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谈谈新课程改革中“算法循环结构步骤图”教学

论文摘要：本文是分析新教材中“算法循环结构步骤图”类型、循环结构退出条件、循环结构和其它结构联络、和设计循环结构步骤图应注意事项等四个方面，其中关键谈到怎样把握和设计循环结构退出条件，着手探索算法循环结构步骤图教学。
关 键 词：步骤图；计数变数；循环结构
为了加强高中课程和社会发展、科技进步和学生生活联络，于是在高中课程改革时，高中数学新教材就增加了算法知识，并放在数学必修Ⅲ第一章。其中步骤图是算法中关键，而循环结构步骤图是一个难点，学生在学习时感到最困难是循环结构出口条件把握，也就是说何时应该退出循环结构实施下一步？退出时该用“>”还是“≥”，用“<”还是 “≤”？计数变量、累加变量初始值和终值分别是什么？循环结构中当型和直到型有何区分？等等，学生感到茫然。若学生掌握了步骤图，编程序就轻易了，所以我认为，加强对算法中循环结构分析和研究很有必需。下面结合具体问题谈谈我在学习新教材和实施“算法中循环结构步骤图”教学过程中认识和体会。
满足条件
循环体
是
否
图1当型循环结构

正如我们知道，“在部分算法中，也常常会出现从某处开始，根据一定条件，反复实施某一处步骤情况，这就是循环结构。反复实施步骤称为循环体。”【1】那么我们在教学中应该关注是什么呢？
关注问题一：循环结构有哪些类型？
依据对条件不一样处理，循环结构分为以下两种，
满足条件
循环体
是
否
图2直到型循环结构

（一）当型（while型）。“当型循环在每次实施循环体前对控制循环条件进行判定，当条件满足时实施循环体，不满足则停止；” 【2】当型循环有时也称为“前测试型”循环（图1）。
（二）直到型（until型）。“直到型循环在实施了一次循环体以后，对控制循环条件进行判定，当条件不满足时实施循环体，满足则停止。”【3】直到型循环又称为“后测试型”循环（图2）。
对同一个问题，通常来说既能够用当型，又能够用直到型。当然其步骤图（即程序框图）是有所不一样。
开始
I=0
S=0
I>=100?
输出S
S=S+I
I=I+1
结束
是
否
图4直到型循环结构
开始
I=0
S=0
I<100?
输出S
S=S+I
I=I+1
结束
是
否
图3当型循环结构
例1 设计一个计算1+2+3+…+100值程序框图。其当型循环结构程序框图是图3，直到型循环结构程序框图是图4。
循环结构不能是永无终止“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要判定框作出判定，所以，循环结构中一定包含判定框。
从以上例子还可看出当型循环判定条件“I<100?”和直到型循环判定条件 “I>=100?”刚好是相反。即在同一算法中，当型循环和直到型循环条件互为对立。
关注问题二：怎样把握和设计循环结构退出条件？
开始
t=0,i=1, p=1
p=p×i
i>46?
输出p
t=t+1
结束
是
否
i=i+t
图6直到型循环结构
开始
s=0,i=1
s=s+i
i>31?
输出s
i=i+2
结束
是
否
图5直到型循环结构
这里有必需先介绍计数变量和累加变量作用：计数变量是用于统计循环次数，同时它取值还用于判定循环是否终止；累加变量（或称累积变量）用于输出结果。
（一）计数变量和累加变量（或称累积变量）通常是同时实施，计数一次，就累加（或累积）一次。
例1中“I”是计数变量，“S”是累加变量。每对I计数一次，就对S累加一次，当I=100时，退出循环，此时循环次数刚好为100次。
（二）有时计数变量并没有正确统计循环次数。如：
例2 设计求1+3+5+7+…+31步骤图。
例2步骤图（图5）用是直到型循环，当中s是累加变量，i是计数变量，这里每对s累加一次，就对i计数一次，当i>31(即i=33)时要退出循环体，但此时循环次数却只有16次；
（三）有时计数变量有两个，一个用来判定循环是否结束，另一个用来正确统计循环次数。如：
否
开始
输入n
d=d+1
n>2?
结束
是
d+1整除n?
是
否
d=0
怎样退出循环？
d≥n-2?
否
是
输出“n不是质数”
输出“n是质数”
图7
例3 设计求1×2×4×7×…×46程序框图。
例3程序框图（图6）是直到型循环，当中t和i全部是计数变量，p是累积变量，每对t和i计数一次,就对p累积一次，其中t是控制循环次数，i是判定循环是否终止。当i>46(即i=56，t=9) 时，退出循环体，此时循环次数刚好是9次，只是在设计框图时不需人为算出t=9。
（四）有时要退出循环体，有计数变量还是无法真正退出循环结构。如
例4 任意给定一个大于1整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。算法以下：
第一步，判定n是否等于2。若n=2，则n是质数；若n>2，实施第二步。
第二步，依次从2～（n-1）检验是不是n因子，即整除n数。若有这么数，则n不是质数；若没有这么数，则n是质数。
依据算法直接画出程序框图（图7），这里d是计数变数，但此时当中红色粗线部分问题还没处理。
这就需要增加一个变量flag，它是用来判定是否为质数一个变量，该变量取值只有两个，“1”和“0”，若flag=1，则是质数；不然不是质数。flag并没有实质含义，那就象一个人姓名能代表她本人，其外号也可代表她本人，学号一样能代表她本人。而通常来说用学号管理更方便。“flag=1”只是质数一个代号。当然代号能够选别，如用b变量，“b=1是质数代号，而当b≠1时则不是质数”等等全部行。直到型循环结构图8是正确。
开始
输入n
d=d+1
n>2?
结束
是
否
输出“n不是质数”
d+1整除n?
是
否
d≥n-2或flag=0?
否
是
flag=1，d=0
flag=0
flag=1?
输出“n是质数”
是
否
图8直到型循环结构

该例中有计数变量d，d和flag取值全部是用于判定循环是否终止，在这里两变量缺一不可。我们在这里就把类似于 “flag” 这么作用变量叫做标志变量。标志变量并不统计循环次数，它只用来控制循环体结束。
（五）有时循环体中并无计数变量，且循环次数是不能确定。以上例1，例2，例3中全部有计数变量，且循环体循环次数全部是确定，而在例4中循环次数是不确定，有0，1，2，…，n-2次多个可能。又比如
例5 用二分法设计一个求方程x2-2=0正近似根算法（正确到ε＝0.005）。
第一步：令f(x)= x2-2，因为f(1)<0，f(2)>0，则根在区间（1，2），设x1=1,x2=2，即根在区间（x1 ，x2）。
第二步：令m=，计算f(m)值，并判定f(m)是否为0。若是，则m为所求根；若否，则继续实施以下步骤。
第三步：若f(x1)•f(m)>0，知f(m) •f(x2)<0，则根在区间（m, x2），令x1=m；不然根在区间（x1 ,m），令x2=m。
开始
f(x)=x2-2
m=，f(m)=m2-1
f(m)=0?
输出m
x1=m
结束
输入误差ε和初始值x1，x2
f(x1)·f(m)>0?
x2=m
a<ε?
否
否
是
是
是
否
m=
a=|x1 -x2|
图9直到型循环结构
x1=m，x2=m
第四步：判定|x1—x2|<ε（即|x1—x2|<0.005）是否成立？若是，则令m=，m为满足条件近似根；若否，则返回第二步。
其框图图9（是直到型循环结构），这里并无计数变量，而用来判定循环是否终止只是标志变量a。其循环次数最多为（这里x1，x2是初始值），但实际上并不知道其实际循环次数。
关注问题三：循环结构和其它结构有何联络？
1． 循环结构中全部有次序结构。
2． 条件结构嵌套着循环结构，图8。
3． 循环结构嵌套着条件结构，图8，图9。
4． 循环结构嵌套着循环结构，图10（是一个相关九九表步骤图）
最终谈谈设计循环结构步骤图应注意事项：
1． 计数变量和累加变量（或累积变量）分别代表什么？有什么作用？
2． 两个变量（计数变量和累加变量）初始值、终值分别是多少？
3． 计数变数递加值（即步长）有多大？
4． 退出循环体时判定框中计数变量取值限制，用“>”还是“≥”？用“<”还是 “≤”？
开始
k=1,i=1
k=i
i=i+1
结束
N
Y
a=kxi
i<=9？
图10当型循环嵌套当型循环
k<=9？
输出k;“x”;i;“=”;a
k=k+1
Y
N
5． 不要遗漏步骤线箭头，也不要忘记在判定框相连步骤在线写“是”（或“Y”），“否”（或“N“），还要注意当型中“是”实施循环体，直到型中“是”退出循环体。
6． 当碰到条件结构嵌套着循环结构，或循环结构嵌套着条件结构，或循环结构嵌套着循环结构时，注意一定要把整个结构套进去，就象大盆装小盆，要完整装好，不能溢出。
7． 循环结构通常只有一个进口，一个出口。在二分法图9中，循环体中设计了一个进口，一个出口，只有这么才能顺利转化为程序语言。

【1】一般高中课程标准试验教科书《数学3》（A版）人民教育出版社，,5第1版P9
【2】【3】一般高中课程标准试验教科书《数学3》（A版）人民教育出版社，,5第1版P10
参考文件
①一般高中课程标准试验教科书《数学3》（A版）人民教育出版社，,5第1版
②《中学教材全解 高中数学必修③》主编: 薛金星，陕西人民教育出版社，，1第1版，,2第1版
③《高中同时测控优化设计》主编：任志鸿，南方出版社,12第2版，,1第3版

论文题目：谈谈新课程改革中“算法循环结构步骤图”教学
作者：卢丽英
单位：东莞中学数学科
联络电话：22119827 ，