矩阵论研究应用报告.doc

矩阵论在方程解耦及最小二乘法中应用
摘要：模态（也称为固有振动模态，或主模态）是多自由度线性系统一种固有属性，可由系统特性值（也称为固有值）与系统特性矢量（也称为固有矢量，或者主振型）两者共同来表达；它们分别从时空两个方面来刻画系统振动特性。模态是机械构造固有振动特性，每一种模态具备特定固有频率、阻尼比和模态振型，其可以使得耦合方程组解耦。作用于一种n维自由度系统，可以转换到模态坐标下来解耦，拟定在模态坐标下响应，然后通过线性变换得到物理坐标下响应。惯常使用中，将线性定常系统振动微分方程组中物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述独立方程，以便求出系统模态参数[1]。
在科学实验和工程计算中，咱们但愿从给定数据出发,构造一种近似函数，使数据点均在离曲线上方或下方不远处，所求曲线称为拟合曲线，它既能反映数据总体分布，又不至于浮现局部较大波动，更能反映被逼近函数特性，使求得逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种办法度量达到最小，这就是最小二乘法。最小二乘法（又称最小平办法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差平方和寻找数据最佳函数匹配，使这些求得数据与实际数据之间误差平方和为最小[2]，则需要范数知识。
核心字：模态，方程解耦，最小二乘
一、引言
数学中解耦是指使具有各种变量数学方程变成可以用单个变量表达方程组，即变量不再同步共同直接影响一种方程成果，从而简化分析计算。通过恰当控制量选用，坐标变换等手段将一种多变量系统化为各种独立单变量系统数学模型，即解除各个变量之间耦合。
对离散型函数(即数表形式函数)考虑数据较多状况.若将每个点都当作插值节点，则插值函数是一种次数很高多项式，比较复杂，并且由于龙格振荡现象，这个高次插值多项式也许并不接近原函数。最小二乘法在实际工程数据解决中应用广泛，在工程问题中，使用最小二乘法依照两个变量几组实验数据可以轻松找出这两个变量函数关系近似表达式,拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势[5]。
二、预备知识
2.1 坐标变换
设是线性空间上线性变换，（，…，）和（，…，）是两组基，在这两个基下表达矩阵分别为A，B则：
（，…，）=（，…，）A ；（，…，）=（，…，）B原文内容:选取参照点或坐标原则是为了描述以便，对于振动系统普通采用自然空间坐标。
设基变换公式为（，…，）=（，…，）C ，C为变换矩阵
则 B=
2.2 范数
如果是数域上线性空间，且对于任以向量，相应于一种实数函数，它满足如下三个条件。
i. 非负性 当时；当时，；
ii. 齐次性 ；
iii. 三角不等式 ；则称为上范数。
可以证明对于向量长度是一种范数，咱们称为2-范数，记为。
三、坐标变换和2-范数在工程实践中运用
3.1 坐标变换在多自由度振动系统解耦中运用
3.1.1 多自由度系统运动方程描述
多自由度系统普通运动方程
,M为质量矩阵，K为刚度矩阵，M、K且都为正定矩阵。
振动响应：代入运动方程：
有非零解充分必要条件： （3-1）
得到特性多项式
得出每一阶固有圆频率 i=1,2…..n
其中：为特性值（固有频率）， 为特性向量（模态）。
推出 （3-2）
描述了系统做第i阶主振动时具备振动形态，称为第i阶主振型，或第i阶模态。
3.1.2 模态关于质量矩阵和刚度矩阵正交性
由（3-2）式，得：
转置后右乘 =
左乘 =
两式相减：（-）=0 恒成立 （3-3）
当时，
模态关于质量矩阵正交， 模态关于刚度矩阵正交
当i＝j时
第i 阶模态主质量， 第i 阶模态主刚度，其中为第i 阶主模态。
3.1.3 运动方程解耦
将构成矩阵，称为模态矩阵。分别对M、K解决，得如下等式
（3-4）
（3-5）
即 为主质量矩阵，为主刚度矩阵
坐标变换： 则运动方程变为
（3-6）
（3-7）

物理空间
耦合
主模态空间
解耦

在主坐标下成为n个独立单自由度运动方程，可见实现理解耦，展开写即：， 第1阶固有频率
第2阶固有频率 ……
第n阶固有频率
3.2 2-范数在最小二乘问题中运用
3.2.1 实际问题描述
一颗导弹从敌国发射，通过雷达咱们观测到了它飞行轨迹，详细有如下数据：
表1
水平距离/m
0
250
500
750
1000
高度/m
0
8
15
19
20
国内军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。
问题：预测该导弹在什么水平距离着地？
3.2.2 直线拟合基本理论
已知数据点，分布大体为一条直线。作拟合直线，该直线不是通过所有数据点，而是使偏差平方和为最小，其中每组数据与拟合曲线偏差为 依照最小二乘原理，应当取和是有极小值，故和应满足下列条件：
（3-8）
即得如下正规方程：
（3-9）
3.2.3 多项式拟合基本理论
有时所给数据点分布并不一定近似地呈一条直线，这时仍用直线拟合显然是不适当，可用多项式拟合[7]。对于给定一组数据谋求次数不超过n (n<<m ) 多项式，来拟合所给定数据，与线性拟合类似，使偏差平方和为最小，由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…，n)多元函数，故上述拟合多项式构造问题可归结为多元函数极值问题。
令，得，即有
（3-10）
这是关于系数线性方程组，普通称为正规方程组，有惟一解。
3.2.4 最小二乘问题数值成果
导弹沿抛物线飞行，设导弹迈进方向为轴，垂直高度为轴，建立直角坐标系。
表2

1
2
3
4
5

0
250
500
750
1000

0
8
15
19
20

设所求导弹飞行抛物线方程为
计算可得：

则得到方程组：

写成矩阵形式为

解之得：
平方误差：
则所求抛物线方程为：
再由y=0，得x=2044.233m
即导弹着地时水平距离约为2044m。
应用MATLAB得到图1

图1
程序见附录。

参照资料
[1] 胡海岩. 机械振动与冲击[M]. 航空工业出版社，.
[2] 故海岩. 机械振动基本[M]. 北京航空航天大学出版社，.
[3] 季文美. 模态分析技术[M]. 科学出版社，1985.
[4] 郑兆昌. 机械振动（上册）[M]. 机械工业出版社，1980.
[5] 许君一. 方向控制最小二乘法理论[M]. 清华大学出版社，.
[6] 李德葆. 实验模态分析与应用[M]. 科学出版社，.
[7] 刘炳涛. 最小二乘法[M]. 测绘出版社，.

附录
clc
clear
x=[0 250 500 750 1000];
y=[0 8 15 19 20];
p=polyfit(x,y,2);
hold on;
plot(x,y,'o')
plot(x,polyval(p,x),'r');