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禽流感地域扩散模型及应急方案

【摘要】
我们把全部家禽分为易感者、潜伏者、传染者和死亡者 4种类型,分析了它们之间疫病传输关系,建立了对应微分方程模型,即高致病性禽流感传输机理SEID模型，经过对模型进行参数分析，得出了参数在防治禽流感工作中现实意义。
考虑到在SEID模型假设情况下，最终几乎全部家禽全部死光了，这显然不符合实际情况，我们对此模型做了改善，补充考虑了健康家禽繁殖率和政府干预致使感染家禽死亡率增加这两个原因。在改善后模型假设情况下，最终家禽死亡者百分比有所降低，健康者趋于一定值，这是比较符合禽流感在实际生活中传输。
以上两个模型均是禽和禽之间传输，为了说明禽流感对人类影响，我们
深入建立了禽和人之间病毒传输模型。在此模型中，为了描述禽流感疫情对人类影响，我们引入了疫情总指标函数概念，经过函数引入，我们简化了很多原因，建立了一个比较简单微分方程模型。并利用差分思想进行了连续函数离散化。因为人类感染禽流感关键是直接接触带病毒禽类，而人和人之间是不传输，我们直接用来替换感染者家禽规模。考虑到已发病禽类，潜伏期禽类和死亡禽类对于人威胁是不一样，所以我们对此给定不一样权值。以此得到疫情总指标函数.在模型中，我们用时刻疫情总指标来替换时刻致病家禽规模，对建立模型进行定性分析，我们得到伴随禽流感传输，大部分人全部经历了一个由易感者到感染者最终又到移除者转变，最终全部变为有免疫移除者。
借助上述模型建立，我们分析了地方政府干预行为对疫病扩散影响,意在探索遏止疫病蔓延有效手段。

关键词：高致病性禽流感、传输、微分方程、模型、改善模型、应急方法、禽人传输模型

一、问题重述和分析
最近甲型流感成为热门话题，因为它爆发含有全球性。相正确，另一个流感：禽流感更含有威胁性。这种流感被世界卫生组织列为关键监控对象。认为亚洲东南亚地域，包含中国广东会成为下次潜在爆发点。请以广东（或全球）为考虑区域，结合禽流感病毒特征和人口学等，建立一个禽流感扩散模型，并制订有效应急方案。
禽流感是由A型流感病毒引发一个禽类(家禽和野禽)传染病1它呈世界性地存在和发生,世界动物卫生组织(OIE)将其列为A类动物疾病,中国政府也将其列为一类动物疫病1根据病毒致病能力,A型禽流感病毒感染家禽能够分为2个不一样类型,即高致病性禽流感和低致病性禽流感。高致病性禽流感通常是由或亚型流感病毒所引发、禽群死亡率大于70%流感,高致病性禽流感常能够造成100%死亡率。含有发病急、传输快、致死率高特点。很多家禽如鸡、火鸡、珍珠鸡、鹌鹑、鸭、鹅等全部可感染发病,其中以火鸡和鸡最为易感,发病率和死亡率全部很高,常见多个家禽中,鸡发病率为58. 8% ,但假如感染高致病性禽流感病毒,整个鸡群会在2 d内覆灭1鸭发病率为35. 25% ,可能出现感染病毒后不发病,但一直排毒情况。禽流感爆发对养殖业是致命性打击。
二、模型假设
依据中国高致病性禽流感疫情和相关统计数据,做出以下简化假设:
Ⅰ、本模型关键考虑鸡、鸭、鹅3种最常见家禽,在模型中对这3类家禽不区分看待。不考虑疫病对上面3种家禽以外动物传染。禽流感病毒直接感染人类发生几率很小,已知发病病例表明感染禽流感大部分为儿童或老人,还有免疫力和抵御力较弱且有和病禽亲密接触史,所以也不考虑疫病对人类传染。
Ⅱ、疫点是指病禽所在禽场(户)或其它屠宰、经营单位,散养将病禽所在自然村作为疫点;疫区是指以疫点为中心,半径3 范围内区域;受威胁区是指疫区周围5 内区域。除此之外为非疫区。本模型只考虑疫点和疫区。
Ⅲ、在疫病流行期间,疫点和疫区家禽总数保持不变,既不考虑新出生和自然死亡,也不考虑迁移(输入和输出)情况。
Ⅳ、全部家禽分为易感者 、潜伏者、传染者和死亡者4类。易感者是指对病毒没有免疫力健康家禽；潜伏者是指已经感染病毒,但还未发病家禽；传染者是指已经感染病毒,且已经
发病家禽；死亡者是指发病死亡家禽。因为高致病性禽流感几乎没有治愈可能, 所以假定不存在治愈者。t时刻4 类家禽数量占家禽总数百分比分别记作、、和。再记初始时刻( t = 0)易感者、潜伏者、传染者和死亡者数量分别为、、和。
Ⅴ、疫病传输关键经过3个路径：
①、传染者有效接触易感者，这里“有效接触”是指足以致病接触,比如传染者排泄物对周围环境和水源污染，和传染者经过空气传媒对周围易感者传染；假设每个传染者天天有效接触家禽平均数量为。
②、潜伏者有效接触易感者，比如潜伏者排泄物对周围环境和水源污染，和潜伏者经过空气传媒对周围易感者传染；假设每个潜伏者天天有效接触家禽平均数量为。
③、死亡者有效接触易感者，比如死亡者尸体对周围环境和水源污染；假设每个死亡者天天有效接触家禽平均数量为。
Ⅵ、易感者有效接触传染者、潜伏者和死亡者，就有可能转化为传染者或潜伏者， 转化为传染者和潜伏者数量占被有效接触易感者总数百分比分别为和。
Ⅶ、潜伏者在经过潜伏期后会发病,转化为传染者。天天发病潜伏者数量占潜伏者总数百分比为，称为转化率。
Ⅷ、传染者会在一段时间内死亡。天天死亡传染者占传染者总数百分比为，称为死亡率。
总而言之, 4类家禽之间转化关系图一所表示。[1]
图一：四类家禽之间转化关系

三．模型符号说明
：表示区域在时刻易感家禽占该区域家禽总数百分比。
：表示区域在时刻潜伏者家禽占该区域家禽总数百分比。
：表示区域在时刻感染家禽占该区域家禽总数百分比。
：表示区域在时刻移除家禽占该区域家禽总数百分比。
：表示区域在时刻家禽总数。
： 表示每个感染者天天有效接触家禽数量。
： 表示每个潜伏者天天平全部有效接触家禽数量。
： 表示每个死亡者天天平全部有效接触家禽数量。
：表示天天发病个体占总潜伏者百分比。
：表示天天死亡个体占总感染者百分比，即为死亡率。
：表示在有效接触过程中转化为感染家禽占总有效接触家禽百分比。则转化为潜伏者概率为。
：表示经人工免疫个体占总数百分比。

四、模型建立和求解
4.1、至全球疫情分析。

表一：全球关键疫情感染国家禽流感疫情统计图
国家
柬埔寨
中国
吉布提
埃及
印尼
伊拉克
泰国
土耳其
越南
阿塞拜疆
累计

感染病例
4
8
0
0
20
0
5
0
61
0
98
死亡病例
4
5
0
0
13
0
2
0
19
0
43

感染病例
2
13
1
18
55
3
3
12
0
8
115
死亡病例
2
8
0
10
45
2
3
4
0
5
79

感染病例
1
5
0
25
42
0
0
0
8
0
81
死亡病例
1
3
0
9
37
0
0
0
5
0
55
累计感染人数
7
26
1
43
117
3
8
12
69
8
294
累计死亡人数
7
16
0
19
95
2
5
4
24
5
177
死亡率
100.00%
61.54%
0.00%
44.19%
81.20%
66.67%
62.50%
33.33%
34.78%
62.50%
60.20%

从以上表格能够看出这三年中禽流感在世界局部地域传输，即使在人群中发觉了人感染禽流感病例，但关键禽流感感染对象为禽类。
对于禽流感发病，对应地域死亡率会有很大差异，从上面能够看出吉布提、越南、土耳其死亡率全部在35%以内。相反比如柬埔寨、印尼死亡率很高，在80%以上。这关键和当地医疗技术水平和政府干预方法是相关。从上面我们能够定性得出结论，在一定医疗水平和政府干预方法下，该疫情是能够得到有效地预防和控制。[2]

从全球总疫情来看疫情是高峰期，全球平均死亡率为60.20%,该表格大致反应了目前全球面对疫情所表现出来总体形势。总体感染病例和死亡病例展现出了先增加，然后下降态势。说明大家伴随对疫情了解，采取对应应急方法，疫情初步得到了控制。

4.2、禽流感在禽类中流行传输微分方程模型。
在该模型中，我们考虑模型中有易感者、感染者、移出者、潜伏者四部分组成，即由假设（4）显然有：
（1）
因为该种病毒传染性极高，我们考虑，对于每次有效接触，使得其转化为致病者百分比为有效接触数倍，转化为潜伏者百分比为其总数。其中每个感染者天天有效接触数为，每个潜伏者天天有效接触数为。故满足以下微分方程：
（2）
对于潜伏者其一部分转化为感染者，其中天天发病个体占潜伏者百分比为；同时也会有易感者转化而来，易感者天天转化而来量，由可知为，故可得：
（3）
对于感染者可由潜伏者和易感者转化而来，由上面内容可知易感者转化为感染者数量为，潜伏者转化为感染者数量为，感染者转化为移除者,即表示致死数量为，故可有以下微分方程：
（4）
对于那些感染致死个体有以下微分方程：
（5）
因为不能取得一次禽流感爆发中不一样时期家禽感染数量确实切统计数字,这里只能依据现有对疫情了解,假设数据进行数值计算。设初始状态易感者、感染者、潜伏者、死亡者百分比分别为：

初始总群体数量为。

设感染者、潜伏者、死亡者有效接触数量分别为：，，
设有效接触过程中转化为感染家禽占总有效接触家禽百分比为：。

该模型可化为以下：

（6）
4.3、模型求解及参数分析。
4.3.1、模型求解
依据上述假定参数值，我们利用编程对模型求解，画出各个变量随时间改变图以下：

图二：模型中各变量随时间改变情况

从图二能够看出:
（1）由初值单调降低,至t = 3时已经靠近于零。实际上,从方程( 2)能够看出,， 所以s ( t)单调降低, 又s ( t) ≥0有界,于是存在,由图三能够看出=0.
（2）由初值增加至t = 2时达成最大值,然后降低趋向于零。由方程（3），当，即时, e ( t)达成最大值。也就是说,当新增潜伏者数量等于转化成传染者潜伏者数量时, 潜伏者数量最多。
（3）i ( t)由初值增加至t = 2时达成最大值,然后降低趋向于零。i ( t)情况和e ( t)相同,由方程( 4)可知,当时, i ( t)达成最大值。
（4）d ( t)由初值单调增加,开始时增加速度加紧,至t≈4~6时有一拐点, 以后增加速度减慢, 趋向于1。由方程(5) ，，而且由前面分析, i ( t)先增加后降低, 所以也先增加后降低,即d ( t)先上凸以后下凸, 拐点满足等式
。
上面分析说明,在模型假设情况下,易感者数量连续下降,到第3 d已经靠近于零,潜伏者和传染者数量全部是先增加再降低,在第2 d达成峰值,以后逐步递减到零,而死亡者数量一直增加,增加速度先加紧后减慢,最终几乎全部家禽全部死亡了。
4.3.2、参数分析
因为模型缺乏实际数据,参数值无法估量,所以只能定性地分析参数作用。
4.3.2.1、对参数αβγ讨论
当从2时，增大为4时，经过求出微分方程数值解。画出以下图三：

图三
是传染者天天有效接触家禽平均数量，家禽喂养规模、密度、管理水平、卫生条件、消毒方法全部会对该参数产生影响。通常来说，喂养规模越大，密度越高，就越大。从图中能够看到，越大，曲线改变加紧。也就是说，每一个传染者天天有效接触数越多，病毒传染地越快。越大，潜伏者和感染者数量增加地越快，这深入说明流感传输强度加大了。同时我们能够看到，当增加时，感染病毒家禽数愈加快达成峰值，病毒传输地愈加快，这无疑加大了病毒防治力度。
是每一个在潜伏期家禽天天有效接触易感家禽平均数量。是每一个死亡家禽有效接触易感家禽平均数量。这两个参数和对传染效果影响是一样。当，值增大时，病毒传输愈加快，波及范围更广。
当将，，值分别减小至0.1时，这能够了解为政府采取了一定方法，比如将和患病家禽和和患病家禽接触过家禽全部捕杀，经过求解能够得到以下图四：

图四
分析曲线改变趋势，我们能够看到，曲线改变显著变慢，这表明感染速度变慢，和改变也减慢，这在一定程度上表明疫情得到了一定控制。
所以为了愈加好地防治流感，首先要加强监督，立即发觉处于潜伏期家禽，同时，因为禽流感高致病率，对于那些和感染家禽接触易感家禽，应该立即捕杀。对于那些感染病毒致死家禽尸体要立即掩埋，从而隔断传染源。理论分析表明，隔离速度越快越好，隔离范围越广越好。其次，对于家禽养殖者来说，应该时常给养殖场通风，减小养殖密度。
对于疑似病例，应该立即汇报，从而降低禽流感大面积爆发可能。
4.3.2.2、对参数μλν讨论
是易感者接触病毒以后转化成传染者百分比，对应是易感者转化成潜伏者百分比。在没有采取方法情况下，只和病毒本身特征相关。当从0.5减小到0.1时，经过求解我们能够得到以下图五

分析图中曲线改变趋势，我们能够看到，当增加时，潜伏期家禽百分比增加变快，感染家禽数量增加变慢。这对于流感防治是有主动意义。
所以，为了有效地减慢禽流感病毒，我们能够加入人为干预力量。比如对家禽注射疫苗，首先对于未染病家禽进行疫苗注射，加强免疫力，使其转化成潜伏者不过不发病。尤其禽流感爆发早期，对家禽注射疫苗，能够有效地防治流感大规模爆发。不过注射疫苗最好在禽流感爆发早期，不然潜伏者数量过大，不仅不能达成预期效果，还会促进其发病。
是每一天潜伏者转化成传染者百分比，它和相同，在没有外界干预条件下，它和传染病本身特征相关。当降低时，利用得到图六以下：

图六
观察曲线能够发觉，当减小时，增加变快，而增加变慢，潜伏期
家禽百分比增加，患病家禽百分比减小。实际上，值减小也能够经过注射疫苗来实现。
是死亡率，在模型假设中，我们假设禽流感病毒死亡率是，所以这个参数无法经过采取人为方法来降低。
4.3.2.3、对初值s0、e0、i0和d0讨论
表示初始时刻易感家禽占家禽总数百分比，表示发病家禽占家禽总数百分比，表示潜伏期家禽占家禽总数百分比，表示已死亡家禽占家禽总数百分比。很显著，不一样百分比表现是发觉疫情早晚。改变初始时刻值，经过求解得到图七以下：

图七
经过两个图形对比我们发觉，疫情发觉越晚，病毒传输地越快，对禽流感控制来说越不利，对经济和社会造成负面影响也就越大。所以，为了有效地防治传染病，政府要切实加强禽流感病毒检测工作，加大检测范围，提升检测密度和概率，正确做出疫病风险估计，立即采取防范性方法，维持信息透明度，预防地方和个人隐瞒疫情。争取在流感爆发早期，能够采取有效方法，将经济损失和不良社会影响降到最低。
4.4、模型改善
经过以上对参数讨论我们看到全部经过参数讨论所得到结果中总趋势是大致相同，即最终易感者、感染者、潜伏者百分比全部趋于零，而且趋于零趋势很快，而死亡者所占百分比快速趋于1。这在实际情形中是和现实不符。
考虑到如上传染模式，这个系统中只有出口，没有入口，所以不管那一个情况最终全部会造成收敛于如上情形，只是因为其中参数不一样收敛速度会有所差异。所以我们考虑对模型改善。
我们这里引入了产生新生个体模式，同时考虑了繁殖率所引发系统数量增加。所以我们只需要对上述（2）式做以下改善。
我们认为潜伏者和易感者会产生新个体而且繁殖率是相当。均为。则有改善后（2）式以下：
（7）
考虑到政府干预方法，对于一个疫区已经发觉为感染者会采取焚烧，埋
杀等方法，造成死亡率会升高，我们假设因为每次政府干预方法造成死亡感染者百分比为定值，则我们仅对上述（5）式改善以下：
（8）
我们设如上参数分别为：、，对上述改善后模型进行求解分析以下：
图八：改善后模型中各变量随时间改变情况

由上图能够看出来，改善后模型较原来模型更符合实际情况，新模型中易感者在最开始出现了一个小波峰，这是因为最初健康群占多数，只有很小一部分感染者，病毒传输速度较慢，而在最开始繁殖者率影响更占优势。在模拟最终阶段内易感百分比还是很小，这是此模型不足之处，我们认为这是因为改善后模型考虑原因仍然不够根本，部分原因造成易感者百分比增加也会使随即潜伏者和感染者百分比增大，所以又更多传染给易感者。死亡率尽管仍然一直在上升，不过它上升速度已较第一个模型平缓了很多；潜伏者和感染者百分比也有显著上升。该模型较第一个模型已经有所改善。
4.5、禽类和人之间传输模型。

因为该病毒特征，我们不考虑人和人之间病毒传输，即我们仅仅考虑禽传染给人扩散模型。[3]

图九：人类所受到禽流感威胁示意图

但因为该题目标特殊性，人来自禽流感威胁关键来自感染者、潜伏者和致死者，但这三者对人类威胁是不一样，比如，我们考虑到潜伏者所产生威胁对人类来说是最大，而感染者和致死者因为大家会提升警惕，所以所产生威胁会小部分。不妨我们设它们权值分别为：。

为了愈加好表示该综合影响对人类产生威胁，我们引入疫情总指标函数[4]，来表示其对总体情况对人类影响。定义以下：
（9）
其中、、
综合以上模型所产生结果，经过计算我们能够得到以下改变趋势
为：
图十：疫情总指标值随时间改变示意图

经过对上述问题分析我们认为这条曲线很好放映了我们目前疫情总体情况，经过图形我们发觉疫情总体上是经历了一个先上升发展，以后又稳固下降趋势，该趋势使符合我们日常生活规律。该图上能够显著看到四个时期，如上图所标、、、四个区，在区疫情处于初始发展期；区，疫情处于快速发展期，从图上能够看到该发展趋势是很快。区因为大家对和疫情认识加深，增加了防范方法，使得疫情快速下降。区表示疫情得到平息，大家生活恢复平静。
4.5.1、禽和人之间疾病传输微分方程模型。
经过上述分析，我们建立了疫情综合指标，为此我们降低了变量数模，简化了模型，下面考虑人禽疾病传输机理。
Ⅰ、模型假设
（1）、设总人数不变，恒为。人群分为健康者，病人，和病愈免疫移出者，记这三个量在中百分比分别为：、、。
（2）、每个致病家禽造成人致病天天有效接触数为，日治愈率为。
（3）、我们用来表示时刻疫情总指标值来替换致病家禽规模。
Ⅱ、模型建立
由假设（1）显然可知：
（10）
对于病愈免疫移除者应该有：
（11）
则改善后微分方程为：
（12）
我们设： ，我们将连续模型离散化进行求解得到随时间改变以下图所表示：
图十一：感染者和易感者随时间改变图：

从图上我们看到伴随禽流感传输，大部分人全部经历了一个由易感者到感染者最终又到移除者转变，最终全部变为有免疫移除者。
4.6、有效防治禽流感根本方法：
Ⅰ、封锁、隔离。凡有疫情出现农村及喂养场，当地畜牧兽医主管部门要立即划定疫区，并立即汇报当地政府，公布封锁令，并严禁疫区内全部村（场）禽类流动。隔离带范围可确定周围三至五公里，在这个范围内免疫足够安全。隔离带范围内限制禽类流动。
Ⅱ、捕杀病禽。以村、场为单位，捕杀全部禽流感阳性反应禽类和同群喂养其它禽类。
Ⅲ、无害化处理。对捕杀禽尸妖集中烧毁或深埋地下1.5米以下，并撒上石灰覆盖。
Ⅳ、消毒。应对养殖场所厩舍、场地、用具等设施进行根本消毒。
Ⅴ、疫情控制住以后，村（场）、户要从外省、外地引种喂养，应主动向当地畜牧兽医站汇报，做好引种检疫工作，严格把好引种关。平时喂养场、户要建立兽医卫生管理制度，加强常常性消毒工作。

五、模型意义和推广
进入以来,禽流感在亚洲、欧洲、非洲多个国家和地域展现卷土重来之势。这也验证了世界卫生组织以前判定,即禽流感病毒已在很多地域禽类中扎根,短期内根除十分困难。而有不少国家在禽流感防控方面还存在严重问题,关键原因是政府,尤其是地方政府难以把公众防疫工作和动物防疫工作很好地结合起来,不能有效地实施国际社会已达成共识禽流感防控战略,不能主动地配合中央政府进行防控等等。所以,建立高致病性禽流感传输模型,并应用于地方政府禽流感防控工作中,必将含相关键现实意义。
我们建立数学模型能够找出禽流感传输感染禽类数通常规律,分析它蔓延程度,预报其高潮到来,方便社会相关部门能立即采取方法,有效地预防和控制传染病蔓延. 当实际问题需要对所研究现实对象提供分析、预报、决议和控制方面定性结果时,往往全部离不开数学应用,而建立数学模型则是这个过程关键步骤.[5]
六、参考文件
[1] 梁瑞华.高致病性禽流感传输机理SEID模型构建及应用.信阳师范学院学报:自然科学版,第20卷第3期，7月
[2] Guilan Huang. Analysis of the geographic distribution of H5N1 events. Washington,D.C.September28-Octomber 1,
[3] R. Soares Magalhaes, D. Pfeiffer, B. Wieland, D. Dung, J. Otte.Commune-level Simulation Model of HPAI H5N1 Poultry Infection and Control in Viet Nam. Research Report. RR Nr. 06-07; September
[4] 韩中庚、宋明武、邵广纪，数学建模竞赛优异论文，科学出版社，
[5] 徐付霞，董永权，李电申.SARS传输模型.大学数学，第21卷第4期
8月