备战历届高考数学真题汇编专题7平面向量理20002006.doc

【2006高考试题】一、选择题（共28题）1（安徽卷）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形2（北京卷）若与都是非零向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3（福建卷）已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则等于A. B.3 C. D. 4（福建卷）已知向量与的夹角为，则等于（A）5（B）4（C）3（D）1图1解析：向量与的夹角为， ， ，则=1(舍去)或=4，选B.5（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量A. B. C. D. 解析：，故选A.6（湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则A（） B（） C（） D（）7（湖北卷）已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则A. B. 4 C. D. 2解：由a2b与a2b互相垂直（a2b）（a2b）0a24b20即|a|24|b|2|a|2|b|，故选D8（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.9（湖南卷）已知向量若时，；时，则 A B. C. D. 10（湖南卷）如图1：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是ABOM图1AB. C. D. 解析：如图，OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，由图知，x0，当x=时，即=，P点在线段DE上，=，=，而， 选C.11（辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) 12（辽宁卷）设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.13（辽宁卷）已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（） 解：依题意，结合图形可得，故，选D14（全国卷I）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A B C D15（全国卷I）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则A B C D16（全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A B C D解：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.17（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为A B C D18（全国II）已知向量（4，2），向量（，3），且/,则 （A）9 (B)6 (C)5 (D)3解：/432x0，解得x6，选B19（山东卷）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=1 （B）2 （C）1 （D）20（山东卷）设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2,6)解：设d（x，y），因为4a（4，12），4b2c（6，20），2(ac)（4，2），依题意，有4a（4b2c）2(ac)d0，解得x2，y6，选D21（山东卷）设向量a=(1,3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(A)（1，1） (B)（1， 1） (C) （4，6） (D) （4，6）解：4a（4，12），3b2a（8，18），设向量c（x，y），依题意，得4a（3b2a）c0，所以48x0，1218y0，解得x4，y6，选D22(陕西卷) 已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形23(上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D）解：由向量定义易得， （C）选项错误；24（四川卷）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（A） （B） （C） （D）25（四川卷）设分别是的三个内角所对的边，则是的（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件26（浙江卷）设向量满足,则 (A)1 (B)2 (C)4 (D)527(重庆卷)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是(A) (B) 或（C） （D）或解析：与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则，解得或，选B. 28(重庆卷)已知三点，其中为常数。若，则与的夹角为（A） （B）或 （C） （D）或二、填空题（共15题）29（安徽卷）在中，M为BC的中点，则_。（用表示）解：，所以。30.（北京卷）若三点共线，则的值等于_.31（北京卷）在中，若，则的大小是_.解： a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.32.（北京卷）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于 。解：（a2，2），（2，2），依题意，向量 与共线，故有2（a2）40，得a433.（北京卷）在ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinAsinBsinC=578,则abc= , B的大小是 .34（北京卷）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 . 35.（湖北卷）在ABC中，已知，b4，A30，则sinB .解：由正弦定理易得结论sinB。AOMPB图236.（湖南卷）如图2,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 . 解析:如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边， 的取值范围是(，0)； 当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB， 的取值范围是(，).37.（江苏卷）在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC38.（江西卷）已知向量，则的最大值为解：|sinqcosq|sin（q）|。39.（全国II）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得。本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。40.（天津卷）设向量与的夹角为，则解析：设向量与的夹角为且 ，则。41.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab,若a=1,则a+c的值是【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。解析：，所以【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。42.（上海春）在中，已知，三角形面积为12，则 .43.（上海春）若向量的夹角为，则 .三、解答题（共11题）44.（湖北卷）设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。45.（湖北卷）设向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，xR，函数f(x)a(ab).（）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)成立的x的取值集。解：（） 的最大值为，最小正周期是。（）由（）知 即成立的的取值集合是.BDCA图346 （湖南卷）如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.证明 ;若AC=DC,求的值.解：(1)如图3， 即47（江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则（2），则bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 48.（江西卷）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin21649.（全国卷I）的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为50.（全国II）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大51.（全国II）在,求（1）(2)若点解：（1）由,由正弦定理知（2）由余弦定理知52. （四川卷）已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求tanC.（）由题知，整理得 或而使，舍去 53（四川卷）已知A、B、C是三内角，向量且（）求角A（）若求tanB.本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。（）由题知，整理得 或,而使，舍去54.（天津卷）如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.（）解： 由余弦定理， 那么，55(上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？解 连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.【2005高考试题】1.（全国卷）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 1 2（全国卷）已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于（ C ）A2BC3D3（全国卷）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（10，10），则5秒后点P的坐标为（ C ）A（2，4）B（30，25）C（10，5）D（5，10）4. （全国卷III）已知向量，且A、B、C三点共线，则k=5.（北京卷）若，且，则向量与的夹角为(C ) （A）30 （B）60 （C）120 （D）1506.（上海卷）直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是x+2y-4=0 _。7.（天津卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在AOB的平分线上且| |=2,则=8.（福建卷）在ABC中，C=90，则k的值是（ D ）A5B5CD9.（广东卷）已知向量，且，则x为_4_10.（湖北卷）已知向量不超过5，则k的取值范围是 6，211.（江苏卷）在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_-2_。12.（江西卷）已知向量（ C ）A30B60C120D15015. （全国I）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点16.(湖南)P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（D）A外心B内心C重心D垂心【2004高考试题】一）选择题1(2004.全国理)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|=（C ）ABCD43（2004. 福建理）已知a、b是非零向量且满足(a2b) a，(b2a) b，则a与b的夹角是（ B ）A B C D4（2004. 重庆理）若向量的夹角为，,则向量的模为（ C ） A2 B4 C6 D125、(2004. 四川理）已知平面上直线l的方向向量e=(-)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为和，则e，其中=（ D ）A B - C 2 D -26（04. 上海春季高考）在中，有命题；若，则为等腰三角形；若，则为锐角三角形.上述命题正确的是 （ C ）（A） （B） （C） （D）10、（2004.上海理）已知点A(1, 2),若向量与=2,3同向, =2,则点B的坐标为 (5,4) .三）解答题11（2004.湖北理）（本小题满分12分）如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.11本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.12. （04. 上海春季高考）（本题满分12分） 在直角坐标系中，已知点和点，其中. 若向量与垂直，求的值.12. 由，得，利用，化简后得，于是或，.【2003高考试题】一、选择题3.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，1），则向量2ba的坐标是（ ）A.（3，4） B.（3，4） C.（3，4） D.（3，4）4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ ）A. B. C.3 D.35.（2001上海）如图51，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）图51A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c7.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（ab）c（ca）b=0 |a|b|ab| （bc）a（ca）b不与c垂直（3a+2b）（3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.8.（1997全国，5）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为（ ）A. B.3 C. D.3二、填空题9.（2002上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120，且|a|=2，|b|=5，则（2ab）a=_.10.（2001上海春，8）若非零向量、满足|+|=|，则与所成角的大小为_.11.（2000上海，1）已知向量=（1，2），=（3，m），若，则m= .12.（1999上海理，8）若将向量a=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为_.13.（1997上海，14）设a=（m+1）i3j，b=i+（m1）j，（a+b）（ab），则m=_.14.（1996上海，15）已知a+b=2i8j，ab=8i+16j，那么ab=_.15.（1996上海，15）已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是_.三、解答题18.（2002上海，17）如图54，在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图53 图54 图5521.（2001江西、山西、天津理）如图56，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.（1）求cos；（2）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角VC的平面角，求BED.图56 图57 图5822.（2001上海春）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D.（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（）的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）的绝对值的几何意义.25.（2000上海，18）如图59所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.图59 图510 图51126.（2000天津、江西、山西）如图510所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M.图51228.（1999上海，20）如图512，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角.（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.图51329.（1995上海，21）如图513在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值.答案解析3.答案：D解析：设（x，y）=2ba=2（0，1）（3，2）=（3，4）.评述：考查向量的坐标表示法.4.答案：B5.答案：A解析：=c+（a+b）=a+b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.6.答案：B解析：设c=ma+nb，则（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）. 评述：本题考查平面向量的表示及运算.7.答案：D解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|ab|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（bc）a（ca）bc=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直.故假；（3a+2b）（3a2b）=9aa4bb=9|a|24|b|2成立.故真.评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.8.答案：A解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移3个单位，向上平移1个单位后，直线方程应为y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.k=.评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.9.答案：13解析：（2ab）a=2a2ba=2|a|2|a|b|cos120=2425（）=13.评述：本题考查向量的运算关系.11.答案：4解析：=1，2，=3，m，=4，m2，又，14+2（m2）=0，m=4.评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件.12.答案：（）解析：设a=2+i，b=，由已知、的夹角为，由复数乘法的几何意义，得=（cos+isin）=（2+i）.b=（）评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力.14.答案：63解析：解方程组a=3i+4j=（3，4）b=5i12j=（5，12）得ab=（3）5+4（12）=63.评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.15.答案：（4，2）解析：设P（x，y），由定比分点公式，则P（2，1），又由中点坐标公式，可得B（4，2）.COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角.在RtCA1O中，CO=m，CA1=，sinCA1O=，即CA1O=45.图51517.解：（1）取OB的中点D，连结O1D，则O1DOB.平面OBB1O1平面OAB，O1D平面OAB. 过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E.则O1EAB.DEO1为二面角O1ABO的平面角.由题设得O1D=，sinOBA=，DE=DBsinOBA=在RtO1DE中，tanDEO1=，DEO1=arctan，即二面角O1ABO的大小为arctan.18.解法一：如图516，以O点为原点建立空间直角坐标系.图516由题意，有B（3，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则=，2，4，=3，0，z.BDOP，=+4z=0，z=.BB平面AOB，POB是OP与底面AOB所成的角.tanPOB=，POB=arctan.（以下同解法一）图51819.解：（1）如图518，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0， a），C1（）.（2）坐标系如图，取A1B1的中点M，于是有M（0， a），连AM，MC1有=（a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）由于=0，=0，所以MC1面ABB1A1.AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.=（），=（0，a），20.解：（1）记P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）=2（1+x），=x2+y21，=2（1x）.于是，是公差小于零的等差数列等价于 即所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（2）点P的坐标为（x0，y0）.=x02+y021=2.|=.cos=（2）若BED是二面角VC的平面角，则，则有0.又由C（a，a，0），V（0，0，h），有（a，a，h）且，.即ha，这时有cos，BEDarccos（）arccos评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.如图519建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）.AG=，3，0，A1C=4，3，5.因为AG与A1C所成的角为，所以cos=.由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设AG与BD交于M，则AM面BB1D1D，再作ANEF交EF于N，连接MN，则ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.解法二：用面积射影定理cos=.评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.因此，三棱锥BBEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BDEF于D，连BD，可知BDEF.BDB是二面角BEFB的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高.BD=a.tanBDB=故二面角BEFB的大小为arctan2.评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.（3）解：|（）|=|43248|=48它是四棱锥PABCD体积的3倍.猜测：|（）|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.图52125.解：如图521建立空间直角坐标系由题意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）设D点的坐标为（0，0，z）（z0）则=1，1，0，=0，2，z，设与所成角为.则=cos=2，且AD与BE所成的角的大小为arccos.cos2=，z=4，故|BD|的长度为4.又VABCD=|AB|BC|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为.评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.=+0=0，A1BC1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.BD平面AA1C1C，BDA1C只须求满足：=0即可.设=a，=b，=c，=a+b+c，=ac，=（a+b+c）（ac）=a2+abbcc2=6，令6=0，得x=1或x=（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=arccos，即AE与CD所成角的大小为arccos.评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.29.解：（1）过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30，BC=2，得BD=1，CD=，DE=CDsin30=.OE=OBBE=OBBDcos60=1.D点坐标为（0，），即向量ODTX的坐标为0，.