全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟3.doc

2012年全国高中数学联赛预赛模拟3
一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）
1、当时，函数的最大值为____________.
2、在中，已知则____________.
3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.
4、已知∈R，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_______.
5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为____________.
6、已知是正实数，的取值范围是____________.
7、在四面体中，,,该四面体的体积为__________.
8、已知等差数列和等比数列满足：则____________.（）
9、将27,37,47,48,55,71,75这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有______种.
10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_____.
二、解答题（本题100分，每题20分）
11、设为正数，证明：

12、在中，角对应的边分别为，证明：
（1） （2）

13、已知为实数，a >2，函数.若.
（1）求实数； （2）求函数的单调区间； （3）若实数满足，求证：

14、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.

15、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.

2012年全国高中数学联赛预赛模拟3 参考解答
一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）
1、18 2、4 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、144 10、24
二、解答题（本题100分，每题20分）
11、证：对归纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立，
当时，对于任意个正数，据假设有
，…5分
所以
只要证， …
平方整理，只要证， ……10分
由柯西不等式
……………15分
即
所以
即成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.……………………20分
12、

13、已知为实数，函数.若.
（1）求实数；
（2）求函数的单调区间；
（3）若实数满足，求证：

14、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.

15、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.