥2) 10分
∴
　 12分
∵
∴ 14分