2016高考数学考前15天终极冲刺试题理新课标I卷有答案和解释.docx

2016新课标Ⅰ高考终极冲刺指南 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1已知集合M＝{1，2，3，4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为(　　) A．8 B．4 C．3 D．2 2. 复数 ， 在复平面内对应的点关于直线 对称，且 ，则 A. B. C. D. 3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法(　　) A.10 B.16 C.20 D.24 4.已知公差不为0的等差数列 满足 成等比数列， 为数列 的前 项和，则 的值为（ ） A. B. C.2 D.3 5.过椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D．
6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器――商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为(　　) A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4
7. 按右图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 (　　) A. 45 B. 47 C. 49 D. 51
8.函数 与 的图象关于直线 对称，则 可能是(　　) A. 　　 B. C. 　 D. 9已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A、 B、 C、 D、 10 已知实数x，y满足2x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤2，若目标函数z＝－mx＋y的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2，1] B．[－1，3] C．[－1，2] D．[2，3] 11. .过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 和圆 作切线，切点分别为 ,则 的最小值为(　　) A. 　　 B. C. 　 D.
12. 已知函数 存在单调递减区间，且 的图象在 处的切线l与曲线 相切，符合情况的切线l(　　) （A）有3条　　　 （B）有2条　　 　（C） 有1条　　　 （D）不存在 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题―21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题―24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13.已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为 ． 14. F1，F2分别为椭圆 的左、右焦点， A为椭圆上一点，且 ， 则 ＝ . 15过球 表面上一点 引三条长度相等的弦 、 、 ，且两两夹角都为 ，若球半径为 ，求弦 的长度____________. 16.设数列{an}是首项为0的递增数列， ，满足：对于任意的b∈[0，1），fn（x）=b总有两个不同的根，则{an}的通项公式为　_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分12分） 如图，点P在△ ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠ P+∠B=π，记∠B=α． （I）试用α表示AP的长； （II）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．
18. （本小题满分12分） 近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. （I）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （II）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 ： ①求对商品和服务全好评的次数 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求 的数学期望和方差.
19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点． （I）求证；平面EAC⊥平面PBC; （II）若二面角P-AC-E的余弦值为 ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分） 已知抛物线 ，过其焦点作斜率为1的直线 交抛物线C于M、N两点，且 ． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0，4)，若动圆P与x轴交于A、B两点，且 ，求 的最小值．

21（本小题满分12分） 已知函数f（x）=（x2�3x+3）•ex，设t＞�2． （Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[�2，t]上为单调函数； （Ⅱ）求证：对于任意的t＞�2，总存在x0∈（�2，t），满足 ，并确定这样的x0的个数．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本题10分）选修4―1：平面几何选讲 如图， ， 是 上的两点， 为 外一点，连结 ， 分别交 于点 ， ，且 ，连结 并延长至 ，使∠ ∠ ． （1）求证： ； （2）若 ，且 ，求 ．
23．（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程； （2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆C的交点为O、P，与直线 的交点为Q，求线段PQ的长． （24) （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 设不等式 的解集为 , 且 . (Ⅰ) 试比较 与 的大小; (Ⅱ) 设 表示数集 中的最大数, 且 , 求 的范围. 理科数学答案及部分解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C D B D A A C B D
1. 考察集合关系，易知3，4符合题意，两个元素共有四个真子集，选B。 2. 复数 在复平面内关于直线 对称的点表示的复数 ，所以 . 选A。 3. 考察排列组合的知识，本题用插空法：6个空中选3个共20种。选C 4. =,,,，故选C 5. 解：由题意知点P的坐标为（�c， ）或（�c，� ）， ∵∠F1PF2=60°，∴ = ，即2ac= b2= （a2�c2）．∴ e2+2e� =0， ∴e= 或e=� （舍去）．故选D． 6.B 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得： (5.4－x)×3×1＋π•( 12 )2x＝12.6，x=1.6 7.【试题解析】D 经计算得
8.由题意，设两个函数关于 对称，则函数 关于 的对称函数为 ，利用诱导公式将其化为余弦表达式为 ， 令 ，则 . 故选A. 9. A令, 等价于g(3x+1)+g(x) > 0,且g(x)= -g(-x),所以g(x)为奇函数，易知g(x)在定义域内单调递增，g(3x+1))> －g(x), 即g(3x+1))> g(－x)，由奇函数性质3x+1>-x，x >－ 10.[解析] 作出不等式组所对应的平面区域，如图中阴影部分所示． 由目标函数z＝－mx＋y得y＝mx＋z，当直线y＝mx＋z在y轴上的截距最大时，z最大，直线y＝mx＋z在y轴上的截距最小时，z最小． ∵目标函数z＝－mx＋y的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2， ∴当直线y＝mx＋z经过点A(2，10)时，z取得最大值，经过点C(2，－2)时，z取得最小值， ∴直线y＝mx＋z的斜率m不小于直线x＋y＝0的斜率，不大于直线2x－y＋6＝0的斜率，即－1≤m≤2.选C 11. 由题可知， ，因此 . 故选B. 12.解析： ，依题意可知， 在 有解，① 时， 在 无解，不符合题意；② 时， 符合题意，所以 ．易知，曲线 在 的切线l的方程为 . 假设l与曲线 相切，设切点为 ，则 ， 消去a得 ，设 ，则 ，令 ，则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，当 ， 所以 在 有唯一解，则 ，而 时， ，与 矛盾，所以不存在． 13. -80 14. 6 15 16 13. 因为 ，所以展开式中 的系数为 14.6 取A为特殊点，A取四个顶点任意一个皆可。 15.由条件可抓住 是正四面体， 、 、 、 为球上四点，则球心在正四面体中心，设 ，则截面 与球心的距离 ，过点 、 、 的截面圆半径 ，所以 得 ． 16.解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x�a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]， 又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π ∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π 又f2（x）=|sin （x�a2）|=|sin （x�π）|=|cos |，x∈[π，a3] ∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π… 又f3（x）=|sin （x�a3）|=|sin （x�3π）|=|sin π|，x∈[3π，a4] ∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π… 由此可得an+1�an=nπ， ∴an=a1+（a2�a1）+…+（an�an�1）=0+π+…+（n�1）π= ∴ 17.解：（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠ B=α，∠ P=π�α， 由余弦定理得，AC2=22+32�2×2×3cosα，① AC2=AP2+22�2×AP×2cos（π�α），② 由①②得：AP2+4APcosα+12cosα�9=0，α∈（0，π）， 解得：AP=3�4cosα； （2）∵AP=3�4cosα，α∈（0，π）， ∴S四边形ABCP=S△ABC�S△APC= ×2×3sinα� ×2×APsin（π�α） =3sinα�（3�4cosα）sinα =4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π）， 则当α= 时，Smax=2 18.本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力. 【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 ， 可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分) (2) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 ，且 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中 ； ； ； ； ； . 的分布列为： 0 1 2 3 4 5
由于 ，则 ； . (12分)
19（I）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC， ∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． ----------------------4分 (II)如图，以C为原点，DA→、CD→、CP→分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)． 设P(0，0，a)（a＞0），则E(12，－12，a2)， -----------6分 CA→＝(1，1，0)，CP→＝(0，0，a)， CE→＝(12，－12，a2)， 取m＝(1，－1，0)，则 m•CA→＝m•CP→＝0，m为面PAC的法向量． 设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n•CA→＝n•CE→＝0， 即x＋y＝0，x－y＋az＝0，取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)， 依题意，|cos<m，n>|＝|m•n||m||n|＝aa2＋2＝ ，则a＝1． -----------10分 于是n＝(1，－1，－2)，PA→＝(1，1，－2)． 设直线PA与平面EAC所成角为θ， 则sinθ＝|cos<PA→，n>|＝ ， 20． 解：(1) 设抛物线的焦点为 ，则直线 ， 由 ，得 ………………………2分 ， ， ， ………………………4分 抛物线 的方程为 ………………………5分 (2) 设动圆圆心 ，则 ， 且圆 ， 令 ，整理得： ， 解得： ， ………………………7分 ，…………9分 当 时， ， 当 时， ， ， ， ， 所以 的最小值为 ． ………………………12分 21解：（1）因为f′（x）=（2x�3）ex+（x2�3x+3）ex， 由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0， 由f′（x）＜0⇒0＜x＜1， ∴函数f（x）在（�∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 要使函数f（x）在[�2，t]上为单调函数，则�2＜t≤0， （2）证：∵ ，∴ ， 即为x02�x0= ，令g（x）=x2�x� ，从而问题转化为证明方程g（x）= =0在（�2，t）上有解并讨论解的个数， 因为g（�2）=6� （t�1）2=� ， g（t）=t（t�1）� = ， 所以当t＞4或�2＜t＜1时，g（�2）•g（t）＜0， 所以g（x）=0在（�2，t）上有解，且只有一解， 当1＜t＜4时，g（�2）＞0且g（t）＞0， 但由于g（0）=� ＜0，所以g（x）=0在（�2，t）上有解，且有两解， 当t=1时，g（x）=x2�x=0，解得x=0或1， 所以g（x）=0在（�2，t）上有且只有一解， 当t=4时，g（x）=x2�x�6=0， 所以g（x）=0在（�2，t）上也有且只有一解， 综上所述，对于任意的t＞�2，总存在x0∈（�2，t），满足 ， 且当t≥4或�2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意， 当1＜t＜4时，有两个x0适合题意
22.【解析】试题分析：（1）根据圆的割线性质及平面几何知识可证明 ，从而得到 ；（2）可证 ，则 ，由此可得 ，把已知条件代入整理即可求得 . 试题解析：（1）连结 ， 因为 , , 又因为 , 所以 , 所以 . 由已知 , , 所以 , 且 , 所以 , 所以 . (2) 因为 , 所以 ∽ , 则 , 所以 又因为 , , 所以 , 所以 . 所以 . 考点：三角形相似与全等的证明以及圆的相关性质. 23．（1） ；（2）线段 的长为 . 【解析】 试题分析：（1）由圆C的参数方程 为参数），化为普通方程为 ，利用 ，即得圆C的极坐标方程；（2）求线段 的长，由于 三点共线，故 ，可设 ， ，则 ，关键是求出 的值，由 可求得 的值，由 可求得 的值，从而可解. 试题解析：（1）圆 的普通方程为 ，又 ，所以圆 的极坐标方程为 ； （2）设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ，设 为点 的极坐标， ，解得 ，由于 ，所以 ，所以线段 的长为 . 考点：参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用. 24（Ⅰ） ，

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