资源描述
2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）
2015.4
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知集合，集合，则 ．
2．若复数为虚数单位），则 ．
3．已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 ．
4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体名学生中抽取名学生进行体能测试．现将名学生从到进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取个数的结果是抽到了，则在编号为的这个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ．
5．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为 ．
6．设函数，则不等式的解为 ．
7．直线与曲线(为参数，)的交点坐标是 ．
8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为 ．
9．矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第列各元素之和为，则 ．
10．如图所示：在直三棱柱中，，,则平面与平面所成的二面角的大小为 ．
11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为，二项式的展开式中项的系数为，则常数 ．
12．设是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为 ．
13．所在平面上一点满足，若的面积
为，则的面积为 ．
14．对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．下列不等式中，与不等式同解的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
16．设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么（ ）
（A）是必然事件 （B）是必然事件
（C）与一定为互斥事件 （D）与一定不为互斥事件
17．在极坐标系中，与曲线关于直线()对称的曲线的极坐标方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
18．已知函数，各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：
(1)存在不少于3项的数列，使得；
(2)若数列的通项公式为，则对恒成立；
(3)若数列是等差数列，则对恒成立．
其中真命题的序号是（ ）
（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3)
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
（结果用反三角函数值表示）
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
一个随机变量的概率分布律如下：
x
x1
x2
P
cos2A
sin(B+C)
其中为锐角三角形的三个内角．
（1）求的值；
（2）若，，求数学期望的取值范围．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点为．已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米．
（1）求横梁的长度;
（2）求梯形外框的用料长度．
（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数，．
（1）求函数的零点；
（2）若直线与的图像交于不同的两点，与的图像交于不同的两点，求证：；
（3）求函数的最小值．
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．
（1）设()，若是向量组的“向量”，
求实数的取值范围；
（2）若()，向量组是否存在“向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量组的“向量”，其中，
．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与()关于点对称，求的最小值．
理科参考答案
一、 填空题：（每题4分）
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13. 14.
二、 选择题：（每题5分）
15. D 16. A 17. C 18. D
三、 解答题
19、解：（1）在中，，即圆锥底面半径为2
B
C
D
A
O
z
x
y
圆锥的侧面积………………..4’
故圆锥的全面积……………….6’
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．
则
………………..8’
设与所成角为
则………………..10’
异面直线与所成角为………………..12’
解法二：过作交于，连
则为异面直线与所成角………………..8’
在中，
是的中点 是的中点
在中，，………………..10’
，即异面直线与所成角的大小为……………….12’
20、解：（1）由题，………………..2’
则………………..4’
又为锐角，得………………..6’
（2）由
得，则，即…………..8’
………………..9’
， ………………..11’
由为锐角三角形，得
则，
得………………..14’
21、解：（1）如图，以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系
设梯形下底与轴交于点，抛物线的方程为：
由题意，得，……….3’
取，
即
答：横梁的长度约为28cm………………..6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点
设………………..7’
则，即…………..10’
得
梯形周长为
答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’
22、解：（1）由题，函数的零点为…………4’
（2）设
，则………………..8’
同理由，则
则中点与中点重合，即………………..10’
（3）由题
………………..12’
……………….14’
，当且仅当时，等号成立
所以函数的最小值为1………………..16’
23、解：(1)由题意，得：，则………………..2’
解得： ………………..4’
(2) 是向量组的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，………………..6’
，故………8’
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组的“向量”………………..10’
(3)由题意，得：，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以………………..13’
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以……16’
当且仅当()时等号成立
故………………..18’
杨浦区2014学年度第二学期高三年级质量调研数学试卷（理）2015.4
一、填空题（本大题满分56分）
1.函数的定义域是 .
2.若集合，则的元素个数为 .
3.若，则的值是 .
4.的展开式中的常数项的值是 .
5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：，则这组数据的方差为 .
6.对数不等式的解集是，则实数的值为 .
7.极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为 .
8.如图，根据该程序框图，若输出的为，则输入的的值为 .
9.若正数满足，则的取值范围是 .
10.已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数等于 .
11.已知方程的两根为，
若，则实数的值为 .
12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .
13.已知，在坐标平面中有斜率为的直线与圆相切，且交轴的正半轴于点，交轴于点，则的值为 .
14.对于自然数的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；则集合的所有非空子集的交替和的总和为 .
二、选择题（本大题满分20分）
15.“”是“函数只有一个零点”的 （ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16.在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线
17.设反比例函数与二次函数的图像有且仅有两个不同的公共点，且，则 （ ）
A.2或 B.或 C.2或 D.或
18.如图，设店是单位圆上的一个定点，动点从点出发，
在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧的长为，
弦的长为，则函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
三 .解答题（本大题满分74）
19.（本题满分12分）
如图，一条东西走向的大江，其河岸处有人要渡江到对岸处，江面上有一座大桥，已知在的西南方向，在的南偏西，公里.现有两种渡江方案：
方案一：开车从大桥渡江到处，然后再到处；
方案二：直接坐船从处渡江到对岸处.
若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达处，应选择哪个方案？说明理由.
20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）
在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点.
（1）试确定点的位置，使得平面;
（2）当平面时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）.
21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）
已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）求的反函数；
（3）对于任意的，解不等式：.
22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分）
数列满足，（），令，是公比为的等比数列，设.
（1）求证：；
（2）设的前项和为，求的值；
（3）设前项积为，当时，的最大值在和的时候取到，求为何值时，取到最小值.
23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分）
已知抛物线的焦点，线段为抛物线的一条弦.
（1）若弦过焦点，求证：为定值；
（2）求证:轴的正半轴上存在定点，对过点的任意弦，都有为定值；
（3）对于（2）中的点及弦，设，点在轴的负半轴上，且满足，求点坐标.
宝山区2014学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量检测试卷（理科）
（满分150分，考试时间120分钟）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知抛物线的准线方程是，则 ．
2．已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则此扇形的弧长为 ．
3．复数（为虚数单位）的模为 ．
4．函数的值域为 ．
5．若，则 ．
6．在的展开式中，的系数是 ．
7．方程的解集为 ．
8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为，则他得分的数学期望是 分．
9．过圆上一点的切线方程为 ．
10．在极坐标系中，点P(2，)到直线的距离等于 ．
11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．
12．设是平面内两个不共线的向量，，，.若三点共线，则的最小值是 ．
13．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则 ．
14．已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15.如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
16.已知偶函数的定义域为，则下列函数中为奇函数的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）
（A）①是循环变量初始化，循环就要开始
（B）②为循环体
（C）③是判断是否继续循环的终止条件
（D）输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.
18.定义：最高次项的系数为1的多项式（）的其余系数均是整数，则方程的根叫代数整数．
下列各数不是代数整数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
如图，在直三棱柱中，已知，⊥．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的大小．
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数满足关系，其中是常数.
（1）若，且，求的解析式，并写出的递增区间；
（2）设，若的最小值为6，求常数的值．
21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某公园有个池塘，其形状为直角，，的长为2百米，的长为1百米．
（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点，如图(1)，使得，，在内喂食，求当的面积取最大值时的长；
（2）若准备建造一个荷塘，分别在、、上取点，如图(2)，建造连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使为正三角形，记，求边长的最小值及此时的值．(精确到1米和0.1度)
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．
在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不 重合的点．
（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（3）记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△面积取最小值时，求直线的方程．
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.
（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；
（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．
宝山区2014学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量检测试卷（理科）
参考答案及评分标准
说明：
1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．
4．给分或扣分均以1分为单位．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1． ； 2．；
3．； 4．；
5． ； 6． ；
7． 8. ；
9. ； 10．；
11． ； 12. ；
13. 14. .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. ；16. ； 17． ；18. .
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分.
19．解:
(1)因为⊥，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高. ……………………………………2分
四棱锥的体积为…………………………4分
（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），
B1（0，0，2），C1（0，2，2）， …………………………………………………6分
设AC的中点为M，
是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是， …8分
令z=1，解得x=0，y=1．， …………………………………………9分
设法向量与的夹角为，二面角B1—A1C—C1的大小为，显然为锐角．
………………………………………………12分
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
20.解：（1），；
………………………………………………………………4分
递增区间为 ，（）（注：开区间或半开区间均正确） ……………………………………………………………………………6分
（2），………8分
…………………10分
解得 … ……………………………………………………………12分
所以………………………………………………………………14分
21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
21.解：(1)设，则，故，所以，……2分
，……………………………………………………4分
因为当且仅当时等号成立，
即．………………………………………………………6分
(2)在中，，设，，则
，，…………………………8分
所以
设，则，在中，，………………10分
又由于，所以………………………11分
化简得百米=65米………………………………13分
此时，,…………………………………………………14分
解法2：设等边三角形边长为，
在△中，，，…………………………………………8分
由题意可知，…………………………………………………………9分
则，所以，……………………………………11分
即，………………………………………………13分
此时，,…………………………………………………14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.
22.解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分
所以在双曲线中，，，，
因而双曲线方程为．……………………………………………………4分
（2）设，，则由题设知：，．
即………………………………………………………………5分
解得……………………………………………………………………7分
因为点在椭圆C上，所以，即…，
亦即．所以点M的轨迹方程为．…………………9分
（3）（方法1）因为AB所在直线方程为．
解方程组得，，
所以，.
又解得，，所以．………… 11分
由于
……………………………………………14分
或，
当且仅当时等号成立，即k＝1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝．………………………………………… 15分
AB所在直线方程为． ………………………………………………… 16分
（方法2）设，则，
因为点A在椭圆上，所以，即（i）
又（ii）
（i）+（ii）得，………………………………………………11分
所以.……………………………14分
当且仅当（即）时，. 又
AB所在直线方程为．………………………………………………… 16分
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
23.解：（1）不是封闭数列，因为，…………………………………… 1分
对任意的，有，…………………………………… 2分
若存在，使得，即，，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分
（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，解得.故存在，使，…… 6分
下面证明整数．
对，若，则取，对，存在使，
即，，所以，矛盾，
故存在整数，使．…………………………………… 8分
（充分性）若存在整数，使，则，
对任意，因为，
所以是封闭数列. …………………………………… 10分
（3）由于，所以，……………11分
因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，
若，则，此时不存在．所以没有意义…12分
若，则，所以，………………… 13分
若，则，于是，
所以，…………………………………… 16分
若，则，于是，
所以，…………………………………… 17分
综上讨论可知：，，该数列是封闭数列．……… 18分
21
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