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谈谈新课程改革中“算法循环结构步骤图”教学

论文摘要：本文是分析新教材中“算法循环结构步骤图”类型、循环结构退出条件、循环结构和其它结构联络、和设计循环结构步骤图应注意事项等四个方面，其中关键谈到怎样把握和设计循环结构退出条件，着手探索算法循环结构步骤图教学。
关 键 词：步骤图；计数变数；循环结构
为了加强高中课程和社会发展、科技进步和学生生活联络，于是在高中课程改革时，高中数学新教材就增加了算法知识，并放在数学必修Ⅲ第一章。其中步骤图是算法中关键，而循环结构步骤图是一个难点学生在学习时感到最困难是循环结构出口条件把握，也就是说何时应该退出循环结构实施下一步？退出时该用“>”还是“≥”，用“<”还是 “≤”？计数变量、累加变量初始值和终值分别是什么？循环结构中当型和直到型有何区分？等等，学生感到茫然。若学生掌握了步骤图，编程序就轻易了，所以我认为，加强对算法中循环结构分析和研究很有必需。下面结合具体问题谈谈我在学习新教材和实施“算法中循环结构步骤图”教学过程中认识和体会。
满足条件
循环体
是
否
图1当型循环结构

正如我们知道，“在部分算法中，也常常会出现从某处开始，根据一定条件，反复实施某一处步骤情况，这就是循环结构。反复实施步骤称为循环体。1】那么我们在教学中应该关注是什么呢？
关注问题一：循环结构有哪些类型？
依据对条件不一样处理，循环结构分为以下两种，
满足条件
循环体
是
否
图2直到型循环结构

（一）当型（while型）。“当型循环在每次实施循环体前对控制循环条件进行判定，当条件满足时实施循环体，不满足则停止；” 【2】当型循环有时也称为“前测试型”循环（图1）。
（二）直到型（until型）。“直到型循环在实施了一次循环体以后，对控制循环条件进行判定，当条件不满足时实施循环体，满足则停止。”【3】直到型循环又称为“后测试型”循环（图2）。
对同一个问题，通常来说既能够用当型，又能够用直到型。当然其步骤图（即程序框图）是有所不一样。
开始
I=0
S=0
I>=100?
输出S
S=S+I
I=I+1
结束
是
否
图4直到型循环结构
开始
I=0
S=0
I<100?
输出S
S=S+I
I=I+1
结束
是
否
图3当型循环结构
例1 设计一个计算1+2+3+…+100值程序框图。其当型循环结构程序框图是图3，直到型循环结构程序框图是图4。
循环结构不能是永无终止“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要判定框作出判定，所以，循环结构中一定包含判定框。
从以上例子还可看出当型循环判定条件“I<100?”和直到型循环判定条件 “I>=100?”刚好是相反。即在同一算法中，当型循环和直到型循环条件互为对立。
关注问题二：怎样把握和设计循环结构退出条件？
开始
t=0,i=1, p=1
p=p×i
i>46?
输出p
t=t+1
结束
是
否
i=i+t
图6直到型循环结构
开始
s=0,i=1
s=s+i
i>31?
输出s
i=i+2
结束
是
否
图5直到型循环结构
这里有必需先介绍计数变量和累加变量作用：计数变量是用于统计循环次数，同时它取值还用于判定循环是否终止；累加变量（或称累积变量）用于输出结果。
（一）计数变量和累加变量（或称累积变量）通常是同时实施，计数一次，就累加（或累积）一次。
例1中“I”是计数变量，“S”是累加变量。每对I计数一次，就对S累加一次，当I=100时，退出循环，此时循环次数刚好为100次。
（二）有时计数变量并没有正确统计循环次数。如：
例2 设计求1+3+5+7+…+31步骤图。
例2步骤图（图5）用是直到型循环，当中s是累加变量，i是计数变量，这里每对s累加一次，就对i计数一次，当i>31(即i=33)时要退出循环体，但此时循环次数却只有16次；
（三）有时计数变量有两个，一个用来判定循环是否结束，另一个用来正确统计循环次数。如：
否
开始
输入n
d=d+1
n>2?

结束
是
d+1整除n?
是
否
d=0
怎样退出循环？
d≥n-2?
否
是
输出“n不是质数”
输出“n是质数”
图7
例3 设计求1×2×4×7×…×46程序框图。
例3程序框图（图6）是直到型循环，当中t和i全部是计数变量，p是累积变量，每对t和i计数一次,就对p累积一次，其中t是控制循环次数，i是判定循环是否终止。当i>46(即i=56，t=9) 时，退出循环体，此时循环次数刚好是9次，只是在设计框图时不需人为算出t=9。
（四）有时要退出循环体，有计数变量还是无法真正退出循环结构。如
例4 任意给定一个大于1整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。算法以下：
第一步，判定n是否等于2。若n=2，则n是质数；若n>2，实施第二步。
第二步，依次从2～（n-1）检验是不是n因子，即整除n数。若有这么数，则n不是质数；若没有这么数，则n是质数。
依据算法直接画出程序框图（图7），这里d是计数变数，但此时当中红色粗线部分问题还没处理。
这就需要增加一个变量flag，它是用来判定是否为质数一个变量，该变量取值只有两个，“1”和“0”，若flag=1，则是质数；不然不是质数。flag并没有实质含义，那就象一个人姓名能代表她本人，其外号也可代表她本人，学号一样能代表她本人。而通常来说用学号管理更方便。“flag=1只是质数一个代号。当然代号能够选别，如用b变量，“b=1是质数代号，而当b≠1时则不是质数”等等全部行。直到型循环结构图8是正确。
开始
输入n
d=d+1
n>2?
结束
是
否
输出“n不是质数”
d+1整除n?
是
否
d≥n-2或flag=0?
否
是
flag=1，d=0
flag=0
flag=1?
输出“n是质数”
是
否
图8直到型循环结构

该例中有计数变量d，d和flag取值全部是用于判定循环是否终止，在这里两变量缺一不可。我们在这里就把类似于 “flag” 这么作用变量叫做标志变量。标志变量并不统计循环次数，它只用来控制循环体结束。
（五）有时循环体中并无计数变量，且循环次数是不能确定。以上例1，例2，例3中全部有计数变量，且循环体循环次数全部是确定，而在例4中循环次数是不确定，有0，1，2，…，n-2次多个可能。又比如
例5 用二分法设计一个求方程x2-2=0正近似根算法（正确到ε＝0.005）。
第一步：令f(x)= x2-2，因为f(1)<0，f(2)>0，则根在区间（1，2），设x1=1,x2=2，即根在区间（x1 ，x2）。
第二步：令m=，计算f(m)值，并判定f(m)是否为0。若是，则m为所求根；若否，则继续实施以下步骤。
第三步：若f(x1)•f(m)>0，知f(m) •f(x2)<0，则根在区间（m, x2），令x1=m；不然根在区间（x1 ,m），令x2=m。
开始
f(x)=x2-2
m=，f(m)=m2-1
f(m)=0?
输出m
x1=m
结束
输入误差ε和初始值x1，x2
f(x1)·f(m)>0?
x2=m
a<ε?
否
否
是
是
是
否
m=
a=|x1 -x2|
图9直到型循环结构
x1=m，x2=m
第四步：判定|x1—x2|<ε（即|x1—x2|<0.005）是否成立？若是，则令m=，m为满足条件近似根；若否，则返回第二步。
其框图图9（是直到型循环结构），这里并无计数变量，而用来判定循环是否终止只是标志变量a。其循环次数最多为（这里x1，x2是初始值），但实际上并不知道其实际循环次数。
关注问题三：循环结构和其它结构有何联络？
1． 循环结构中全部有次序结构。
2． 条件结构嵌套着循环结构，图8。
3． 循环结构嵌套着条件结构，图8，图9。
4． 循环结构嵌套着循环结构，图10（是一个相关九九表步骤图）
最终谈谈设计循环结构步骤图应注意事项：
1． 计数变量和累加变量（或累积变量）分别代表什么？有什么作用？
2． 两个变量（计数变量和累加变量）初始值、终值分别是多少？
3． 计数变数递加值（即步长）有多大？
4． 退出循环体时判定框中计数变量取值限制，用“>”还是“≥”？用“<”还是 “≤”？
开始
k=1,i=1
k=i
i=i+1
结束
N
Y
a=kxi
i<=9？
图10当型循环嵌套当型循环
k<=9？
输出k;“x”;i;“=”;a
k=k+1
Y
N
5． 不要遗漏步骤线箭头，也不要忘记在判定框相连步骤在线写“是”（或“Y”），“否”（或“N“），还要注意当型中“是”实施循环体，直到型中“是”退出循环体。
6． 当碰到条件结构嵌套着循环结构，或循环结构嵌套着条件结构，或循环结构嵌套着循环结构时，注意一定要把整个结构套进去，就象大盆装小盆，要完整装好，不能溢出。
7． 循环结构通常只有一个进口，一个出口。在二分法图9中，循环体中设计了一个进口，一个出口，只有这么才能顺利转化为程序语言。

【1】一般高中课程标准试验教科书《数学3》（A版）人民教育出版社，,5第1版P9
【2】【3】一般高中课程标准试验教科书《数学3》（A版）人民教育出版社，,5第1版P10
参考文件
①一般高中课程标准试验教科书《数学3》（A版）人民教育出版社，,5第1版
②《中学教材全解 高中数学必修③》主编: 薛金星，陕西人民教育出版社，，1第1版，,2第1版
③《高中同时测控优化设计》主编：任志鸿，南方出版社,12第2版，,1第3版

论文题目：谈谈新课程改革中“算法循环结构步骤图”教学
作者：卢丽英
单位：东莞中学数学科
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