2019高考数学专题训练圆锥曲线的定义方程及性质含解析.docx

专题限时集训(九)圆锥曲线的定义、方程及性质 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1(2018郑州模拟)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为() A.x23y21 B.x23y221 C.x29y241 D.x29y251 D由椭圆定义可知：|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|AF1|BF1|2a2a12，即a3，又ecaa2b2a23，解得：b25，椭圆C的方程为：x29y251，故选D. 2(2018武汉模拟)已知双曲线C：x2a2y2b21的一条渐近线与圆x2y26x2y90相切，则双曲线C的离心率等于() A.54 B.53 C.32 D.43 A双曲线C：x2a2y2b21的一条渐近线bxay0，圆x2y26x2y90化为标准方程为：(x3)2(y1)21，双曲线C：x2a2y2b21的一条渐近线与圆x2y26x2y90相切，d|3ba|b2a21，即4b3a，eca1b2a254，故选A. 3(2018江门模拟)F是抛物线y22x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若PF2FQ，则|PQ|() A.92 B4 C.72 D3 A如图，设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线，垂足为M，则|PF|PM|，由QFKQPM，得|FK|MP|QF|QP|，即1|MP|13，所以|MP|3，故|PF|3，|QF|32，所以|PQ|PF|QF|92，选A. 4(2018天津十二中学联考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点到抛物线y22px(p0)的准线的距离为4，点(2,22)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为() A.x24y251 B.x25y241 C.x26y231 D.x23y261 D将(2,22)代入y22px，可得p2，抛物线方程为y24x，准线方程为x1，则c14，c3，又ba2222，c2a2b2，可得a3，b6，双曲线方程为x23y261，故选D. 5(2018长春模拟)已知椭圆x24y231的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为() A.43 B1 C.45 D.34 D由x24y231得a2，c1，根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a8，ABF1面积为12|F1F2|yAyB|12233128r，解得r34，故选D. 6(2017全国卷)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为() A.63 B.33 C.23 D.13 A由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a. 又直线bxay2ab0与圆相切， 圆心到直线的距离d2aba2b2a，解得a3b， ba13， ecaa2b2a1ba2113263. 故选A. 7(2018南阳模拟)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F且倾斜角为60的直线为l，M(3,0)，若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线l对称，则p() A2B3 C4D5 AM，N关于过F倾斜角为60的直线对称，|MF|NF|，由抛物线定义知，|NF|等于点N到准线的距离，即|NF|xNp2，由于|MF|p2(3)，xNp2p2(3)，xN3，代入抛物线方程可得yN6p，kMN6p3(3)33，解得p2，故选A. 8(2018德州模拟)若双曲线的中心为原点， F(0，2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M, N两点，且MN的中点为P(3,1)，则双曲线的方程为() A.x23y21 By2x231 C.y23x21 Dx2y231 B由题意设该双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y21a2x21b21且y22a2x22b21，则 (y1y2)(y1y2)a2(x1x2)(x1x2)b2， 即2(y1y2)a26(x1x2)b2，则 y1y2x1x26a22b21(2)301，即b23a2，则c24a24，所以a21，b23， 即该双曲线的方程为y2x231.故选B. 二、填空题 9(2018梧州模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为M，离心率为3，过点M与点(0，2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为_ x22y241由eca3，a2b2c2得b2a，所以双曲线的渐近线方程为y2x，由0(2)a02得a2，所以双曲线的方程为x22y241. 10(2018唐山模拟)抛物线M：y22px(p0)与椭圆N：x2a2y2b21(ab0)有相同的焦点F,抛物线M与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于_ 21由题意，知Fp2，0，cp2，即p2c.由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和x轴垂直，所以|AB|AF|BF|2b2a，又由抛物线的定义知|AB|2p，所以2b2a4c，即c22aca20，e22e10，解得e21. 11(2018珠海模拟)过点M(1,1)作斜率为13的直线l与椭圆C：x2a2y2b21(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_ 63设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得， b2x21a2y21a2b2b2x22a2y22a2b2，b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0， 2b2(x1x2)2a2(y1y2)0， b2(x1x2)a2(y1y2)， b2a2y1y2x1x213，a23b2， a23(a2c2)，2a23c2，e63. 12(2018揭阳模拟)已知双曲线x2y2b21的离心率为52，左焦点为F1，当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆x2(y1)21上运动时，|PQ|PF1|的最小值为_ 52依题意可知a1，b12，设B(0,1)，由|PF1|PF2|2得|PQ|PF1|PQ|PF2|2|QF2|2，问题转化为求点F2到圆B上点的最小值，即|QF2|min|BF2|132112，故(|PQ|PF1|)min12252. 三、解答题 (教师备选) (2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆 (1)证明：坐标原点O在圆M上； (2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程 解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2， 由xmy2，y22x可得y22my40，则y1y24. 又x1y212，x2y222，故x1x2(y1y2)244. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1y2x2441， 所以OAOB， 故坐标原点O在圆M上 (2)由(1)可得y1y22m， x1x2m(y1y2)42m24， 故圆心M的坐标为(m22，m)， 圆M的半径r(m22)2m2. 由于圆M过点P(4，2)，因此APBP0， 故(x14)(x24)(y12)(y22)0， 即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200. 由(1)可知y1y24，x1x24， 所以2m2m10，解得m1或m12. 当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10， 圆M的方程为(x3)2(y1)210. 当m12时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为94，12，圆M的半径为854， 圆M的方程为x942y1228516. 13(2018西安模拟)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c. 图254 (1)求椭圆E的离心率： (2)如图254，AB是圆M：(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程 解(1)过点(c,0), (0，b)的直线方程为bxcybc0， 则原点O到该直线的距离dbcb2c2bca， 由d12c，得a2b2a2c2，解得离心率ca32. (2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2. 依题意，圆心M(2, 1)是线段AB的中点，且|AB|10， 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28k(2k1)14k2，x1x24(2k1)24b214k2， 由x1x24，得8k(2k1)14k24，解得k12， 从而x1x282b2， 于是|AB|1122|x1x2| 52(x1x2)24x1x210(b22)， 由|AB|10，得10(b22)10， 解得b23， 故椭圆E的方程为x212y231.20 20