2019高考数学专题训练圆锥曲线的定义方程及性质含解析.docx

专题限时集训(九)　圆锥曲线的定义、方程及性质 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．(2018•郑州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　) A.x23＋y2＝1　　　　　 B.x23＋y22＝1 C.x29＋y24＝1 D.x29＋y25＝1 D　[由椭圆定义可知：|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝2a＋2a＝12，即a＝3，又∵e＝ca＝a2－b2a＝23，解得：b2＝5，∴椭圆C的方程为：x29＋y25＝1，故选D.] 2．(2018•武汉模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，则双曲线C的离心率等于(　　) A.54 B.53 C.32 D.43 A　[双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一条渐近线bx－ay＝0，圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0化为标准方程为：(x－3)2＋(y－1)2＝1，∵双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，∴d＝|3b－a|b2＋a2＝1，即4b＝3a，∴e＝ca＝1＋b2a2＝54，故选A.] 3．(2018•江门模拟)F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若PF→＝2FQ→，则|PQ|＝(　　) A.92 B．4 C.72 D．3 A　[如图，设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，由△QFK∽△QPM，得|FK||MP|＝|QF||QP|，即1|MP|＝13，所以|MP|＝3，故|PF|＝3，|QF|＝32，所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝92，选A.] 4．(2018•天津十二中学联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点到抛物线y2＝2px(p＞0)的准线的距离为4，点(2,22)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为(　　) A.x24－y25＝1 B.x25－y24＝1 C.x26－y23＝1 D.x23－y26＝1 D　[将(2,22)代入y2＝2px，可得p＝2，抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，则c＋1＝4，c＝3，又∵ba＝222＝2，c2＝a2＋b2，可得a＝3，b＝6，双曲线方程为x23－y26＝1，故选D.] 5．(2018•长春模拟)已知椭圆x24＋y23＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　) A.43 B．1 C.45 D.34 D　[由x24＋y23＝1得a＝2，c＝1，根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a＝8，△ABF1面积为12|F1F2|×|yA－yB|＝12×2×3＝3＝12×8×r，解得r＝34，故选D.] 6．(2017•全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A.63 B.33 C.23 D.13 A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a. 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，解得a＝3b， ∴ba＝13， ∴e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－132＝63. 故选A.] 7．(2018•南阳模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线为l，M(－3,0)，若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线l对称，则p＝(　　) A．2　　　B．3 C．4　　　D．5 A　[∵M，N关于过F倾斜角为60°的直线对称，∴|MF|＝|NF|，由抛物线定义知，|NF|等于点N到准线的距离，即|NF|＝xN＋p2，由于|MF|＝p2－(－3)，∴xN＋p2＝p2－(－3)，xN＝3，代入抛物线方程可得yN＝－6p，kMN＝－6p3－(－3)＝－33，解得p＝2，故选A.] 8．(2018•德州模拟)若双曲线的中心为原点， F(0，－2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M, N两点，且MN的中点为P(3,1)，则双曲线的方程为(　　) A.x23－y2＝1 B．y2－x23＝1 C.y23－x2＝1 D．x2－y23＝1 B　[由题意设该双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y21a2－x21b2＝1且y22a2－x22b2＝1，则 (y1＋y2)(y1－y2)a2＝(x1＋x2)(x1－x2)b2， 即2(y1－y2)a2＝6(x1－x2)b2，则 y1－y2x1－x2＝6a22b2＝1－(－2)3－0＝1，即b2＝3a2，则c2＝4a2＝4，所以a2＝1，b2＝3， 即该双曲线的方程为y2－x23＝1.故选B.] 二、填空题 9．(2018•梧州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为M，离心率为3，过点M与点(0，－2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为________． x22－y24＝1　[由e＝ca＝3，a2＋b2＝c2得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，由0－(－2)a－0＝2得a＝2，所以双曲线的方程为x22－y24＝1.] 10．(2018•唐山模拟)抛物线M：y2＝2px(p＞0)与椭圆N：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)有相同的焦点F,抛物线M与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于________． 2－1　[由题意，知Fp2，0，c＝p2，即p＝2c.由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和x轴垂直，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2b2a，又由抛物线的定义知|AB|＝2p，所以2b2a＝4c，即c2＋2ac－a2＝0，e2＋2e－1＝0，解得e＝2－1.] 11．(2018•珠海模拟)过点M(1,1)作斜率为－13的直线l与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________． 63　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得， b2x21＋a2y21＝a2b2b2x22＋a2y22＝a2b2，∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0， ∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)， ∴b2a2＝－y1－y2x1－x2＝13，∴a2＝3b2， ∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝63.] 12．(2018•揭阳模拟)已知双曲线x2－y2b2＝1的离心率为52，左焦点为F1，当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆x2＋(y－1)2＝1上运动时，|PQ|＋|PF1|的最小值为________． 52　[依题意可知a＝1，b＝12，设B(0,1)，由|PF1|－|PF2|＝2得|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋2≥|QF2|＋2，问题转化为求点F2到圆B上点的最小值，即|QF2|min＝|BF2|－1＝32－1＝12，故(|PQ|＋|PF1|)min＝12＋2＝52.] 三、解答题 (教师备选) (2017•全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． (1)证明：坐标原点O在圆M上； (2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程． [解]　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2， 由x＝my＋2，y2＝2x可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4. 又x1＝y212，x2＝y222，故x1x2＝(y1y2)24＝4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1•y2x2＝－44＝－1， 所以OA⊥OB， 故坐标原点O在圆M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圆心M的坐标为(m2＋2，m)， 圆M的半径r＝(m2＋2)2＋m2. 由于圆M过点P(4，－2)，因此AP→•BP→＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－12. 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10， 圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10. 当m＝－12时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为94，－12，圆M的半径为854， 圆M的方程为x－942＋y＋122＝8516. 13．(2018•西安模拟)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c. 图254 (1)求椭圆E的离心率： (2)如图254，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程． [解]　(1)过点(c,0), (0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0， 则原点O到该直线的距离d＝bcb2＋c2＝bca， 由d＝12c，得a＝2b＝2a2－c2，解得离心率ca＝32. (2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.① 依题意，圆心M(－2, 1)是线段AB的中点，且|AB|＝10， 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k(2k＋1)1＋4k2，x1x2＝4(2k＋1)2－4b21＋4k2， 由x1＋x2＝－4，得－8k(2k＋1)1＋4k2＝－4，解得k＝12， 从而x1x2＝8－2b2， 于是|AB|＝1＋122|x1－x2| ＝52(x1＋x2)2－4x1x2＝10(b2－2)， 由|AB|＝10，得10(b2－2)＝10， 解得b2＝3， 故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.

20 × 20