新课标I卷高考理科数学试卷带详解.doc

2014高考真题·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)
一、选择题
1.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|≥0}，B＝{x|－2≤x <2}，则A∩B＝(　　)
A.[－2，－1] B.[－1，2) B.[－1，1] D.[1，2)
【测量目标】集合的交集.
【考查方式】给出集合A、集合B，求A∩B.
【参考答案】A.
【试题解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1].
【难易程度】容易题
2.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]＝(　　)
A.1＋i B.1－I C.－1＋i D.－1－i
【测量目标】复数的四则运算.
【考查方式】对给出的复数进行化简.
【参考答案】D　
【试题解析】 ＝＝＝－1－i.
【难易程度】容易题
3.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
【测量目标】函数奇偶性
【考查方式】判断复合函数的奇偶性.
【参考答案】C.
【试题解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.
【难易程度】容易题.
4.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A. B.3 C.m D.3m
【测量目标】双曲线及点到直线的距离.
【考查方式】给出含参数双曲线方程，求焦点到渐近线的距离.
【参考答案】A
【试题解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得，，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.
【难易程度】容易题
5.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
【测量目标】概率计算
【考查方式】以生活实际为情境，根据条件求出概率
【参考答案】D
【试题解析】 每位同学有2种选法，基本事件的总数为，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
【难易程度】容易题
6. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)

A(ZX056) B(ZX057) C(ZX058) D(ZX059)
【测量目标】函数图像
【考查方式】根据题意判断函数图像
【参考答案】C　
【试题解析】根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像.
【难易程度】容易题
7.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝(　　)

第7题图(ZX035)
A. B. C. D.
【测量目标】程序框图
【考查方式】给出程序框图求输出结果
【参考答案】D　
【试题解析】 逐次计算，依次可得：M＝，a＝2，b＝，n＝2；M＝，a＝，b＝，n＝3；M＝，a＝，b＝，n＝4.此时输出M，故输出的是.
【难易程度】容易题
8.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A.3α－β＝ B.3α＋β＝ C.2α－β＝ D.2α＋β＝
【测量目标】三角恒等变换
【考查方式】给出的范围利用三角恒等变换求解.
【参考答案】C
【试题解析】tan α＝＝＝＝＝tan，
因为β∈，所以＋∈，又α∈且tan α＝tan，所以α＝，即2α－β＝.
【难易程度】中等题
9. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2;p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2;p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3;p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是(　　)
A. B. D.
【测量目标】考查线性规划中目标函数的最值、全称命题与特称命题
【考查方式】给出不等式组求解集判断命题的正误
【参考答案】B
【试题解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题为真，命题为假.

第9题图(ZX060)
【难易程度】中等题
10.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.3 C. D.2
【测量目标】抛物线定义与性质
【考查方式】给出抛物线方程根据抛物线性质求线段长度
【参考答案】B　
【试题解析】 由题知F(2，0)，设P(－2，t)，Q()，则＝(－4，t)，＝()，由FP＝4FQ，得－4＝4(－2)，解得＝1，根据抛物线定义得|QF|＝＋2＝3.
【难易程度】中等题
11.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝，若f(x)存在唯一的零点，且>0，则a的取值范围是(　　)
A.(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－1)
【测量目标】利用导函数求零点
【考查方式】利用导函数得出零点求参数取值范围
【参考答案】C　
【试题解析】当a＝0时，f(x)＝，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.由，得x＝0或x＝.若a<0，则函数f(x)的极大值点为x＝0，且＝f(0)＝1，极小值点为x＝，且＝f＝，此时只需>0，即可解得a<－2；若a>0，则＝f(0)＝1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意.综上可知，实数a的取值范围为(－∞，－2).
【难易程度】中等题
12.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)

第12题图(ZX061)
A.6 B.6 C.4 D.4
【测量目标】三视图
【考查方式】根据三视图求棱长
【参考答案】B　
【试题解析】 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥 (其中E为的中点)，其中最长的棱为＝＝6.

第12题图(ZX062)
【难易程度】容易题
二、填空题
13.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]的展开式中的系数为________.(用数字填写答案)
【测量目标】二项式定理
【考查方式】利用二项式定理求某项的系数.
【参考答案】－20　
【试题解析】的展开式中的系数为，的系数为，故的展开式中的系数为8－28＝－20.
【难易程度】容易题
14.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.
【测量目标】考查逻辑思维能力
【考查方式】以实际情境为载体考查学生逻辑思维能力
【参考答案】A
【试题解析】由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市.
【难易程度】容易题
15.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________.
【测量目标】圆的性质与向量运算.
【考查方式】根据圆的性质的出向量的夹角
【参考答案】.90°　
【试题解析】由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即与的夹角为90°.
【难易程度】容易题
16.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________.
【测量目标】考查正弦定理与余弦定理及基本不等式.
【考查方式】根据正弦定理与余弦定理及基本不等式求解三角形最大面积
【参考答案】
【试题解析】根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得，根据余弦定理得cos A＝＝，所以A＝.根据及基本不等式得，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为.
【难易程度】中等题
三、解答题
17. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列的前n项和为，＝1，≠0，＝，其中λ为常数.
(1)证明：
(2)是否存在λ，使得为等差数列？并说明理由.
【测量目标】考查等差数列
【考查方式】根据等差数列知识完成证明，求出使得为等差数列的参数
【试题解析】(1)证明：由题设，，，两式相减得.因为，所以.(2)由题设，＝1，＝，可得＝λ－1，由(1)知，＝λ＋1.若为等差数列，则，解得λ＝4，故.由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，＝4n－3；是首项为3，公差为4的等差数列，.所以＝2n－1，＝2.因此存在λ＝4，使得数列为等差数列.
【难易程度】中等题
18. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：

第18题图(ZX063)
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差.
(i)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.
附：≈12.2.若Z～N(μ，)，则p(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，p(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.
【测量目标】考查平均数和方差及正态分布
【考查方式】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率.
【试题解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：平均数＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.＝×0.02＋×0.09＋×0.22＋0×0.33＋×0.24＋×0.08＋×0.02＝150.(2)(i)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以EX＝100×0.682 6＝68.26.
【难易程度】中等题
19. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]三棱柱中，底面为菱形，AB⊥.
(1)证明：AC＝；
(2)若AC⊥，∠＝60°，AB＝BC，求二面角的余弦值.

第19题图(ZX064)
【测量目标】立体几何直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系
【考查方式】给出立体几何求证直线与直线相等及二面角的余弦值
【试题解析】(1)证明：连接，交于点O，连接AO，因为侧面为菱形，所以⊥，且O为及的中点.又AB⊥，所以⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故⊥AO.又＝CO，故AC＝.(2)因为AC⊥，且O为的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以.故OA⊥OB，从而OA，OB，两两垂直.以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.因为∠，所以为等边三角形，又AB＝BC，则A，B(1，0，0)，B1，C.＝，＝，＝.
设n＝(x，y，z)是平面的法向量，则即，所以可取n＝(1，，).设m是平面的法向量，则同理可取m＝(1，－，).则cos〈n，m〉＝＝.所以结合图形知二面角的余弦值为.

第19题图(ZX065)
【难易程度】中等题
20.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当的面积最大时，求l的方程.
【测量目标】考查圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线的性质
【考查方式】根据条件写出椭圆方程及一条直线与椭圆相交围成面积最大时直线方程
【试题解析】(1)设F(c，0)，由条件知，，得c＝.又，所以a＝2，.故E的方程为.(2)当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y＝kx－2，，.将y＝kx－2代入得，当，即时，，
从而＝.又点O到直线l的距离d＝.所以△OPQ的面积＝d·|PQ|＝.，设＝t，则t>0，＝因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足>0，所以，当的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
【难易程度】较难题
21.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
【测量目标】考查导数的应用
【考查方式】给出函数及切线方程求参数a,b;完成证明
【试题解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，，由题意可得f(1)＝2，＝e，故a＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝，从而f(x)>1等价于设函数g(x)＝xln x，则＝1＋ln x，所以当x∈时， <0；当x∈时， >0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.设函数h(x)＝，则，所以当x∈(0，1)时，；当x∈(1，＋∞)时，.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
因为，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
【难易程度】较难题
22.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.

第22题图(ZX040)
【测量目标】圆的性质
【考查方式】根据圆的性质证明
【试题解析】(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.
【难易程度】容易题

第22题图(ZX041)
23.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修44：坐标系与参数方程
已知曲线C：，直线l (t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
【测量目标】考查参数方程
【考查方式】考查参数方程与普通方程的转换，并求|PA|的最大值与最小值
【试题解析】(1)曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin )到l的距离d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
【难易程度】中等题
24.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修45：不等式选讲
若a>0，b>0，且.
(1)求的最小值.
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.
【测量目标】不等式的运用
【考察方法】利用不等式求最值，求满足条件的参数的值
【试题解析】(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立.故≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立.所以的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4由于4>6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.
【难易程度】中等题