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概率 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设随机变量 的分布列为 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 2．若随机变量X的概率分布密度函数是 则 的值是( ) A．5 B．9 C．3 D．2 【答案】C
3．从2010名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除10人，再将其余2000人按系统抽样方法选取，则每人入选的概率( ) A．不全相等 B均不相等 C．都是 D．都是 【答案】C 4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球 C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球 【答案】C 5．某游戏中，一个珠子从如右图所示的通道（图中的斜线）由上至下滑下，从最大面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( ) A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 6．设 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则 等于( ) A．1 B．1±22 C．1－22 D．1＋22 【答案】C 7．下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③ ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军。其中，随机事件的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 8．随机变量X服从二项分布X～ ，且 则 等于( ) A． B． C． 1 D． 0 【答案】B 9．已知随机变量X服从正态分布N（2， ）， ，则 ( ) A． 0.4 B．0.2 C．0.6 D．0.8 【答案】B 10．从 的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 11．某班一学习兴趣小组在开展一次有奖答题活动中，从3道文史题和4道理科题中，不放回地抽取2道题，第一次抽到文史题，第二次也抽到文史题的概率是( ) A． ；B. ；C. ；D. ； 【答案】A 12．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( ) A．14 B．13 C． D． 【答案】A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．随机变量ξ的分布列为 则ξ为奇数的概率为 ． 【答案】815 14．某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）． 【答案】出海 15．在12个正整数（其中10个偶数，2个奇数）中，随机抽取3个的必然事件是___________________. 【答案】至少有一个是偶数 16．设 都是定义在R上的函数，且 在数列 中，任取前k项相加，则前k项和大于 的概率为 【答案】 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. (Ⅰ）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 (Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 【答案】（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 (II）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”） 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为 ． 18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： (1）补全频率分布直方图并求 、 、 的值； (2）从 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 人参加户外低碳体验活动，其中选取 人作为领队，记选取的 名领队中年龄在 岁的人数为 ，求 的分布列和期望 ． 【答案】（1）第二组的频率为 ，所以高为 ．频率直方图如下： 第一组的人数为 ，频率为 ，所以 ． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为 ，所以 ． 第四组的频率为 ，所以第四组的人数为 ，所以 ． (2）因为 岁年龄段的“低碳族”与 岁年龄段的“低碳族”的比值为 ，所以采用分层抽样法抽取18人， 岁中有12人， 岁中有6人． 随机变量 服从超几何分布． ， ， ， ． 所以随机变量 的分布列为 ∴数学期望 ． 19．为了解今年某校高三毕业班准备报考清华大学的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为 ，其中第 小组的频数为 . (1）求该校报考清华大学的总人数； (2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考清华大学的同学中任选三人，设 表示体重超过60公斤的学生人数，求 的分布列及数学期望. 【答案】（1）设报考清华大学的人数为 ,前三小组的频率分别为 ,则由条件可得: 解得 又因为 ，故 (2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为 所以 服从二项分布, • 随机变量 的分布列为： 则 或: 20．已知关于x的一元二次函数 ,设集合 ,分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到的数对 ． (1）列举出所有的数对 , 并求函数 有零点的概率； (2）求函数 上是增函数的概率． 【答案】（1） ，15种情况 函数 ， 有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况 所以函数 (2）函数 上是增函数则有 ， (1，―1），（1，1），（1，2），（2，―1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， (3，―1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况满足条件 所以函数 21．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下： 从这100个螺母中，任意抽取1个，求事件A（6.92<d≤6.94） 事件B（6.90<d≤6.96）、事件C（d>6.96）、事件D（d≤6.89）的频率. 【答案】事件A的频率P（A）= =0.43，事件B的频率 P（B）= =0.93，事件C的频率P（C）= =0.04， 事件D的频率P（D）= =0.01. 22． 某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖. 抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖. (Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是 .求抽奖者获奖的概率； (Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽.用 表示获奖的人数.求 的分布列及 ． 【答案】（Ⅰ）设“世博会会徽”卡有 张，由 ,得 =6. 故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为 . (Ⅱ） ， 的分布列为 或
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