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月月考四 计数原理与概率、统计、算法、复数、推理与证明
第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足iz＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点的坐标为( ) A．(－4，－2) B．(－4,2) C．(4,2) D．(4，－2) 答案：D 解析：z＝2＋4ii＝(2＋4i)i－1＝4－2i，其在复平面内对应的点的坐标为(4，－2)，故选D. 2．(2017•山东卷，2)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z•z＝4，则a＝( ) A．1或－1 B.7或－7 C．－3 D.3 答案：A 解析：∵ z•z＝4，∴ |z|2＝4，即|z|＝2. ∵ z＝a＋3i，∴ |z|＝a2＋3，∴ a2＋3＝2， ∴ a＝±1.故选A. 3．某客运公司有200辆客车，为了解客车的耗油情况，现采用系统抽样的方法按1�w10的比例抽取一个样本进行检测，将客车依次编号为1,2，…，200，则其中抽取的4辆客车的编号可能是( ) A．3,23,63,102 B．31,61,87,127 C．103,133,153,193 D．57,68,98,108 答案：C 解析：用系统抽样的方法抽出的客车的编号从小到大成等差数列，因为抽取间距为10，故只需选项中的四个数是公差为10的等差数列中的部分项，故选C. 4．(2018•云川贵百校大联考)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为( ) 分数 1 2 3 4 5 人数 20 10 40 10 20 A.3 B．2.5 C．3.5 D．2.75 答案：A 解析：设这100个成绩的平均数为x，则x＝1100×(1×20＋2×10＋3×40＋4×10＋5×20)＝3. 5．(2018•云南师大附中月考)秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0,1,2，…，n.若n＝5，根据该算法计算当x＝2时多项式的值，则输出的结果为( ) A．248 B．258 C．268 D．278 答案：B 解析：该程序框图是计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝2时的值，f(2)＝258，故选B. 6．(2018•江西上饶一模)执行如图所示的程序框图，如果输出T＝6，那么判断框内应填入的条件是( ) A．k<32? B．k<33? C．k<64? D．k<65? 答案：C 解析：执行程序，T＝1×log24＝2，k＝4； T＝1×log24×log46，k＝6； T＝1×log24×log46×log68，k＝8； T＝1×log24×log46×log68×log810，…， ∴若输出T＝6，则T＝log226＝log264＝1×log24×log46×log68×…×log6264，此时k＝62＋2＝64，∴判断框内应填入的条件是k<64？. 7. 如图是总体密度曲线，下列说法正确的是( ) A．组距越大，频率分布折线图越接近于它 B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它 C．阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比 D．阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比 答案：C 解析：总体密度曲线与频率分布折线图关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，故A，B不正确．在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比，故选C. 8．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：由x2－5x＋4＝0的两根分别为1,4，所以有a＝1，b＝4或a＝4，b＝1. 又a,3,5,7的平均数是b. 即a＋3＋5＋74＝b，a＋154＝b，a＋15＝4b，所以a＝1，b＝4符合题意，则方差s2＝5. 9．(2018•泉州二模)若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象： ①2＋4＝6； ②8＋10＋12＝14＋16； ③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30； …… 按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为( ) A．29 B．30 C．31 D．32 答案：C 解析：由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝n[3＋(2n＋1)]2＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中． 10．(2018•山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.13 B.23 C.12 D.34 答案：C 解析：记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为12.故选C. 11．(2017•山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知i＝110xi＝225，i＝110yi＝1 600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A．160 B．163 C．166 D．170 答案：C 解析：∵ i＝110xi＝225，∴ x＝110i＝110xi＝22.5. ∵ i＝110yi＝1 600，∴ y＝110i＝110yi＝160. 又b^＝4，∴ a^＝y－b^x＝160－4×22.5＝70. ∴ 回归直线方程为y^＝4x＋70. 将x＝24代入上式得y^＝4×24＋70＝166. 故选C. 12．(2017•江西南城一中、高安中学等九校3月联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表. 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，得K2＝100×(45×22－20×13)265×35×58×42≈9.616. 参照下表， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 正确的结论是( ) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 答案：C 解析：K2≈9.616>6.635， ∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上． 13．(2018•济南模拟一)执行如图所示的程序框图，当输入的x为2 017时，输出的y＝________. 答案：4 解析：本题考查程序框图．由程序框图得当x＝－1时，循环结束，所以输出y＝3－(－1)＋1＝4. 14．(2018•广东佛山质检)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为________． 答案：26＋27＋…＋212 解析：∵8 128＝26×127，又由1－2n1－2＝127，解得n＝7.∴8 128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212. 15．(2017•江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案：18 解析：∵ 样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350， ∴ 应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)． 16．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________. 答案：24 23 解析：由茎叶图可知甲的平均数为 19＋18＋20＋21＋23＋22＋20＋31＋31＋3510＝24. 乙的平均数为 19＋17＋11＋21＋24＋22＋24＋30＋32＋3010＝23. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 已知复数z＝(1＋i1－i)2016＋(1－i)2(其中i为虚数单位)，若复数z的共轭复数为z－，且z－•z1＝4＋3i. (1)求复数z1； (2)若z1是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值，并求出方程x2－px＋q＝0的另一个复数根． 解析：(1)因为z＝(1＋i1－i)2016＋(1－i)2＝i2016－2i＝1－2i， 所以z－＝1＋2i，所以z1＝4＋3i1＋2i＝2－i. (2)由题意知(2－i)2－p(2－i)＋q＝0，化简得(3－2p＋q)＋(p－4)i＝0，所以3－2p＋q＝0且p－4＝0，解得p＝4，q＝5， 所以方程为x2－4x＋5＝0，即(x－2)2＝－1＝i2，解得另一个复数根为x＝2＋i. 18．(本小题满分12分) (2018•安徽“皖南八校”第二次联考)某学校为了分析在一次数学竞赛中甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽取了10个学生的成绩，成绩的茎叶图如下： (1)根据茎叶图，计算甲班被抽取学生成绩的平均值x及方差s2； (2)若规定成绩不低于90分的等级为优秀，现从甲、乙两个班级所抽取成绩等级为优秀的学生中，随机抽取2人，求这两个人恰好都来自甲班的概率． 解析：(1)根据茎叶图得，x＝110×(72＋81＋81＋83＋85＋87＋87＋90＋93＋101)＝86， s2＝110×[(72－86)2＋2×(81－86)2＋(83－86)2＋(85－86)2＋2×(87－86)2＋(90－86)2＋(93－86)2＋(101－86)2]＝110×(196＋50＋9＋1＋2＋16＋49＋225)＝54.8. (2)由茎叶图知，甲、乙两班成绩等级为优秀的学生共有7人，其中甲班有3人，设为a，b，c，乙班有4人，设为A，B，C，D.从7名优秀学生中随机抽取2人共有21种等可能的结果，分别为ab，ac，aA，aB，aC，aD，bc，bA，bB，bC，bD，cA，cB，cC，cD，AB，AC，AD，BC，BD，CD. “两个人恰好都来自甲班”包含其中3种结果，分别为ab，ac，bc， ∴所求概率为P＝321＝17. 19．(本小题满分12分) 设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋1b.证明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立． 证明：由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2. (2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1； 同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾． 故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立． 20．(本小题满分12分) 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率． 解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)， 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝1545＝13. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个． 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的． 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个． 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215. 21．(本小题满分12分) 已知某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50,55)，第二组[55,60)，…，第五组[70,75]，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有8名． (1)根据频率分布直方图及题设数据完成下列2×2列联表. 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合计 体育生 20 艺术生 30 合计50 (2)根据(1)中表格数据计算可知，________(填“有”或“没有”)99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”． 附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：(1)根据频率分布直方图可知，前两组的学生总数为(0.032＋0.008)×5×50＝10，又前两组的学生中体育生有8名，所以前两组的学生中艺术生有2名，故2×2列联表如下： 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合计 体育生 8 12 20 艺术生 2 28 30 合计 10 40 50 (2)由(1)中数据知，K2＝50×(8×28－2×12)220×30×10×40≈8.333>7.879，故有99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”． 22．(本小题满分12分) (2018•山西省第二次四校联考)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1： 年份x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10 为了研究计算的方程，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 010，z＝y－5得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z关于t的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程； (3)用所求回归方程预测2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？ (附：对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝i＝1nxiyi－nx－•y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－) 解析：(1)t－＝3，z－＝2.2，i＝15tizi＝45，i＝15t2i＝55， b^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z－－b^t－＝2.2－3×1.2＝－1.4， ∴z＝1.2t－1.4. (2)将t＝x－2 010，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4， 得y^－5＝1.2(x－2 010)－1.4，即y^＝1.2x－2 408.4. (3)∵y^＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6， ∴预测到2020年年底，该地储蓄存款可达15.6千亿元．月月考四 计数原理与概率、统计、算法、复数、推理与证明
第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足iz＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点的坐标为( ) A．(－4，－2) B．(－4,2) C．(4,2) D．(4，－2) 答案：D 解析：z＝2＋4ii＝(2＋4i)i－1＝4－2i，其在复平面内对应的点的坐标为(4，－2)，故选D. 2．(2017•山东卷，2)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z•z＝4，则a＝( ) A．1或－1 B.7或－7 C．－3 D.3 答案：A 解析：∵ z•z＝4，∴ |z|2＝4，即|z|＝2. ∵ z＝a＋3i，∴ |z|＝a2＋3，∴ a2＋3＝2， ∴ a＝±1.故选A. 3．某客运公司有200辆客车，为了解客车的耗油情况，现采用系统抽样的方法按1�w10的比例抽取一个样本进行检测，将客车依次编号为1,2，…，200，则其中抽取的4辆客车的编号可能是( ) A．3,23,63,102 B．31,61,87,127 C．103,133,153,193 D．57,68,98,108 答案：C 解析：用系统抽样的方法抽出的客车的编号从小到大成等差数列，因为抽取间距为10，故只需选项中的四个数是公差为10的等差数列中的部分项，故选C. 4．(2018•云川贵百校大联考)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为( ) 分数 1 2 3 4 5 人数 20 10 40 10 20 A.3 B．2.5 C．3.5 D．2.75 答案：A 解析：设这100个成绩的平均数为x，则x＝1100×(1×20＋2×10＋3×40＋4×10＋5×20)＝3. 5．(2018•云南师大附中月考)秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0,1,2，…，n.若n＝5，根据该算法计算当x＝2时多项式的值，则输出的结果为( ) A．248 B．258 C．268 D．278 答案：B 解析：该程序框图是计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝2时的值，f(2)＝258，故选B. 6．(2018•江西上饶一模)执行如图所示的程序框图，如果输出T＝6，那么判断框内应填入的条件是( ) A．k<32? B．k<33? C．k<64? D．k<65? 答案：C 解析：执行程序，T＝1×log24＝2，k＝4； T＝1×log24×log46，k＝6； T＝1×log24×log46×log68，k＝8； T＝1×log24×log46×log68×log810，…， ∴若输出T＝6，则T＝log226＝log264＝1×log24×log46×log68×…×log6264，此时k＝62＋2＝64，∴判断框内应填入的条件是k<64？. 7. 如图是总体密度曲线，下列说法正确的是( ) A．组距越大，频率分布折线图越接近于它 B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它 C．阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比 D．阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比 答案：C 解析：总体密度曲线与频率分布折线图关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，故A，B不正确．在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比，故选C. 8．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：由x2－5x＋4＝0的两根分别为1,4，所以有a＝1，b＝4或a＝4，b＝1. 又a,3,5,7的平均数是b. 即a＋3＋5＋74＝b，a＋154＝b，a＋15＝4b，所以a＝1，b＝4符合题意，则方差s2＝5. 9．(2018•泉州二模)若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象： ①2＋4＝6； ②8＋10＋12＝14＋16； ③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30； …… 按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为( ) A．29 B．30 C．31 D．32 答案：C 解析：由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝n[3＋(2n＋1)]2＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中． 10．(2018•山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.13 B.23 C.12 D.34 答案：C 解析：记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为12.故选C. 11．(2017•山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知i＝110xi＝225，i＝110yi＝1 600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A．160 B．163 C．166 D．170 答案：C 解析：∵ i＝110xi＝225，∴ x＝110i＝110xi＝22.5. ∵ i＝110yi＝1 600，∴ y＝110i＝110yi＝160. 又b^＝4，∴ a^＝y－b^x＝160－4×22.5＝70. ∴ 回归直线方程为y^＝4x＋70. 将x＝24代入上式得y^＝4×24＋70＝166. 故选C. 12．(2017•江西南城一中、高安中学等九校3月联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表. 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，得K2＝100×(45×22－20×13)265×35×58×42≈9.616. 参照下表， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 正确的结论是( ) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 答案：C 解析：K2≈9.616>6.635， ∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上． 13．(2018•济南模拟一)执行如图所示的程序框图，当输入的x为2 017时，输出的y＝________. 答案：4 解析：本题考查程序框图．由程序框图得当x＝－1时，循环结束，所以输出y＝3－(－1)＋1＝4. 14．(2018•广东佛山质检)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为________． 答案：26＋27＋…＋212 解析：∵8 128＝26×127，又由1－2n1－2＝127，解得n＝7.∴8 128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212. 15．(2017•江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案：18 解析：∵ 样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350， ∴ 应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)． 16．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________. 答案：24 23 解析：由茎叶图可知甲的平均数为 19＋18＋20＋21＋23＋22＋20＋31＋31＋3510＝24. 乙的平均数为 19＋17＋11＋21＋24＋22＋24＋30＋32＋3010＝23. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 已知复数z＝(1＋i1－i)2016＋(1－i)2(其中i为虚数单位)，若复数z的共轭复数为z－，且z－•z1＝4＋3i. (1)求复数z1； (2)若z1是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值，并求出方程x2－px＋q＝0的另一个复数根． 解析：(1)因为z＝(1＋i1－i)2016＋(1－i)2＝i2016－2i＝1－2i， 所以z－＝1＋2i，所以z1＝4＋3i1＋2i＝2－i. (2)由题意知(2－i)2－p(2－i)＋q＝0，化简得(3－2p＋q)＋(p－4)i＝0，所以3－2p＋q＝0且p－4＝0，解得p＝4，q＝5， 所以方程为x2－4x＋5＝0，即(x－2)2＝－1＝i2，解得另一个复数根为x＝2＋i. 18．(本小题满分12分) (2018•安徽“皖南八校”第二次联考)某学校为了分析在一次数学竞赛中甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽取了10个学生的成绩，成绩的茎叶图如下： (1)根据茎叶图，计算甲班被抽取学生成绩的平均值x及方差s2； (2)若规定成绩不低于90分的等级为优秀，现从甲、乙两个班级所抽取成绩等级为优秀的学生中，随机抽取2人，求这两个人恰好都来自甲班的概率． 解析：(1)根据茎叶图得，x＝110×(72＋81＋81＋83＋85＋87＋87＋90＋93＋101)＝86， s2＝110×[(72－86)2＋2×(81－86)2＋(83－86)2＋(85－86)2＋2×(87－86)2＋(90－86)2＋(93－86)2＋(101－86)2]＝110×(196＋50＋9＋1＋2＋16＋49＋225)＝54.8. (2)由茎叶图知，甲、乙两班成绩等级为优秀的学生共有7人，其中甲班有3人，设为a，b，c，乙班有4人，设为A，B，C，D.从7名优秀学生中随机抽取2人共有21种等可能的结果，分别为ab，ac，aA，aB，aC，aD，bc，bA，bB，bC，bD，cA，cB，cC，cD，AB，AC，AD，BC，BD，CD. “两个人恰好都来自甲班”包含其中3种结果，分别为ab，ac，bc， ∴所求概率为P＝321＝17. 19．(本小题满分12分) 设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋1b.证明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立． 证明：由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2. (2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1； 同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾． 故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立． 20．(本小题满分12分) 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率． 解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)， 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝1545＝13. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个． 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的． 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个． 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215. 21．(本小题满分12分) 已知某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50,55)，第二组[55,60)，…，第五组[70,75]，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有8名． (1)根据频率分布直方图及题设数据完成下列2×2列联表. 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合计 体育生 20 艺术生 30 合计50 (2)根据(1)中表格数据计算可知，________(填“有”或“没有”)99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”． 附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：(1)根据频率分布直方图可知，前两组的学生总数为(0.032＋0.008)×5×50＝10，又前两组的学生中体育生有8名，所以前两组的学生中艺术生有2名，故2×2列联表如下： 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合计 体育生 8 12 20 艺术生 2 28 30 合计 10 40 50 (2)由(1)中数据知，K2＝50×(8×28－2×12)220×30×10×40≈8.333>7.879，故有99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”． 22．(本小题满分12分) (2018•山西省第二次四校联考)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1： 年份x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10 为了研究计算的方程，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 010，z＝y－5得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z关于t的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程； (3)用所求回归方程预测2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？ (附：对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝i＝1nxiyi－nx－•y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－) 解析：(1)t－＝3，z－＝2.2，i＝15tizi＝45，i＝15t2i＝55， b^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z－－b^t－＝2.2－3×1.2＝－1.4， ∴z＝1.2t－1.4. (2)将t＝x－2 010，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4， 得y^－5＝1.2(x－2 010)－1.4，即y^＝1.2x－2 408.4. (3)∵y^＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6， ∴预测到2020年年底，该地储蓄存款可达15.6千亿元．
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