上海市高考理科数学试卷及答案打印版.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）
一、填空题
1.不等式的解集是 。
2.若复数（为虚数单位），则 。
3. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。
4.行列式的值是 。
5. 圆的圆心到直线l:的距离 。
6. 随机变量的概率分布率由下图给出：

则随机变量的均值是

7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白
的执行框内应填入 。
8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，
事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）= （结果用最简分数表示）

10．在行n列矩阵中，
记位于第行第列的数为。当时， 。
11. 将直线、（，）
x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 。
12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD
相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB
重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 。
13。如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是
14.以集合U=的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有 种不同的选法。
二．选择题
15．“”是“”成立的 【答】（ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
16.直线l的参数方程是，则l的方向向量是可以是 【答】（ ）
(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
17.若是方程的解，则属于区间 【答】（ ）
(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)
18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 【答】（ ）
（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形
三、解答题
19.（本题满分12分）
已知，化简：
.

20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。
（2）= n=15取得最小值

21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）

22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
若实数、、满足，则称比远离.
（1）若比1远离0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.

23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；

（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）答案
一、填空题
1.（-4,2）
解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
2. 6-2i
解析：考查复数基本运算
3.。
解析：考查抛物线定义及标准方程
定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x
4. 0
解析：考查行列式运算法则=
5. 3
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线距离为
6. 8.2
解析：考查期望定义式E=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2
7. S S+a
8.（0，-2）
解析：f(x)=的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）
9．（
解析：考查互斥事件概率公式 P（AB）=
10．45
解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
11. 1
解析：B 所以BO⊥AC，
= 所以

12．
解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥，
高为所以该四面体的体积为
13。4ab=1
解析：
=，点P在双曲线上
，化简得4ab=1
14. 36
解析：列举法 共有36种
15． A
解析：，所以充分；
但反之不成立，如，所以不必要
16. C
解析：直线l的一般方程是，，所以C正确
17. C
解析：结合图形，∴属于区间(,)
18. D
解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知

由余弦定理得，所以角A为钝角
19.（本题满分12分）
20. (本题满分13分)
解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，
又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
解不等式Sn<Sn+1，得，，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；
同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值．
21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，
所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得，，
设向量与的夹角为q，则，
所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为．
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
解析：(1) ；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a3+b3比a2b+ab2远离；
(3) ，
性质：1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2°f(x)是周期函数，最小正周期，
3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ，
4°函数f(x)的值域为．
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
解析：(1) ；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以D>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3) 求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点，
2°求出直线OE的斜率，
3°由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，
4°从而得直线CD的方程：，
5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．
欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，
所以，化简得，，
又0<q <p，即，所以，
故q 的取值范围是．